九年级数学- 相似与圆

第23讲相似与圆知识导航.垂径定理及其推论..圆周角定理及其推论..切线的判定及其性质..切线长定理..三角形相似的判定及其性质.【板块一】求线段比值方法技巧.构造A型或X型相似求比值..用等线段代换求比值..利用两比值相乘求比值.题型一直接计算法求比值【例1】如图，已知BC±4。，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与。O的交点，点D是MB与。O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD=AM.APAO⑴求证：PD是。O的切线；(2)若AD=12,AM=MC,求变的值.MD【解析】(1)略；⑵连接CD，由(1)可知：PC=PD,VAM=MC,AAM=2MO=2H,在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2,・•・R2+122=9R2,.'.R=32，,OD=32,MC=62.VAD=AM=2，二DP=6,易得BP=CP=APAO3DP=6,VMC是。O的直径，・•・/BDC=ZCDM=90°,在Rt△BCM中，：BC=2DP=12,MC=62,・•・BM=66,可证△BCMs^CDM，,MD=MC，得MD=26，,BP=6=-6.MCBMMD262题型二构造A型或X型相似求比值.

CO的延长线交AB于点D.【例2】如图，△ABC内接于。CO的延长线交AB于点D.(1)求证：AO±BC；(2)若BC=6,AB=3<10，求AD的值.BD【解析】(1)延长AO交BC于点E，连接OBJ：OB=OC,AB=AC,・•.点A、O均在BC的垂直平分线上，・•・BE=EC,AO±BC；(2)延长CO交。O于点F.AE=AB2—BE2=9.设AO=%，则OE=9—%,32+(9—%)2=%2,%=5.AFC一一ADAO5=2%=10.：BC=6.ZFBC=90°,ABF=8.可证AE〃FB.A==.BDFB8题型三先等量代换后用三角形相似求比值【例3】如图，AB为。O的直径，半径OD±AB,C为AB上一点，CD交AB于点F.若F为AO的中点，求BC的值.CDAe‘E【解析】过点D作CD的垂线交CB的延长线于点E.易证/C=1ZDOB=45°.2:CD±DE,AZE=ZC=45°,ACD=DE.设OF=AF=1,则AO=OD=OB=2,BD=22,BF=3.连接AD，易证ZBDE=ZADC=ZABC,△CBF^^EDB,ABC=BF=32,•:DE=CD,ABC=DEBD4CD2.题型四运用乘积求比值(a--=a)bcc

【例4】如图，AB是。O的直径，点C,E在。O上，过点C作AB的垂线分别交AB,AE于点H,D.若BC=3,AE=4BE，求CH的值.AC2HD【解析】易证△ACBs^AHC,【解析】易证△ACBs^AHC,CHBCAHAC3AHAECH一，易证△AEB0°^AHD,==4,・•2HDBEAHAHHDCH=CH=6.HD—X4=6,故2针对练习11.如图，在Rt△ABC中，/ACB=90°,。O是Rt△ABC的外接圆，过点C作。O的切线交BA的延长线于点E,BD±CE于点D,连接DO交BC于点M.(1)求证：BC平分/DBA；⑵若若Ao⑵若若Ao=2,求DM的值.

3MO解：(1)略；⑵连接OC解：(1)略；⑵连接OC,贝UOC//BD，,△EBDs△EOC,△DBMs△OCM，,BD=EB,COEOBD=DM.EB=COMO'''EODM，：EA=2，设EA=2k,AO=3k，,EB=8k,EO=5k,.DM=EB=8MOAO3MOEO52.如图，△ABC内接于o.AH±BC于点H,连接OC,过点A作o的切线，交CB的延长线于点E.(1)求证：NBAH=N(1)求证：NBAH=NAC(2)若AC=24,AH=18,,求A的值.解：(1)连接AO并延长交于o点D.连接CD.易证NBAH=NDAC=NACO；(2)连接BD.V(2)连接BD.VAD为o直径..•・NACD=90.易证△ABHs^ADC.AB@9.可证NEAB=NADB=NACB.又NE=NEBEAB13ABAH18ADAC24・•・AEABAECA.AEAC16BC解：(1BC解：(1)略；.如图，以R3ABC斜边AB上一点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D,与AB交于另一点E,(2)连接EF交OD于点H,设CF=17.则CE=17.EF=417,可得EH=HF=217,DH=CF=17，设OH=%，则UOD=OE=%+17,——3175—BFOH3%2+(217)2=(%+17)2,%=,・•・OE=17,・•・==22BEOE5

