高中数学苏教版第一章解三角形余弦定理 苏教版 余弦定理2 学案

1．2余弦定理(2)1.掌握余弦定理在几何问题、实际问题中的运用．2.初步体会正弦定理和余弦定理的综合运用．学生用书P81．正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.2．正弦定理的几个变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)．(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA，eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)．3．余弦定理及其变形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式S＝eq\f(1,2)absinC适合求任意三角形的面积．()(2)三角形中已知三边无法求其面积．()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．()解析：(1)正确，S＝eq\f(1,2)absinC适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．(3)正确，已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得第三边和两个角，再求面积．答案：(1)√(2)×(3)√2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，则c＝______．解析：由余弦定理得：c＝eq\r(92＋（2\r(3)）2－2×9×2\r(3)×cos150°)＝eq\r(3×72)＝7eq\r(3).答案：7eq\r(3)3．在△ABC中，已知BC＝1，B＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积为eq\r(3)，则AC的长为________．解析：由三角形面积公式得eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)，解得c＝4，再由余弦定理得b2＝1＋16－2×1×4×eq\f(1,2)＝13，所以AC的长为eq\r(13).答案：eq\r(13)余弦定理在几何图形中的运用[学生用书P8]如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．【解】设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即142＝x2＋102－20xcos60°，所以x2－10x－96＝0，所以x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理eq\f(BC,sin∠CDB)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，所以BC＝eq\f(16sin30°,sin135°)＝8eq\r(2).eq\a\vs4\al()余弦定理在几何图形中的应用，要注意结合图形，有时要利用图形性质求解．1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，则sinC的值为________．解析：设AB＝c，则AD＝c，BD＝eq\f(2c,\r(3))，BC＝eq\f(4c,\r(3))，在△ABD中，由余弦定理得cosA＝eq\f(c2＋c2－\f(4,3)c2,2c2)＝eq\f(1,3)，则sinA＝eq\f(2\r(2),3).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(c,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(\f(4c,\r(3)),\f(2\r(2),3))，解得sinC＝eq\f(\r(6),6).答案：eq\f(\r(6),6)余弦定理的实际应用[学生用书P9]在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq\f(\r(3)a,2)的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．【解】法一：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，所以BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a.在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),4)a))eq\s\up12(2)－2×eq\f(\r(3),2)a·eq\f(3＋\r(3),4)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2，所以AB＝eq\f(\r(6),4)a.所以蓝方这两支精锐部队的距离为eq\f(\r(6),4)a.法二：同法一，得AD＝DC＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，所以BC＝eq\f(\r(6),4)a，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\r(6),4)a·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2，所以AB＝eq\f(\r(6),4)a.所以蓝方这两支精锐部队的距离为eq\f(\r(6),4)a.eq\a\vs4\al()日常生活中，测量距离问题通常有两种情况种类图示解决方法一点不可到达可测出三角形两个角(A、C)和一边(AC)，直接运用正弦定理求AB两点均不可到达可测α、β、θ、φ及CD.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，先把求未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题(如图所示)，然后在△ABC中求解AB2.如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．解：因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，所以AP＝40，所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°＝402＋402－2×40×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝402×3，所以BP＝40eq\r(3).又∠PBC＝90°，BC＝80，所以PC2＝BP2＋BC2＝(40eq\r(3))2＋802＝11200，所以PC＝40eq\r(7)海里．证明三角恒等式[学生用书P9]在△ABC中，求证：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sin（A－B）,sinC).【证明】右边＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(sinA,sinC)·cosB－eq\f(sinB,sinC)·cosA＝eq\f(a,c)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)－eq\f(b,c)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(a2＋c2－b2,2c2)－eq\f(b2＋c2－a2,2c2)＝eq\f(a2－b2,c2)＝左边．所以eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sin（A－B）,sinC).eq\a\vs4\al()在三角形中，涉及边角关系的恒等式，可以考虑用正、余弦定理把角的关系转化为边的关系或统一由边的关系转化为角的关系．3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，求证：acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．证明：因为sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，由正弦定理可得acosC＋ccosA＝b，所以acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(1,2)(a＋c＋acosC＋ccosA)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．三角形中的综合问题[学生用书P10]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝eq\r(7)，△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．【解】(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由已知，eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2).又C＝eq\f(π,3)，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋eq\r(7).eq\a\vs4\al()解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：b2＝ac；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.解：(1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinA,cosA)＋\f(sinC,cosC)))＝eq\f(sinA,cosA)·eq\f(sinC,cosC)，因此sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，因此sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac.(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝eq\r(2)，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(12＋22－2,2×1×2)＝eq\f(3,4)，因为0<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(7),4)，故△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(7),4)＝eq\f(\r(7),4).1．