断裂力学复习要点与习题解析

断裂力学复习与考试

复习重点：概念与应用性理论考试方式：开卷第一章：主要概念：●应力是怎样定义的？●一点的应力和应变是什么量？●什么样的物体，受怎样的载荷可以用平面应力进行分析？●什么样的物体，受怎样的载荷可以用平面应变进行分析？●什么叫主应力和主平面？●虎克定律描述的是什么关系？●什么是应力函数？应力函数又叫Airy函数，它是通过构造一种应力分量表达函数，用应力求解平面问题，使其能够同时满足平衡方程、相容方程，进而用应力函数求解受力物体内部一点的应力应变场。第二章：主要概念：

●为什么材料的实际强度比理论强度低很多？（缺陷。类裂纹产生严重应力集中）●材料的理论强度与实际强度差多少？（1/4—1/50)●Griffith理论适用于什么材料？举例说明。●断裂力学中把裂纹分成那几种类型？它们的特点是什么？●线弹性断裂力学裂纹尖端有多大的奇异性？●裂纹尖端应力强度因子表征什么？（裂纹尖端应力场的强度，它是裂尖奇异性的量度）

●什么是材料的断裂韧度（含裂纹材料失稳破坏时抵抗断裂吸收能量的能力，K1c是材料常数）●什么叫应力强度因子断裂判据？它与材料的最大拉应力强度判据有什么不同？●K1c与Kc有什么区别？●K1c

与K1有什么区别？各与什么因素有关？与什么因素无关？●所有的应力强度因子K都可以表示成什么形式？●平面应力情况下Kc与厚度有什么关系●什么是能量（应变能）释放率G？能量释放率G与应力强度因子K有什么关系？●S准则是怎样描述的？SC与K1c，K2c，K3c

有什么关系？

S是裂尖附近总应变能密度大小的量度，它综合反映复合加载裂尖应力应变场强弱程度的单一参数。

S准则假设为：

1、裂纹沿S最小的方向扩展，即由确定开裂方向：

2、当达到临界值Sc时，裂纹失稳扩展。第三章：

主要概念：●Griffith理论和K理论是否可用于小范围屈服的情况下？●Irwin提出的等效裂纹长度与θ＝0方向原裂尖塑性区的长度有什么关系？●Dugdale裂纹的塑性区尺寸比Irwin裂纹塑性区尺寸大还是小？●Dugdale裂纹考虑的是平面应力还是平面应变？●考虑Dugdale裂纹模型得到的CTOD表达式是什么？●CTOD法有什么优、缺点？●J积分有什么优、缺点？●什么是K判据、CTOD判据和J判据？●在小范围屈服的情况下，CTOD、J积分与K1有什么关系？

●在弹塑性情况下J积分与CTOD有什么关系？在平面应力下，

CTOD

作为开裂的判据。

D－M法

CTOD＝；Irwin法

CTOD＝。第四章：主要概念：●什么是疲劳裂纹扩展速率？（一次应力循环的裂纹扩展量—da/dN)●什么叫亚临界裂纹扩展？

●恒幅疲劳裂纹扩展速率主要与那些因素有关？●平均应力与应力比有什么关系？()●什么是应力强度因子范围？它的一般表达式可以怎样表示？●裂纹扩展速率与应力强度因子范围在双对数坐标下可以分成三阶段，

Paris公式适用于哪一段？为什么？●损伤容限设计思想是什么？

损伤容限设计

损伤容限设计是针对有损伤的结构或材料新发展的一种设计方法。它是用断裂力学原理，根据材料的裂纹扩展速率da/dN与应力强度因子范围△K的关系曲线，对含有损伤(即有初始裂纹或缺陷）的构件或材料，设计构件的使用寿命或估算其剩余寿命，确定临界裂纹尺寸或初始裂纹大小。它容许材料有一定损伤，但把裂纹或缺陷控制在允许的尺寸限度之内，使其构件在使用寿命期间不会发生失稳破坏。这是目前的一种先进的疲劳设计方法。一、关于Griffith理论的计算1、已知裂纹长度计算临界应力

