《线性代数》复习

《线性代数》总复习2011.10第一章矩阵m×n个数构成的m行n列的数表加法：A+B=(aij+bij),A、B是同型矩阵

A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+O=A,A+(A)=O,数乘：kA=k(aij)

k(lA)=(kl)A,

(k+l)A=kA+lA,

k(A+B)=kA+kBcij=aikbkj.k=1s矩阵乘法：AB=C，其中C是m×n矩阵.(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(kA)B=k(AB).第一章矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换转置：A=(aij),AT=(aji)方阵的行列式：(AT)T=A,(kA)T=kAT,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT.设A=[aij]nn为方阵,元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵为方阵A的伴随矩阵.第一章矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换定义:

设A为方阵,若存在方阵B,使得

AB=BA=E.

则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.

注意：A可逆detA≠0(A1)1=A.

(AT)1=(A1)T.

(kA)1=k1A1.

(AB)1=B1A1.

运算性质逆阵的求法:定义法用伴随矩阵用初等行变换(AE)→(EA-1)逆阵的证法:A≠0，R(A)=n,反证法第一章矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换单位矩阵对角矩阵初等矩阵对称矩阵定义：非0子式的最高阶数求法：初等变换或定义法性质：经初等变换矩阵的秩不变几种常用的初等变换及对应的初等矩阵行阶梯矩阵、行最简型、标准型第一章矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换其它几个重要定理及结论：矩阵等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为B,则称A与B等价.记为A

B.（注意与相似、合同区别）A与B等价R(A)=R(B)定理.方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积.推论1.

方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。推论2.

m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。与等价有关的重要定理定理.

对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左

边乘以相应的初等矩阵;

对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.第一章矩阵解矩阵方程的初等变换法或者齐次线性方程组有非零解的充分条件化三角法递推法数学归纳法降阶展开法拆项法

…第一章矩阵行列式概念性质展开式计算应用第二章n维向量第二章n维向量n维向量运算线性表示线性相关性k11+k22+…+knn=0

ki均为0，则1,2,…,n线性无关

只要有一个ki不为0，1,2,…,n

线性相关

极大线性无关组：向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量构成的向量组是A的一个最大线性无关组。求法：非零子式法、初等变换法极大无关组包含的向量的个数极大无关组向量组的秩向量组与矩阵的关系矩阵A=(1,2,…,s)

列向量组:1,2,…,s

注：行向量的问题与列向量相同矩阵A的秩R(A)向量组的秩RT

最高阶非零子式最大线性无关组

第二章n维向量线性无关AE

A=P1…Ps

线性相关定义：向量内积

对称性:

[,]=[,];(2)线性性:

[k11+k22,]=k1[1,]+k2[2,];(3)[,]0;且[,]=0=0.(4)|[,]|[,][,].性质：正交：施密特(Schmidt)正交化方法若[,]=0,则称与正交.第二章n维向量正交矩阵A为正交矩阵ATA=E

线性方程组Ax=bb=0?齐次方程组是否非齐次方程组行阶梯形矩阵初等行变换R(A)nR(A)＝R(Ab)解的结构基础解系有无非零解有解判定第三章线性方程组第三章线性方程组1.解的判定

(1)齐次线性方程组有非零解的充要条件定理3.1.

Amn

x=0有非零解r(A)<n.

A的列向量组1,2,…,n

线性相关特殊,Ann

x=0有非零解|A|=0.

(2)非齐次线性方程组有解的充要条件定理3.4.设ARmn,bRm,则

(3)当秩([A,b])=秩(A)<n时,Ax=b有无穷解,且通解中含有n秩(A)

个自由未知量.(1)Ax=b有解(2)当秩([A,b])=秩(A)=n时,Ax=b有唯一解;秩([A,b])=秩(A);2.解的结构

(1)齐次线性方程组的基础解系及通解若1,2,…,s是Ax

=0的一个基础解系,则应该满足三条:

(2)非齐次线性方程组解的结构及一般解。(a)1,2,…,s是Ax

=0的解向量;

(b)1,2,…,s是线性无关的；

(c)Ax=0的每个解都可以由

1,2,…,s线性表示。Ax=b的一般解为

x=+k11

+…+knr

nr

.

(E–A)=0基础解系法第四章方阵的特征值和特征向量第四章方阵的特征值和特征向量特征值与特征向量A=，≠0

定义求法性质相似矩阵实对称阵特征值特征向量定义法特征方程|E–A|=0定义法1+…+n=tr(A).1…n=|A|.A

可逆1,…,n全不为零.|E–A|=|E–AT|.概念求法性质相似矩阵实对称阵特征值与特征向量矩阵相似，则其特征值相同。不同特征值的特征向量线性无关。k重特征值至多有k个线性无关的特征向量。A有n个线性无关的特征向量P-1AP=BA有n个不同的特征值A是实对称阵定义矩阵可对角化的条件应用An=P-1nP第四章方阵的特征值和特征向量概念求法性质相似矩阵实对称阵的特性特征值与特征向量必可相似对角化不同特征值的特征向量互相正交特征值全是实数k重特征值必有k个线性无关的特征向量与对角阵合同第四章方阵的特征值和特征向量矩阵等价、相似、合同的联系与区别A,B∈Mn,

A与B相似

存在可逆矩阵P，使P-1AP=BA与B合同

存在可逆矩阵C，使CTAC=BA,B∈Mm×n,

A与B等价

存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B共同的性质：自反性、对称性、传递性第四章方阵的特征值和特征向量实对称阵对角化的步骤求A全部特征值根据（所有特征值的重根次数之和等于n）对每个ki重特征值i求方程(A-iE)x=0的基础解系得出对应于特征值i的ki个线性无关的特征向量将对应于特征值i的ki个线性无关的特征向量正交、单位化（总共可以得到n个两两正交的单位特征向量）将n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，即可满足P-1AP=(注意顺序)。求方阵特征值和特征向量的步骤计算|E–A|

求|E–A|=0的根求(E–A)x=0的基础解系第四章方阵的特征值和特征向量第五章二次型二次型基本概念标准型化正定二次型第五章二次型定义：含有n个变量x1,x2,…,xn的二次