.如图，在△ABC中，AB=AC=3bC，以AB为直径作o，交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH±AC于点H,连接DE交线段OA于点F.(1)求证：DH为o的切线;、(1)求证：DH为o的切线;BD(2)若A为EH的中点EB解：(1)略；EFAFAEFDFOOD23.FO=OA=9.易证△FODs^FDB,5(2)若A为EH的中点EB解：(1)略；EFAFAEFDFOOD23.FO=OA=9.易证△FODs^FDB,5FDOF3BDOD5.EFxFD=2x3=2.故FDBD355EF2BD5【板块二】求线段长方法技巧.用方程思想求线段长..用全等(或相似)找线段之间的关系.题型一用全等找线段关系，列方程求解【例1题型一用全等找线段关系，列方程求解【例1】如图，NABD=90°,AB是O的直径，o交AD于点C.CE〃AB交o于点E,AE=2AC.AB=5求CD的长求CD的长.【解析】连接BE,BC.易证△BCA04AEB,•・AE=BC=2AC.设AC=%，则BC=2%,AB=5%,x=1易证△ABCs^【解析】连接BE,BC.易证△BCA04AEB,•・CD=AD-AC=5-1=4.题型二用相似找线段关系,列方程求解【例2】如图，在R3ABC中，NACB=90°,点O是AC上一点，以OC为半径作o与AB相切于点D,交AC于点E，OB交CD于点F.（1）求证：OBQE=1CE2；2..OF1丁，,一（2）若YF=1，AB=10，求O半径.【解析】(1)易证OC2=OF•OB,DE=2OF,OC=1CE.2'・1CE2=DE•0B,1CE2=1DE-OB.AOB•DE=1CE2；2OC=1CE.2(2)设OF=x，则UOB=5x,OC2=OF.OB=5%2,.•.OC=M5%.CB=VOB2-OC2=2"x.由DE#OB可得DE=AD=2.OBAB52・・AD=5AB=4,DB=10-4=6.BC=BD=2<5%=6,55%=3,OC=%：5%=3.题型三利用特殊边角关系找联系【例3】如图，点O,E分别为4ABC的外心和内心，AB=AC,AE的延长线交于O点D,交BC于点（1）求证：BD=DE；(2)若NBAC=30°,BD=6—2，求OE的长.【解析】(1)连接BE,易证NDBE=NDEB,，BD=DE；(2)连接BO.易证AF±BC,BF=FC.・；^O在AD上.设BF=%.NBOF=2NBAF=NBAC=30°..'.OB=2BF=2%,OF=3%，DF=(2-3)x.易证△BDFs^ADB.；.BD2=DF-DA=4(2—3)%2=(6—2)2,解得%=1,・・.OE=OD—DE=OB—BD=2—(6—2)=2+2—6针对练习2.如图，AB是o的直径，点C在o上，CD是o的切线，ADLCD,垂足为D,E是AB延长线上点.CE交O于点尸，连接火,AC.oo(1)求证：A^平分为AO；(•)(•)(2)连接BF,^^DAO=105°,zE=30°；AC=4iX，求BF的长.解：(1解：(1)略；(2)过点O作OGLCE,垂足为G.易证NC0A=75°,NOCG=45°.设CG=%，贝UGF=CG=OG=%.OE=2%.GE=3%.EF=(3-1)%,AE=(2+2)%.易证4£尸864£人仁EFBF(3-1)%ACAEEFBF(3-1)%ACAE4+22—(2+2)%・•・BF=2(3-1)=23-2.BA=5，求BA=5，求CD的长.,AI的延长线交BC于点D,解：易证NBAE=NCBE=NCAE.OI，AE,・•・AI—EI=BE.设BE=%，则AE=2%,BE2+AE2=BA2=5,%2+（2%）2=5,%=1,BE=1,AE=2.易证△BEDs^AEB.TOC\o"1-5"\h\z113・•・BE2=ED-EA.可得ED=,AD=2—二.易证△ABEs^ADC,222CD=AD，得cd=拽BEAB103.如图，A,B,C三点在O上，直径BD平分NABC,过点D作DE//AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EF=DE.,,DE=5,求DM的长.(,,DE=5,求DM的长.(1)求证：DF是O的切线；.(2)连接AF交DE解：(1)略；(3)连接CD,易证△ABD^ACBD..，・CD=AD=4,AB=BC.VDE=5,・・.CE=3.EF=DE=5.VZCBD=ZBDE,ABE=DE=5..•・BF=BE+EF=10,BC=BE+EC=8.・•・AB=BC=8.,ZDE/AB,AAABF^AMEF.ABBF.•・=.・・・ME=4.・・.DM=DE—EM=1.MEEF【板块三】求线段之积方法技巧.直接法：分别求出两条线段长..整体法：利用三角形相似求两条线段之积.径.(1)求证：PA是o的切线;【解析】(1)略;足为点F,延长CF交AB于点G,题型一利用母子相似求同一直线上两条线段之积【例1】如图，在4ABP中，C是BP径.(1)求证：PA是o的切线;【解析】(1)略;足为点F,延长CF交AB于点G,2—AP,若AG-AB=15,求3(2)易证△ACGs^ABC,得AC2=AGAB=15,过点C作CMLAP,垂足为点M,设CP=2%，则AP=3%,易证CM=MP=%，则UAM=2%,AC=5%，

