高三上期末数学试卷

U22n12345U22n12345高三（上期末数学试一填题．设复数满（+i+i）=5i

为虚数单位．．设全集U=，2，}，集合A=1，3}{2}，则∩A=______．某地区有高中学校0所初中学校30所小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学所．已知双曲线C：（＞0，＞0的一条渐近线经过点P（，﹣2该双曲线的离心率为______．．函数fx）（x+2）值域为．．某校从男生和名生中随机选出学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为_．．如图所示的流程图中，输出的是_四棱锥﹣ABCD的面ABCD是长为为60°的菱形⊥底面ABCD，PA=3，若点M是BC中点，则三棱锥﹣PAD的积______．已知实数x，y满，2x+y的大值为．10知面向量，

x∈R||=______．已知等比数{}的各项均为正数，且+a=，+aaa．则

的值为_．12如图，直角梯形ABCD中，AB∥，∠DAB=90°，AD=AB=4，点P在边BC上且满足（，n均正实数

的最小值为_．

222111111111112nk2k222111111111112nk2kn1nnnn213在平面直角坐标系xOy中已知圆x+y，O﹣）+y=4动点P在线x+y﹣b=0上过分作圆，O的切线，且点分别为AB，若满足PB=2PA的有且只有两个，则实数b的值范围_____14已知函数f（x）=

若不等式f（x）≥，对∈恒立则实数的取值范围_．二、简答题15在△ABC中角ABC的对边分别为，b，已知（﹣C﹣，且bac成比列，求：（1sinB•sinC的；（2）A（3tanB的值．16如图，正三棱柱ABC﹣，D，E分是AC，AB的点．（1求证∥平面BB（2若AB=BB，求证AB⊥平面BCE17已知等差数{a的差d为数且+2=（k2，其中k常数且k∈N

*（1求及a（2设＞，a的前和为，等比数{b}的首项为l，公比为（＞0n项和为，存在正整数，得，求．18如图，直线l

是湖岸线是l

上一点，弧是O圆心的半圆形栈桥C为岸线l

上一观景亭现规划在湖中建一岛D同时沿线段CDDP点P半圆形栈桥上且不与点A，B重）建栈桥，考虑到美需要，设计方案为DP=DC，且弧栈桥BP∠CDP的部，已知（km湖与线栈桥CD，是弧栈桥BP成的区域（图中阴影部分）的面积为（BOP=（1求S关于θ的数关系；（2试判断是存在最大值，若在，求出对应的cosθ的，若不在，说明理由．

230001021200022300010212000219面直角坐标系xOy中圆（＞b心是直y=为椭圆的类线，已知椭圆的类准线方为y=

，长轴长为4（1求椭圆C的方程；（2点在圆C类线上但不在y轴点P作O：x+y的线l过点O且垂直于的线l

交于点A问点A是在椭圆C上证明你的结论．20已知，b为数函数f（x）﹣bx．（1当且b[，]时，求函数F（x）=

|++（x∈[]的最大值为M（b（2当a=0，﹣时，记（x）=①数（x）的图象上一点P（x，）的切线方程为y=y（x（x）（x）﹣y（x：是否存在x，使得对于任意x∈，x意x∈x∞有（x）（x）＜成立？若存在，求也所有可能的x组成的集合；若不存在，说明理由．②函数H（x）=

，若对任意实数k，总存在实数，使得H（x）=k成立，求实数s的取值集合．选：何明讲21如图所示，ABC是的接三角形，AB=ACAP∥BC弦的长线交AP于点D，证：AD=DE．选：形变22已知矩阵

的属于特征值8的一个特征向量是e=

，点（，2）在M对应的变换作用下得到点，Q坐标．

UUUUUUUU2015-2016学年苏常市三上期数试参考答案与试题解析一填题．设复数满（+i+i）=5i

为虚数单位z=﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运．【分析】把已知等式变形，然后用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（zi+i）=5得+

