《优化探究》2届高三数学人教A版文科一轮复习课件第二章函数导数及其应用22

第十二节导数的综合应用最新考纲展示1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题．一、函数的最值与导数1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都

f(x0)．2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都

f(x0)．不超过不小于二、生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤1．极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．2．求函数在某个闭区间[a，b]上的最值，只需求出函数在区间[a，b]内的极值及在区间端点处的函数值，大的是最大值，小的是最小值．1．函数f(x)＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(

)A．72

B．27C．－2 D．0解析：f

′(x)＝4x3－4＝0⇒x＝1，当x>1时f

′(x)>0，x<1时f

′(x)<0，故f(x)在[－2,3]上的最小值为f(1)，f(1)＝1－4＋3＝0，故选D.答案：D解析：由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于0<x<40时，y′<0；当x>40时，y′>0.所以当x＝40时，y有最小值．答案：40函数的最值与导数(师生共研)规律方法

(1)求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．(2)分类讨论时，标准必须统一，分类后要做到无遗漏、不重复，还要注意不越级讨论，层次分明，能避免分类的题目不要分类．(3)分类讨论的步骤：①确定分类讨论的对象和分类标准．②合理分类，逐类讨论．③归纳总结，得出结论．1．已知函数f(x)＝x3－3ax2＋b(x∈R)，其中a≠0，b∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；解析：(1)f

′(x)＝3x2－6ax＝3x(x－2a)，令f

′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a.①当a>0时，0<2a，当x变化时，f

′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间是(－∞，0)和(2a，＋∞)，减区间是(0,2a)．②当a<0时，2a<0，当x变化时，f

′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间是(－∞，2a)和(0，＋∞)，减区间是(2a,0)．例2

某开发商用9000万元在市区购买一块土地，用于建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？生活中的优化问题(师生共研)规律方法

(1)解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”转化为数学语言，抽象为数学问题，选择合适的求解方法，而最值问题的应用题，写出目标函数利用导数求最值是首选的方法，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点．(2)利用导数解决优化问题的步骤：①审题，设未知数．②结合题意列出函数关系式．③确定函数的定义域．④在定义域内求极值、最值．⑤下结论．(2)y

′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令y

′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，显然，当x∈(6,9)时，y

′>0；当x∈(9,11)时，y

′<0.∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．导数在不等式中的应用(师生共研)(1)当a>0时，f′(x)，f(x)随着x的变化如下表：函数f(x)的单调递增区间是(－3a，a)，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－3a)，(a，＋∞)．当a<0时，f

′(x)，f(x)随着x的变化如下表：函数f(x)的单调递增区间是(a，－3a)，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，a)，(－3a，＋∞)．规律方法利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．3．(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解析：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.①若1≤k<e2，则－2<x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)·(ex－e－2)．从而当x>－2时，F′(x)>0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0