空间中的平面与空间向量

课时作业(五)空间中的平面与空间向量一、选择题1．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于()A．2B．4C．－2D．－42．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为()A．10B．－10\f(1,2)D．－eq\f(1,2)3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为()A．a＝(－1,2，－2)B．a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，1))C．a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))D．a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))4．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2,4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为()A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交但不垂直D．AB∥α二、填空题5．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是△ABC的________．6．已知l∥α，且l的方向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y,2)，则y＝________.7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正确的是________(填序号)．三、解答题8.如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．(1)求证：A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．[尖子生题库]10.如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC.课时作业(五)空间中的平面与空间向量1．解析：∵α∥β，∴(1，－2,2)＝m(2，λ，4)，∴λ＝－4.答案：D2．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－2－8＝0，解得x＝－10.答案：B3．解析：设平面ABC的法向量为a＝(x，y，z)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up12(→))·a＝0，,\o(AC,\s\up12(→))·a＝0))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＋z＝0,4x＋5y＋3z＝0))，令z＝1，得y＝－1，x＝eq\f(1,2)，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，1))故平面ABC的一个单位法向量为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).答案：C4．解析：因为n·eq\o(AB,\s\up12(→))＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥eq\o(AB,\s\up12(→)).又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.答案：D5．解析：连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．答案：垂心6．解析：∵l∥α，∴(2，－8,1)·(1，y,2)＝0，而2×1－8y＋2＝0，∴y＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．解析：eq\o(AP,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP⊥AB，即①正确．eq\o(AP,\s\up12(→))·eq\o(AD,\s\up12(→))＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP⊥AD，即②正确．又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，即eq\o(AP,\s\up12(→))是平面ABCD的一个法向量，③正确．④不正确．答案：①②③8．证明：如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.因为PB＝PC，所以PO⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO.在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD，所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD.由三垂线定理，得PA⊥BD.9．解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，e)(0≤e≤a)．(1)eq\o(A1E,\s\up12(→))＝(－a，a，e－a)，eq\o(BD,\s\up12(→))＝(－a，－a,0)，eq\o(A1E,\s\up12(→))·eq\o(BD,\s\up12(→))＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴eq\o(A1E,\s\up12(→))⊥eq\o(BD,\s\up12(→))，即A1E⊥BD.(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵eq\o(DB,\s\up12(→))＝(a，a,0)，eq\o(DA1,\s\up12(→))＝(a,0，a)，eq\o(DE,\s\up12(→))＝(0，a，e)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DB,\s\up12(→))＝0，,n1·\o(DA1,\s\up12(→))＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(DB,\s\up12(→))＝0，,n2·\o(DE,\s\up12(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax1＋ay1＝0，,ax1＋az1＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2＋ay2＝0，,ay2＋ez2＝0.))取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(a,e))).由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.∴n1·n2＝2－eq\f(a,e)＝0，即e＝eq\f(a,2).∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.10．证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)，(1)eq\o(AP,\s\up12(→))＝(0,3,4)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－8,0,0)，所以eq\o(AP,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→))，即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|＝5，又|AM|＝3，且点M在线段AP上，所以eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5)，\f(12,5))).又因为eq\o(BA,\s\up12(→))＝(－4，－5,0)，所以eq\o(BM,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))，则eq\o(AP,\s\up12(→))·eq\o(B