，∴﹣．故答案为：2﹣2i．设全集U=，2，}，集合A=1，3}{2}，则B∩∁A={}．【考点】交、并、补集的混合运．【分析】先求出（∁A根据交集的运算则计算即可【解答】解：∵全集U={，2，，4，集合{，}，∴（∁A=2，}∵B=2，}，∴（∁A{2故答为：}．某地区有高中学校0所初中学校30所小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校6所【考点】分层抽样方法．【分析从所学校抽取所学校做样本，样本量与总体的个数的比为：5得到每个个体被抽到的概率，即可得到结果．【解答】解：某城地区有学校+30所现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取所，每个个体被抽到的概率是

=，∴用分层抽样进行抽样，应该选取初中学校×30=6人故答案为：6．．已知双曲线C：

（＞0，b0）的一条渐近线经过点P（1﹣2该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析根双曲线的渐近线过点，立，，的系，结合离心率公式进行求解即可．

2222222222【解答】解：焦点在x轴的双曲线的渐近线方程为±x，∵一条渐近线经过点P（1，﹣2∴点（，﹣）在直线y=x即=2，则，则=5a，即c=a则双曲线的离心率=故答案为：

=

，．函数fx）（x+2

）的值域为（∞]

．【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据对数函数以及二次数的性质解答即可．【解答】解：∵0＜﹣x+∴时，（x）最大，

≤2，f（x）

=f（）最大值

=，故答案为∞，]．某校从男生和名生中随机选出学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为．【考点】古典概型及其概率计算式．【分析求基本事件总数选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的名学生都是女生，由此利用对立事件概率计算公式能求出选出的学生中男女生都有的概率．【解答】解：某校从2名男生和女生中随机选出3名生做义工，基本事件总数=10选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3学生都是女生，∴选出的学生中男女生都有的概率为p=1﹣

=1﹣

=

．故答案为：．．如图所示的流程图中，输出的是

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ADMeq\o\ac(△,)ABD=V==M=V=eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ADMeq\o\ac(△,)ABD=V==M=V=【考点】程序框图．【分析】运行流程图，写出每次i＜1026立时，k的，当，k＜1026成立，退出循环，输出的为．【解答】解：运行如图所示的流图，有，，k＜1026成，

，k＜1026成，，k＜1026成，，…观察规律可得的值周期为3由于2016=672×，所以：k＜成，S=，k=2016k＜1026不立，退出循环，输出S的为．故答案为：．四棱锥﹣ABCD的面ABCD是长为为60°的菱形⊥底面ABCD，PA=3，若点M是BC中点，则三棱锥﹣PAD的积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体．【分析由AD可，则V

M

﹣

P

ADM

．【解答】解：∵底面ABCD边长为2，锐角为60°的形，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ADMeq\o\ac(△,)ADB∵PA⊥底面ABCD

=

，∴V

﹣

P

ADM

=

．故答案为．

．已知实数x，y满，2x+y的大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解由约束条件

作出可行域如图，联立，解得A（令+y，得﹣+，由图可知，当直线﹣+z过A时直线在y轴的截距最大，z有最大值为

．故答案为：

．10知平面向量，

x∈R若则|=．

xxxn12345n123561xxxn12345n123561【考点】向量的模．【分析】根据向量的垂直关系求，，从而求出||可．【解答】解：平面向量，，∈R，若，+﹣，得2=1，∴=（1，=（1﹣）∴﹣（，﹣2∴|=2，故答案为：2．．已知等比数{}的各项均为正数，且+a=，+aaa．则为．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公即可得出．【解答】解：设等比数列{的公比为，∵+，aaa．∴，解得=，．

的值则

===117．故答案为：．12如图，直角梯形ABCD中，AB∥，∠DAB=90°，AD=AB=4，点P在边BC上且满足（，n均正实数

的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及意义．

2222112122222221121222【分析】假设

=

，用

表示出，用平面向量的基定理得出m与λ的关系，得到

关于的数，求出函数的最值．【解答】解：

=

，

=﹣+，设

=

=﹣

+

（0λ≤则

=

=1﹣

）+

．∵∴=

，∴﹣，．==．

≥当且仅当3（+4=

即（+4=

时取等号．故答案为：．13在平面直角坐标系xOy中已知圆x+y，O﹣）+y=4动点P在线x+y﹣b=0上过分作圆，O的切线，且点分别为AB，若满足PB=2PA的有且只有两个，则实数b的值范围是﹣【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出P的轨迹方程，动点在线x+

