高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程 同课异构

学业分层测评(六)椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为________.【解析】设椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF1＝4，由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6.【答案】62.若a＝6，b＝eq\r(35)，则椭圆的标准方程是________.【解析】椭圆的焦点在x轴上时，方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,35)＝1，在y轴上时，方程为eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,35)＝1.【答案】eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,35)＝1或eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,35)＝13.(2023·汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2【解析】∵PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，∴2a＝8，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，∴椭圆方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.【答案】eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝14.过(－3,2)点且与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆方程为________.【解析】与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆可设为eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,4－k)＝1且k＜4，将(－3,2)代入得：k＝－6.【答案】eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝15.把椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的每个点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,4)，纵坐标缩短到原来的eq\f(1,3)，则所得曲线方程为________.【导学号：24830028】【解析】原方程化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,3)))2＝1，所得曲线为x2＋y2＝1.【答案】x2＋y2＝16.椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是________.【解析】椭圆化为标准形式为eq\f(x2,\f(1,4))＋eq\f(y2,\f(1,9))＝1，∴a2＝eq\f(1,4)，b2＝eq\f(1,9)，∴c2＝a2－b2＝eq\f(1,4)－eq\f(1,9)＝eq\f(5,36)，且焦点在x轴上，故为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(5),6)，0)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(5),6)，0))7.方程eq\f(x2,2m)－eq\f(y2,m－1)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________.【解析】将方程化为eq\f(x2,2m)＋eq\f(y2,1－m)＝1，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m>0，,1－m>0，,2m>1－m，))解之得eq\f(1,3)<m<1.【答案】eq\f(1,3)<m<18.椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则△F1PF2的面积为________.【解析】∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴PF1⊥PF2.∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)且PF1＋PF2＝2a.又a＝5，b＝3，∴c＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)＝64①,PF1＋PF2＝10②))②2－①，得2PF1·PF2＝102－64，∴PF1·PF2＝18，∴△F1PF2的面积为9.【答案】9二、解答题9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.【解】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.∴所求椭圆的标准方程是eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.10.已知椭圆eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1共焦点的椭圆的方程.【解】(1)把M的纵坐标代入eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1，得eq\f(8x2,81)＋eq\f(4,36)＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－5)＝1，把M点坐标代入得eq\f(9,a2)＋eq\f(4,a2－5)＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.能力提升]1.(2023·绵阳高二检测)设P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则PF1·PF2的最大值是________.【解析】由题意知：PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1·PF2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PF1＋PF2,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝16，当且仅当PF1＝PF2时取“＝”号，故PF1·PF2的最大值是16.【答案】162.已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ＝PF2，那么动点Q的轨迹是________.【解析】如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF1＋PF2＝2a为常数.又因为PQ＝PF2，所以PF1＋PQ＝2a，即QF1＝2a为常数.即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆.故Q的轨迹为圆.【答案】圆3.(2023·长沙高二检测)若F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，则△AF1F2的面积为________.【解析】如图所示，F1F2＝2eq\r(2)，AF1＋AF2＝6，由AF1＋AF2＝6，得AFeq\o\al(2,1)＋AFeq\o\al(2,2)＋2AF1·AF2＝36.又在△AF1F2中，AFeq\o\al(2,1)＋AFeq\o\al(2,2)－F1Feq\o\al(2,2)＝2AF1·AF2cos45°，所以36－2AF1·AF2－8＝eq\r(2)AF1·AF2，所以AF1·AF2＝eq\f(28,2＋\r(2))＝14(2－eq\r(2))，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)AF1·AF2sin45°＝eq\f(1,2)×14(2－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝7(eq\r(2)－1).【答案】7(eq\r(2)－1)4.已知点P(6,8)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0.试求(1)椭圆的方程.(2)求sin∠PF1F2【解】(1)因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10,0)，F2(10,0)，所以2a＝PF1＋PF2＝eq\r(6＋102＋82)＋eq\r(6－102＋82)＝12eq\r(5)，所以a＝6eq\r(5)，b2＝80.所以椭