高考数学第15炼 求函数的单调区间

第函单调性是函数的一个重要性质函数作图起到决定性的作用导是分析函数单调区间的一个便利工具一已函数的单调区间是每一个学生的必备本领求的过程中也要学会一些方法和技巧。一、基础知识：1、函数的单调性：设

f

的定义域为

，区间

ID

，若对于

Ix11

2

，有f

f

，则称

f

在I上调递增，I称单调递增区间。若对于I,，有f1122间。2、导数与单调区间的联系

，则称

f调递减，I为单调递减区（）数

f

可导，那么

f

上单调递增

(x)此结论可以这样理解对于递增的函数其像有三种类型：，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。等号成立的情况一单调区间分界点导数有可能为零如：

f

的单调递增区间为

，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为

f

在

x

处的导数为0，但是

位于单调区间内。（）数

f

可导，则

f

上单调递减

x)（）面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由

()

的符号能否推出

f

的单调性呢？如果

f

不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性是求函数单调区间的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的骤（）定函数的定义域（）出

f

的导函数

f

'

x)（）

f(x)

（或

出

的解集，即为

f

的单调增（或减）区间（）出表格4、求单调区间的一些技巧强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用单区间为定义域的子集另一方面通过定义域对取的限制解不等式有时会起到简化的作用便调区间求解在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（）般可令

f(x)

，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆

f

不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即(简化求解的步骤）（）

f

'

的解集为定义域，那么说明

f

是定义域上的增函数，若

f

'

)

的解集为

，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么

f

是定义域上的减函数（）数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：+增增，减→减，

增→减，复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。5、求单调区间的一些注意事项（）调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数

1

的单调减区间为

就出错（不在义域内）（）果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“

”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以

1

为例，如果写成

，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件。由

1

性质可知，如果在

两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的。6、二阶导函数的作用：①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于

f

"

而言，决定的是

f

的单调性。当

f

时，

f

单调递增，意味着

f

随

的增大而增大，由于导数的几何意义为切线斜率，故切线斜率

随

的增大而增大；同理，当

f

时，

f'

单调递f33f33减，则切线斜率

随

的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？单调增有三种：

其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说

f

是决定函数单调性的，那么

f

在已知单调性的前提下，能够告诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。（）

f

"

，其图像特点为：

我们称这样的函数为下凸函数（）

f"

，其图像特点为：

我们称这样的函数为上凸函数②代数意义通

f

无法直接判断符号时通二导函数先确定一阶导函数的单调性，再看能否利用条件判断符号。二、典型例题：例1：下列函数中，在

上为增函数的是（）A.

f

B.

f

C.f

D.

f思路本题只需分析各个函数在

上的单调性即可选项

f

通过其图像可知显然在

不单调B选

f'

，当

时，f

以

f

单调递增选

2

31=3可得

f

在

33

单调递减，在

33

单调递增；选

11f'x

，可得

f

单调递减。综上B符条件答案：例2：函数

f

是（）A.

B.

C.

D.

思路：先分析

f

的定义域：

，再观察解析式可得f

可视为函数

tx1

的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，2可分别分析两个函数的单调性，对于

ylogt

而言，y对t是减函数。所以如要求得增区间，则

tx

中t对也为减函数。结合定义域可得

f

的单调增区间为

答案：例3：求函数

f

的单调区间（2009宁，题1）思路：第一步：先确定定义域，

f

定义域为R，第二步：求导：

f

'

(x)

,第三步：令

f

'

),即

e

第四步：处理恒正恒负的因式，可得

第五步：求解

,列出表格

f

'

x)

f例4：求函数

f

的单调区间解：定义域

f

1xxxxx=xxxxxx20令数f

22

（通过定义域大大化简解不等式的过程）f(x)f

例5：求函数

f

ln

x

的单调区间11lnxx2211lnxx22解：

f

'

1xx2x2

令

f

，即解不等式

lnxlnx

的单调区间为例6：求函数

f'f↘f(x)的单调区间

↗

↘思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析解：

lnxfx,0

，当

为减函数当

时，

f'

1xxx

x'f

单调递增综上所述：

f

单调递减，在

单调递增小炼有话说于含绝对值函数可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。（本在

时利用之前所学知识可直接判出

f

单调递减从简化步骤。导数只是分析函数单调性的一个工具能运用以前所学知识判断单调性直判断更为简便例7函数

f

11

xa

单调递增则

a

的取值集合是__________（）函数

f

11

的递增区间是

值集合是___________解）思路：

f

'

a2

，由

f

单调递2,311132,31113增可得：

，f

'

x

2

a

2

a（）思路：

f

的递增区间为

单调递增。令

f

'

2

x

2

2a

若af

单调递增区间为

不符题意，若

a则

22时，'。以aa

答案））小炼有话说：注意两问的不同之处，在）中，只是说明

f

单调递增，那么

f

也可以在其他区间单调递增，即

是增区间的子集。而2）明确提出单调增区间为

不再含有其他增区间，x为调区间的分界点，从而满足条件的

a

只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。例8：

f

13

若

f

在

上存在单调递增区间则

a

的取值范围是_______思路：

f

a

，有已知条件可得：

,+，使得f

，即a2

，只需

min

，而

y2

2

2139

，所以

a

19答案：

a

19小炼有话说知在某区间单调性求参数范围问题思路为通过导数将问题转化成f为不等式恒成立或不等式能成立问题而求解要注意已知函数号。其导函数

f

单调递（减时，（）转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把例6的条件改为“在

,

上存在单调递增区间在求解的过程中，靠不等式能成立问题的1xxx1x1xxx1x解法解出的a范围时

a

1，但当时满足不等式的x的仅有x，能9成为单调区间，故

a

1舍去，答案依然为9例9：设函数

f

p

lnx

（其中

e

是自然对数的底数

f

在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围思路：条件中只是提到

f

为单调函数，所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就是

f

恒立或

恒成立，进而求出

的范围即可解：

f

'

p

p若

f

单调递增，则

f

'

p202

恒成立即

122p1xx

p

2x

，设

h

21

2则

x2x21xxp若

f

单调递减，则

f

'

p202

恒成立即

p1

1

2xp1

2

，设

h

21

2则

x

x

x

，且当

x0

或

x

时，

h综上所述：

或

p0例10：若函数

f

a

在区间

12

内单调递增，则

a

取值范围是)A．

,1

B．

,1

C．

94

,

D．

91,4思路：先看函数

f

的定义域，则

x3

在

1,02

恒成立，

a

14f

可看成是由

logu

ax

的复合函数，故对a进分类讨论。当a时，yloga

单调递增以

u

需单调递增x2amin

，与

a

矛盾当

0

时，

yloga

单调减，所

x

3