＜＜4．y﹣b=0上，满足的有只有两个，转化为直线与圆x++x

=0相交，即可求出实数取值范围．【解答】解：由题意O（，0（，（x，∵，∴（x﹣4+=4（x+y∴x+y+x

=0，圆心坐标为（﹣，径，∵动点在线x+

y﹣b=0上满足的P有只有两个，∴直线与圆x+y+x∴圆心到直线的距离d=

=0相交，＜，

22xxxx222222222xxxx22222222∴﹣﹣＜＜﹣故答案为：﹣

＜b414已知函数f（x）=

若不等式f（x）≥，对∈恒立则实数的取值范围是﹣≤e．【考点】函数恒成立问题．【分析根分段函数的表达式，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：当x=0时不等式f）≥kx等为0成立，当x＜0时，由fx）kx得2x﹣3x≥kx，即2x3k，当x＜0﹣3﹣，则k≥3当x＞0时，由fx）kx得+≥，≥k，设hx）

，当x＞0，（）=

，设gx）=xe﹣﹣，（x），当x＞0时g（）＞，即函数g（x）增函数，∵g2）﹣﹣=0，∴当x＞2时（x）＞0，（）＞，函数hx）为增函数，当0x＜时，g（），（）＜，函数hx）为减函数，即当时函数（x）取得极小值，同时是最小值（）==e，此时k≤，综上﹣3≤≤，故答案为：≤k≤．二、简答题15在△ABC中角ABC的对边分别为，b，已知（﹣C﹣，且bac成比列，求：（1sinB•sinC的；（2）A（3tanB的值．【考点】正弦定理；三角函数的简求值．【分析）用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简cos（﹣C）=1﹣即可求得sinBsinC值．（2由等比数列的性质可得=bc，由正弦定理得sin，由）得sinA=，结合范围A∈（0，边不是最大边，即可解得A的值．

222111111111111111111111111122211111111111111111111111111111（3由Bπ﹣

，可得（+C=cosBcosC﹣，得cosBcosC的值，利用同角三角函数基本关系式及两角和的正弦函数公式化简所求后计算即可得解．【解答题分为分解）cos（B）﹣cos（+∴+sinBsinC=1﹣sinBsinC∴sinBsinC=．分（2∵，，成等比数列，，由正弦定理，可得sin，从而sinA=，因为A∈，以sinA=

，又因为a边是最大边，以A=

…8分（3因为B+C=π﹣

，所以cos（B+）=cosBcosC﹣

，从而

，分所以+tanC==﹣﹣

…14分16如图，正三棱柱ABC﹣，D，E分是AC，AB的点．（1求证∥平面BB（2若AB=BB，求证AB⊥平面BCE【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定．【分析）结AC，BC，DE，此能证明∥面BBC．（2推导出⊥AB，从而⊥平面A，而CEAB再推导出△ABB∽eq\o\ac(△,Rt)B，从而ABB，此能证明AB平面B．【解答】证明）连结AC，，∵C是形，D是AC的中点，∴D是的点，

11111111111111111111111111111111111112n11111111111111111111111111111111111112nk2kn1nnnn2nk2k*221121nn2322nk2k*在eq\o\ac(△,AA)eq\o\ac(△,)C中，DE分是AC、AB的点，∴DEBC，∵DE平面BBC，平BBC，∴ED平面BBC（2∵ABC是三角形，是AB的中点，∴⊥，又∵正三棱柱ABC﹣ABC中，平面ABC⊥平面ABBA，线为AB，∴CE平面A，∴CE⊥A，在矩形A中，∵，∴eq\o\ac(△,Rt)BB∽eq\o\ac(△,Rt)B，∴∠A∠BBE，∴∠A+∠ABE=BBE+∠AB，∴AB⊥，∵CE，E平面B，CE∩B，∴AB平面B．17已知等差数{a的差d为数且+2=（k2，其中k常数且k∈N

*（1求及a（2设＞，a的前和为，等比数{b}的首项为l，公比为（＞0n项和为，存在正整数，得，求．【考点】数列的求和；等差数列通项公式．【分析）根据等差数{}的差d为整数，且+2a=（k2，其中k为常数且k∈，可得+k﹣1+2，a（﹣1）d=k+2，解d=4+，即可得出．（2于＞可得﹣3=3n