A5%2=15,x2=3,x=v'3.故CP=A5%2=15,题型二利用射影定理求同一直线上两条线段之积【例2】在o中，ab=aC，AD±AB交BC延长线于点D,连接AO,AB=8.(1)求BC/。的值；⑵若oa=5⑵若oa=5,与Cd的长.【解析】（1）延长AO交BC于点E,易证AEXBC,1BE=EC=BC.易证△ABEs^DBA,；.AB2=BE-BD=64.2A1BCBD=64.BCBD=128.2（2）过.点O作OFLAB于点F,则AF=BF=4,OF=3,易证△AOFs^ABE,得BE=24.BC=2BE=48.由（1）知BD=40.CD=BD—BC=56.55315题型三利用相似求不在同一条直线上两条线段之积【例3】如图，AB,CD都是o的直径，DB的延长线与过点C的切线交于点P,CELAB,垂足为点E.AD=2,求CECP的值.【解析】连接BC,AC,易证四边形ADBC为矩形，ACB=AD=2.易证△CEBs△CBP,得CE-CP=CB2=4.针对练习31.如图.CD为o的直径，AD，AB，BC分别与o相切于点D，E，C（AD<BC），连接DE并延长与直线BC相交于点连接线BC相交于点连接OB.（1）求证：bC=BP；(2)若DE.OB=40,求AD-BC的值.解：（1解：（1）略：（2）连接QA，CE.EC交0B于点K.易证：OK=2DE，△OCKMOBC，；.OC2=OK-OB=1DE-OB=20，2易证△AOD04AOE，・・・NAOD=NA0E，同法证明，NBOE=NBOC,易证△ADOs^OCB.二AD-BC=OD.OC=OC2=20..如图，在4ABC中，NACB=90°,AB=10,BC=6,点D在AB的延长线上，且BD=6,过点D作DE±AD(2)易证B.Q,E三点共线，易证△BDQOs^BED,BQ-BE=BD2=36..如图，I为4ABC的内心，AB=AC,BI的延长线交^ABC的外接圆于点D,NBDC的平分线交AC于点E.若EC=1，人£=4.求BLID的值.解：连接Al,Cl.易证DI=DC.易证△ABIs^DCE,得BI-CD=AB-CE=5.•.1D=CD.••・B[ID=BICD=5.【板块四】经典图形研究方法技巧1．切割图（也叫弦切图）中相似问题（切割线定理）2．切割线加垂直的图中,作高构造矩形求解．3．双切图中隐含射影定理的结论（知二求五）．题型一切割图【例1】如图，AB是。O的直径，AC为弦，过点C的切线与AB的延长线交于点P,弦CE=AC,连接EB并延长并CP于点H.（1）求证：BH±CP；(2)若AC=6,AB=35,求PH的长.【解析】（1【解析】（1）略；(2)连接CO,CB,BC=AB2—AC2=3,易证4PCBs'pac,,设pb=%,贝|pc=2PB=2x,PA=2PC=4x,55PHPB2TOC\o"1-5"\h\zAB=PA—PB=3x=35,x=5.BP=5,PC=25,PO=——.BH//OC，得=一=-2PCPO524・•・PH=-PC=555CHAOBP题型二切割图+垂直【例2】如图，AB是。O的直径，AC为弦，NBAC的平分线AD交。O于点D,DE±AC,交AC的延长线于点E，oe交ad于点F若Ab=3，求df的值•EMABEMAB【解析】连接OD,BC,过点O作OM±AE，垂足为点M，设AC=6,则AB=10,AM^=MC=3,易证四边AFAE8形MODE为矩形，・•・ME=OD=5,AE=3+5=8,OD/AE得——=——=-DFOD5题型三双切图