2、已知临界应力计算裂纹长度

3、修正的Griffith理论例题1举例：已知一大玻璃板有一中心裂纹2a,其受张力＝40MPa作用，玻璃的弹性模量E＝69GPa;比表面能＝0.3J/m2;用Griffith理论计算临界裂纹长度。解：由Griffith公式：例题2

一马氏体时效钢薄板的拉伸强度为1950MPa，由于存在一个与加载方向垂直的4mm长的中心穿透裂纹，钢板的弹性模量Ｅ为200GPa,断裂比表面能为2J/m2,

每一裂纹尖端的塑性变形功为2x104J/m2.计算断裂强度降低的百分数。

解：

一圆柱压力容器，直径D=6m，壁厚t=30mm，当内压P达到18MPa，发生灾难性事故。该压力容器钢E=210GPa，屈服强度2400MPa，应变能释放率Gc=130KJ/m2

求:（a）若按vonmises屈服准则设计是否会破坏？

(b)若根据Griffith理论，陈述可能有多大的裂纹引起这次破坏？

解:(a)判断按vonmises屈服准则是否破坏，需要先求压力容器的主应力：由于压力容器很薄:计算主应力可按平面应力计算：

由vonmises屈服准则：现左边：材料远没有屈服。无裂纹存在不会破坏。例题3(b)按照Griffith理论，可能引起破坏的裂纹长度af为：这说明该压力容器中可能存在5.4mm以上的裂纹。

例题3续思考题：该题在计算容器的主应力时，忽略了厚度t的影响。如果考虑壁厚t，D为外径，结果会产生多大误差？af≥5.4mm

二、有关线弹性断裂理论的计算1裂纹尖端应力场位移场2、临界应力或裂纹长度

利用公式

Y一般取为常数，则K1，，a三个变量中，已知两个，可求第三个；K1的临界值是由，a的值决定的。3、求应力强度因子

（1）、极限法

（2）、叠加法不同载荷P,MB,MK,的叠加连续载荷由分离载荷的叠加

（3）、权函数法

（4）、近似法（组合法，有限元法）

（5）、查表法

（常用的）例：（3）复合型断裂准则——S准则3、断裂准则（1）简单裂纹断裂准则：KKCK1K1C（K2K2C；K3K3C）GGCG1G1C（2）G与K的关系（4）S准则与K准则的关系Smin=Sc例题1例题2

一块大的马氏体时效钢板含有一个长40mm的中心裂纹，其断裂应力为480Mpa，如果在同样的钢板中，裂纹长度为100mm，试计算其断裂应力。解：（单位用MN和m)

由Griffith理论：c＝

或K理论：

c＝对高强脆性材料都有：c＝const.a-1/2

其中：2a=40mm,因而：480＝const.(0.02)-1/2const.=480(0.02)1/2

当2a=100mm时，c＝const.(0.05)-1/2

从而：c＝480（0.02/0.05)1/2＝304(MPa）例题3

一高强钢在380ºC回火，，

在600ºC回火，，假设这样处理的无限大板存在单边裂纹，设计工作应力为计算上述两种处理可以容许的临界裂纹尺寸为多少？解：在380ºC回火下：在600ºC回火下：

例题4

一高强钢在380ºC回火，，

在600ºC回火，，假设这样处理的无限大板存在中心裂纹1mm，设计工作应力为计算那种处理可以满足要求？解：在380ºC回火下：

在600ºC回火下：

显然600ºC回火满足要求。

例题5

医用生物护板用Ti6Al4V材料，受拉伸载荷。该材料采取不同热处理可得到不同屈服强度的板料，但其断裂韧度随屈服强度的升高急剧降低。屈服强度为900MPa时，Kc=80MPam;而屈服强度为1000MPa时,Kc=70MPam;该材料含有一4mm的缺陷。有可能加工后正好在边缘（几何因子取1.12)。为减少重量，医生建议用屈服强度为1000Mpa的板材，若设计材料的拉伸应力为屈服强度的2/3;请问此设计是否可行？若用屈服强度为900Mpa的板材如何？解：K1＝Y;K1=1.12x(1000x2/3)=83.6(MPam);

