高考数学立体几何部分典型例题

（一）1.某几何体的三视图如(中侧视图中的圆弧是半)则该几何体的表面积为()．A．92＋πC．92＋π

＋14πD.82＋π命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察面积易错点1三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误解析由三视图可知几何体为一个长方体上面放着半个圆柱中长方体的长宽高分别为5,4,4圆柱的底面半径为，高为5所以该几何体的表面积为：S5×424×42×5×4×2＋

π×××＝9214π.答案A2小题满分12分）命题人：贺文宁如图所示，平面ABCD平面BCEF，且四边ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE⊥CEDC＝CE＝4，＝BF＝2.12）求证：AF∥平面CDE；求平面与平面所成锐二面角的余弦值；求直线EF与面ADE所成角的余弦值．命题意图：线面平行的位置关系，线面角、二面角的求法/9→→易错点）直接建系，不去证明三条线两两垂直2数据解错3）线面角求成正弦值证明

法一

取的中点为，连接FG∵BF∥CG且BF＝，∴四边形BFGC为平行四边形，则，且FG∵四边形ABCD为矩形，……..1分∴∥AD且BC＝AD，∴FG∥AD且＝∴四边形AFGD为平行四边形，则AFDG.∵DG平面CDE，AF平面CDE，∴AF∥平面.……分解

∵四边形为矩形，∴⊥，又∵平面ABCD⊥平面，且平面∩平面BCEF＝，⊥CE，∴DC⊥平面…….4分以C原点，所在直线为x轴，CE在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………………分根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)，(0,0,0)，，，，则AD＝－2,0,0)/91111n41CD1111n41CD1→→EFn－22→1EF|214→DE，－4)．设平面的一个法向量为n＝x，，z)，·n＝0则→·n0，＝0∴－40，取z＝1，得n＝(0,1,1)．∵⊥平面.……7→∴平面BCEF的一个法向量为D＝(0,0,4)．设平面与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，则cos＝

→＝＝，→×221因面与面所成锐二面角的余弦值22

.………………….9分解

根据(知平面ADE的个法向量为→n＝(0,1,1)，∵EF＝(2，－2,0)，∴cos〈EF，〉＝＝＝－，……….10分22×1设直线EF与平面成的角为θ，→3则cosθ＝|sin〈EF，〉＝，因此，直线

EF

与平面

所成角的余弦值为32

.………………….12分（二）1.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

()．A．8－π

B．8π

C．8－

π2

D．8－

π/912121212命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积易错点1三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误解析这是一个正方体切掉两个

14

圆柱后得到的几何体该几何体的高为＝2

－2

×π×1×28，故选B.答案B2.（本小题满分12分）命题人：贺文宁如图所示，四边形是边长为的正方形，MD⊥平面，NB⊥平面ABCD，且MD＝1，E为BC中点．求异面直线与AM成角的余弦值；在线段上是否存在点，使得⊥平面AMN？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．命题意图：异面直线所成角；利用空间向量解决探索性问题易错点1异面直线所成角容易找错（2）异面直线所成角的范围搞不清（3）利用空间向量解决探索性问题，找不到突破口解(1)如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系－.依题意得D，，M(0,0,1)，(0,1,0)，1(1,1,0)，(1,1,1)(，1,0)，………………….1分→所以N＝(－，0，－，/9＝101012122→→22222＝101012122→→22222→AM＝－1,0,1)…….2分设直线NE与AM所成角为θ，→

→则θ＝〈〉……分→→

1＝

|N·AM→→|N|·|AM

52

2×10＝.………………….5分10所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为(2)如图，假设在线段AN上存在点，使得⊥平面，连接AE→→→因为N(0,1,1)，可设A＝λ＝，λ，)，→又EA＝(，－，→→→所以＝EA＋＝(，λ－1，)…….7由⊥平面，得

→→SAM＝0，→→SA＝0，

＋＝，即12故λ＝此时＝(0，，)，|＝.…………………分2经检验，当＝时，ES⊥平面.2在线段AN上存在点，使得ES⊥平面AMN此时AS＝.……………分/9333333（三）1．一个多体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()．23

B.

476

C．6D.7命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积易错点1三视图很难还原成直观图（2）公式及数据计算错误解析如图三视图可知几何体是由棱长为的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为1＝22×22×××1×1×1答案A2.（本小题满分12分）命题人：贺文宁如图，矩形ABCD所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形ABEF中，∥EF，AB2AD＝＝1，∠BAF60°O，P别为AB，的中点，为底面△的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面；(2)求证：∥平面；/9213△3212F3矩形32213△3212F3矩形3212(3)求多面体CD－AFEB的体积.命题意图：面面垂直，线面平行的判定，空间几何体的体积易错点1判定时条件罗列不到位失分（）求体积时不会分割(1)证明

∵矩形ABCD所在的平面和平面互相垂直，且⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，……分又AF⊂ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠＝60°，由余弦定理知BF＝，∴AF

＋BF

＝AB

，得AF⊥，…….2分BF∩CB，∴AF⊥平面CFB又∵AF⊂ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.…………………分(2)证明

连接OM长交于H，则H为BF中点，又为的中，∴PH∥CF，又∵CF⊂AFC，PH平面AFC∴PH∥平面AFC，…………….6分连接，则PO∥AC，又∵AC⊂面AFC，⊄平面，∥平面AFC，∩＝P，∴平面POH平面AFC……分又∵PM⊂面，∴PM∥平面AFC……分(3)解

多面体－AFEB的体积可分成三棱锥－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和3在等腰梯形ABEF中，计算得＝1，两底间的距离EE＝.所以

－

13＝S×CB＝××1××1＝，

－

1133＝S×EE＝×2×1×＝，…分所以V＝V

－

＋

F

－

53＝…….12分/9222222（四）1.几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．命题意图：考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积解析由题意可得何体相当于一个棱长为2正方体切去一个角的相邻三条棱长分别是1,2,2所以几何体的体积为8＝33

.答案

2232.（本小题满分12分）命题人：贺文宁在平行四边形ABCD中，AB6，AD＝10，BD＝8，E是线段AD的点．如图所示，沿直线BD将△翻折成△′D，使得平面BCD⊥平面(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)求直线BD与平面′所成角的正弦值．命题意图：空间几何体的“翻折”问题，考察学生空间想象能力和知识迁移能力易错点：把平面图形转化为空间几何体，数据错误，垂直平行关系错误(1)证明

平行四边形中＝6AD＝10＝8，沿直BD将BCD翻折成eq\o\ac(△,)′D，可知C′＝CD＝6，′＝BC＝，BD＝，…………分即BC′2＝C′D2＋BDC′D⊥BD又∵平面BC′D平面ABD，平面′D∩平面ABD＝BDC′D平面′D，∴C′D⊥平面ABD…………/9→→4141→→4141(2)解

由(知′D⊥平面，且CD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D－xyz.则D，B(8,0,0)，C′(0,0,6)．…6∵是线段AD的中点，→∴E(4,3,0)，＝(－．