【例3】如图，PA是。O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB,PC,PC交AB于点E，且PA=PB．(1)求证：(1)求证：PB是。O的切线;【解析】(1)略；(2)连接OP交AB于点K，连接OB，BC，易证BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，易证BC=PB=PA=2a，171由^PAKs^POA,可得PA2=PK-PO,设PK=x,则|有x2+ax—4a2=0,解得x=a(负根舍去)，2PK=17—1可得PEPK=17—1可得PECEPKBC17-14题型四多切线图【例4】如图，。O是^ABC的内切圆，D,E,F为切点，AB=AC.(1)求证：BD=DC；AE2(2)若AE=2,O的半径为1,求EF的长.BE3【解析】(1)AE=AF,BD=BE,CD=CF,AB=AC,则UAB—AE=AC—AF,BE=CF，,BD=DC；(2)连接OE,AO,OD,证A,O,D三点共线.设EF交AO于点H.设AE=2x,EB=3x，则AB=5x,AOEO544BD=BE=3x,易证△AEOsADB,.\——=——，得AO=-,AE=-.又EH-AO=EO-AE,EH=-,ABBD3358・•・EF=2EH=一5

题型五切径图(切线+题型五切径图(切线+过切点的直径)【例5】如图，AB是。O的直径，AT是O的直径，BT交O于点C,D是O上一点，/ATB=2/CDO,AB=40,AT.=30,求CD的长.【解析】延长DO交BT于点F.连接AC,OC.易证/ATB=ZCAB=1ZCOB,又/ATB=2ZCDO=ZCOF,2AZCOF=1ZCOB，：OC=OB，二OF±BT,CF=FB=1BC,BT=AB2+AT2=50，易证ABCTBA,得22AB2=BC-BT,BC=32,ACF=BF=16,OF=OB2—BF2=12.FD=12=20=32,ADC=CF2+FD2=165针对练习41.如图，已知AB,CD是。O的直径，过点C作。O的切线交AB的延长线于点P,。O的弦DE交AB于点F,且DF=EF.(1)求证：CO2=OF-OP；(2)连接EB交CD于点G,过点G作GH±AB于点H,若PC=42,PB=4,求GH的长.

解：(1)易证△OFDs'OCP,.•.OD=OF,；.od-OC=OF-OP,，：OD=OC,AOC2=OF-OP；OPOC(2)如图，过点C作CM±