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．2．在已知两边与其中一边的对角时，即可先用余弦定理求边，再继续求解；也可以先用正弦定理求另一边的对角，再继续求解．而用余弦定理先求第三边的好处是只需保证边为正来判断解的个数．3．因为余弦定理给出的是三边与一个角的余弦值之间的关系，而余弦值的正负可以决定该角是锐角还是钝角，因此利用余弦定理及其推论来判定三角形的形状时，我们一般是通过计算最大边所对应的最大角的余弦值，即两个小边的平方和与最大边的平方的差的正负，来判断该角是锐角还是钝角．即在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角．有时也会和正弦定理结合同化为边或同化为角观察．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－eq\r(3)sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．[解](1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－eq\r(3)sinA·cosB＝0，即有sinAsinB－eq\r(3)sinAcosB＝0.①因为sinA≠0，所以sinB－eq\r(3)cosB＝0.又cosB≠0，所以tanB＝eq\r(3).又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.因为a＋c＝1，cosB＝eq\f(1,2)， 有b2＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4).②又0<a<1，于是有eq\f(1,4)≤b2<1，即有eq\f(1,2)≤b<1.(1)①根据三角形内角和定理把已知条件转化为角B的一个三角函数是求B的关键．②结合(1)的结果，应用余弦定理把b2表示成a的函数，根据a的范围求出b的范围是本题的难点也是易错点．(2)在解决三角形问题时，注意挖掘题目中隐含的条件及边、角范围．同时要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变形．1．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为________．解析：由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3.设a＝3x，b＝2x，c＝3x，则cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9x2＋4x2－9x2,2×3x×2x)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．在△ABC中，若a2＝bc，则角A是________．(填“锐角”“直角”或“钝角”)解析：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－bc,2bc)＝eq\f(（b－c）2＋bc,2bc)>0.答案：锐角3．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，则c＝________.解析：a＝4，b＝4eq\r(3)，cosA＝eq\f(48＋c2－16,2×4\r(3)c)＝eq\f(\r(3),2)，解得c＝4或c＝8.答案：4或8,[学生用书P75(单独成册)])[A基础达标]1．△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________．解析：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，因为∠C为钝角，所以cosC<0，所以a2＋b2－c2<0，故a2＋b2<c2.答案：a2＋b2<c22．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．解析：因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos60°＝4＋16＋8＝28，所以|F3|＝2eq\r(7).答案：2eq\r(7)3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为______．解析：由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，①由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，②将②代入①得，ab＋2ab＝4，即ab＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)4．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AB＝1，BD＝eq\f(BC,2)＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcoseq\f(π,3)＝3.因此AD＝eq\r(3).答案：eq\r(3)5．已知向量a和b的模分别为2和3，且|a－b|＝eq\r(19)，则a，b的夹角为________．解析：a，b，a－b可构成三角形，由余弦定理，得cos〈a，b〉＝eq\f(4＋9－19,2×2×3)＝－eq\f(1,2).所以〈a，b〉＝eq\f(2,3)π.答案：eq\f(2,3)π6．平行四边形ABCD中，AC＝eq\r(65)，BD＝eq\r(17)，周长为18，则平行四边形的面积是________．解析：设平行四边形的两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65，解得a＝5，b＝4，cosα＝eq\f(3,5)，或a＝4，b＝5，cosα＝eq\f(3,5)，所以S平行四边形ABCD＝absinα＝16.答案：167．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积是______．解析：在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝64＋9－2×8×3×eq\f(1,2)＝49，所以a＝7.设三角形外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(7,sin60°)＝eq\f(14\r(3),3)，所以R＝eq\f(7\r(3),3)，S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7\r(3),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(49π,3).答案：eq\f(49π,3)8．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若△ABC的面积为eq\f(a2,4)，A＝15°，则eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)的值为________．解析：△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,4)，所以2bc＝eq\f(a2,sinA).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2,2bc)－eq\f(a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2,2bc)－eq\f(a2,\f(a2,sinA))＝eq\f(b2＋c2,2bc)－sinA，所以eq\f(b,c)＋eq\f(c,b)＝eq\f(b2＋c2,bc)＝2(sinA＋cosA)＝2eq\r(2)sin(A＋45°)＝2eq\r(2)sin60°＝eq\r(6).答案：eq\r(6)9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc.求：(1)角A的大小；(2)eq\f(bsinB,c)的值．解：(1)因为b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，所以b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，所以A＝60°.(2)在△ABC中，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a).因为b2＝ac，A＝60°，所以eq\f(bsinB,c)＝eq\f(b2sin60°,ac)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．(1)求证：A＝2B；(2)若a＝eq\r(3)b，判断△ABC的形状．解：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(c2＋bc,2ac)＝eq\f(b＋c,2a)＝eq\f(a2,2ab)＝eq\f(a,2b)＝eq\f(sinA,2sinB)，所以sinA＝sin2B，故A＝2B.(2)因为a＝eq\r(3)b，所以eq\f(a,b)＝eq\r(3)，由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(3b2＋4b2－b2,4\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．[B能力提升]1．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝eq\f(13,14)，则最大角的余弦值是________．解析：先由c2＝a2＋b2－2abcosC，求出c＝3，所以最大边为b，最大角为B，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,7).答案：－eq\f(1,7)2．在△ABC中，AB＝2，AC＝eq\r(6)，BC＝1＋eq\r(3)，AD为边BC上的高，则AD的长为______．解析：因为cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2×BC×AC)＝eq\f(\r(2),2)，所以sinC＝eq\f(\r(2),2).所以AD＝AC·sinC＝eq\r(3).答案：eq\r(3)3．如图，在△AB