由于K1>Kc；设计不可行。若改用屈服强度为900Mpa的板材，

K1＝1.12x(900x2/3)=79.1(MPam);

此时K1<Kc；设计可行。若设计护板材料受拉伸应力皆为600MPa是否可行？

某构件由高强度钢板焊成，探伤发现在焊缝中心存在一个20mm长的中心穿透裂纹。残余应力测试发现在裂纹周围存在残余应力场如图。最大残余应力位于裂纹中心，其值为，假如裂纹面上的残余应力为直线型分布，材料的为1000MPa，K1C=100MPam,

求：1、如果该部件承受远处拉伸载荷σ

，会在多大应力水平下破坏？

2、加载前若消除残余应力，破坏应力将提高多少？例题6：解：

1、焊接构件除受远处载荷外，还受残余应力的共同作用。在静应力下，裂纹构件破坏的条件是裂纹尖端的K1＝K1c。在外力和残余应力共同作用条件下，可以用权函数方法求得：注意:

裂纹面上残余应力分布可以用两点直线方程求得：从而，因此，564-155=409(MPa)提高了409MPa2、如果消除残余应力，破坏时，当a=10mm时，

某构件由高强度钢板焊成，探伤发现在焊缝中心存在一个10mm长的中心穿透裂纹。残余应力测试发现在裂纹周围存在残余应力场如图。最大残余应力在裂纹中心，其值为，假如裂纹面上的残余应力为抛物线分布，材料的为1000MPa，K!C=100MPam,

求：

1、该部件承受远处拉伸载荷σ

，在多大应力水平下破坏？

2、加载前若消除残余应力，破坏应力将提高多少？思考题三、由弹塑性性断裂理论

计算开裂应力或裂纹长度

利用公式

，，a三个变量中，已知两个，可求第三个。利用公式

考虑鼓胀效应鼓胀效应系数M’有相应的经验公式确定例题1

某合金焊缝金属屈服强度为1000MPa，杨氏模量为200GPa,泊松比＝0.3

，平面应变断裂韧度K1C为95MPa.m1/2;测得的CTOD值为40m,按小范围屈服与K1

的关系，计算常数M，并确定这个关系。解：由；用MN和m作单位计算则

从而，例题2

某压力容器内径1000mm，壁厚50mm，工作压力20MPa，存在一个初始环向焊接裂纹20mm长，该材料的屈服强度为700MPa，断裂韧度为c=0.05mm，弹性模量E＝2x105MPa;该容器在实验室打压试验P水＝40Mpa，求临界裂纹长度。解：对压力容器，环向裂纹由引起，这里：R=(内径＋壁厚）/2,P为工作压力，t为壁厚；打压试验决定了临界应力，因此：

=(40X525)/(2X50)=210(MPa)

利用平面应力下的Dugdale表达式：

；，c=0.05mm，

E＝2x105MPa;代入计算得：ac=48.6(mm)

2ac=97.2(mm)

例题3一个外径为0.5m,

壁厚2.5mmCr－Mo钢制造的圆筒形状的火箭发动机壳体承受的最大压力为8Mpa，材料的屈服强度为1200Mpa，杨氏模量为200Gpa，小试样测得材料的CTOD（c）为50m。为保证发射安全，试计算该壳体可容许的最大缺陷尺寸（可视为小范围屈服，约束系数M=1）。解：由于是薄壁壳体，为平面应力状态。最危险的缺陷是纵向裂纹，其方向垂直于环向应力。该应力的大小为：

在平面应力下，即：

（m）=6.0mm,2ac=12(mm)上题若考虑鼓胀效应，环向应力还会增大，即：

当a=6.0mm时，则

是否可用D－M模型得到的公式计算ac?思考题：再迭代一次可得临界最大可容许尺寸为例题4

例5.直径d=500mm，壁厚t=2.5mm的圆筒，已知E=200GPa,=0.3,c=0.05mm,

s=1200MPa。壳体的最大设计内压为p=8MPa,试计算其可容许的最大缺陷尺寸。

解：受内压薄壁壳体中的最大应力是环向应力，且：

=pd/2t=80.5/(22.510-3)=800MPa

最危险的缺陷是纵向裂纹，方向垂直于环向应力。由于d>>t，可忽略筒体曲率的影响。视为无限大中心裂纹板，且为平面应力.由：

在临界状态下有：

=0.0106ac

c得到：

ac

0.05/0.0106=4.71mm

故可以容许的缺陷总长度为2a=9.42mm。

1、利用Paris公式：da/dN＝A△Km•当m≠2时,N＝[]

•当m=2时,N＝

四、断裂力学方法计算疲劳寿命2、Forman公式：积分上式，有：

当m≠2，3时，△K的定义如前。

当m=2时,

当m=3时,

例题1

一个很大的钢板，内有一个从中心孔起始的1cm长的裂纹，该板承受拉伸循环加载，应力幅从6MPa到60MPa,裂纹扩展曲线可用Paris公式描述，指数m=3，当da/dN为10－9m/cycle时，△K为2.8MPa；若裂纹形状因子Ｙ＝１.02,载荷频率为10Hz，求需多少循环裂纹可以扩展到2cm?

解：首先确定Paris公式系数A，由da/dN＝A△Km，

A＝（da/dN）/(△Km)＝10－9/2.83＝4.55×10-11;

又由a0＝0.005,af＝0.01,△σ＝(60-6)MPa;代入公式：

例题2

一个构件，无损探伤得知存在一个3mm长的初始裂纹，在服役工况下，由于疲劳，在裂纹扩展到8mm时快速脆断。现考虑两种办法改进构件的疲劳寿命：

1、通过热处理提高材料的韧性，使构件最后的裂纹扩展长度能达到10mm2、使用较好的无损探测方法，保证构件的初始裂纹在1mm以下。请问，那一种方法效果较好？计算上述两种情况构件疲劳寿命增加的百分数。（不考虑平均应力，构件材料的paris指数m=3)例题3解：当m=3有：当a0=3mm,af=8mm，则有：（1）a0=3mm,af=10mm，则有：

此时疲劳寿命增加17%（2）a0=1mm,af=8mm，则有：

此时疲劳寿命增加189%

Afatiguecrack1.5mmlonghasbeendiscoveredinamainwingsparofaCC-130Herculesmadeof7075alloy.GiventhecrackgeometryfactorY、KcandparametersofAandmforParisformula,estimatethenumberofflyinghours(100cycles/1hr.)tofracture.7075-T73511alloyKc=40MPamA=1.3x10-10m/cycle;m=3;Y=1.27(assumeconstant)Measuredmaximumstressis75MPa;Measuredminimumstressis10Mpa;

例题4解：由a0=0.0015m，=75-10=65(Mpa)

Form=3,constantY:例4续：例题5

一长钢板，厚30mm，宽300mm，探伤测得存在一初始单边缺口裂纹a=10mm。板在远处承受1.8MN2.7MN的交变虚循环载荷，该板裂尖的寿命要求达到106循环，问着块板能达到要求吗？（设计要求考虑平均应力，此板Kc＝80MPam，PARIS系数A＝4x10-12，m=3;Y取1.12)

解：试样的横截面积为F＝0.03x0.3(m2)=0.009(m2)；