可得T=++理为q+q1﹣

，利用△≥0，解得m即可得出．【解答解∵等差数{a}公差d为数，且=k（k+），中k为常数且k∈，

22111n1n1nn22322*222222eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)22111n1n1nn22322*222222eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)COP∴+（﹣）+，+（2k﹣）（k2，得d=4，∵或2，∴当时，，=3，=36（﹣）﹣；当时，d=5，=1，+（﹣）=5n4．（2∵a＞1，∴﹣3∴=∵，∴==+q．

=3n．整理为+q1

∵eq\o\ac(△,)﹣

≥解≤

∵∈N∴m=1或．当m=1时，q+q﹣3=0，＞0解得当m=2时，q+q=0q＞，舍去．

．综上可得：q=18如图，直线l

．是湖岸线是l

上一点，弧是O圆心的半圆形栈桥C为岸线l

上一观景亭现规划在湖中建一岛D同时沿线段CDDP点P半圆形栈桥上且不与点A，B重）建栈桥，考虑到美需要，设计方案为DP=DC，且弧栈桥BP∠CDP的部，已知（km湖与线栈桥CD，是弧栈桥BP成的区域（图中阴影部分）的面积为（BOP=（1求S关于θ的数关系；（2试判断是存在最大值，若在，求出对应的cosθ的，若不在，说明理由．【考点】在实际问题中建立三角数模型．【分析）据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2存在，存在，′=（+

﹣1据两角和差的余弦公式即可求出．【解答】解）在△中，=CO+﹣2OC•OPcos﹣6cos，从而△CDP得面积==

（53cos又因为COP得积OC•OP=，

CDPeq\o\ac(△,)COP0000000000002220000022222200OPCDPeq\o\ac(△,)COP0000000000002220000022222200OP所以S=S+﹣，cos

=（﹣扇

cosθ﹣）+，0＜＜＜π，当所的直线与半圆相切时，设θ取最大值为，时COP中，，，

=6sinθ，=

，（2存在S′=（+3

sinθ﹣1令，得sin（

），当0＜＜，＞，所以当θ=时，取最大值，此时cos（+）=﹣

，∴=cos[θ+

）﹣

]（θ+）cos

+sin（）19面直角坐标系xOy中圆（＞b心是直y=为椭圆的类线，已知椭圆的类准线方为y=，轴长为4（1求椭圆C的方程；（2点在圆C类线上但不在y轴点P作O：x+y的线l过点O且垂直于的线l

交于点A问点A是在椭圆C上证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析）题意列关于，，c的程，联立方程组求得=4，bc=1则椭圆方程可求；（）设（x，≠0x时=﹣时求出A坐标，代入椭圆方程验证知A在圆上，当x≠±时求过点且直于0P的线与椭的交点，写出该交点与P点连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A椭圆C上【解答】解）由题意得：

=

=2

，，又=b+c，联立以上可得：a，，c=1∴椭圆的程为y；（2如图，由（1可知，椭圆的类准线方程为y=不妨取y=2，设（x，x≠

，则k=

，

0001210020300012100203∴过原点且与OP垂直的直线方程为y=﹣

x，当x=

时，过点圆的切线方程为x=

，过原点且与垂的直线方程﹣x，联立，得A（，代入椭圆方程成立；同理可得，当x=﹣

时，点A在圆上；当x≠±时联立，解得A（，﹣A（

，所直线方程为（2

+

x）x﹣x

﹣6y

x﹣

=0．此时原点O该直线的距离d=∴说明A在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也椭圆上综上可得，点A在圆C上．

=

，20已知，b为数函数f（x）﹣bx．（1当且b[，]时，求函数F（x）=为M（b（2当a=0，﹣时，记（x）=

|++（x∈[]的最大值

0001021200020222200010212000202222①数（x）的图象上一点P（x，）的切线方程为y=y（x（x）（x）﹣y（x：是否存在x，使得对于任意x∈，x意x∈x∞有（x）（x）＜成立？若存在，求也所有可能的x组成的集合；若不存在，说明理由．②函数H（x）=

，若对任意实数k，总存在实数，使得H（x）=k成立，求实数s的取值集合．【考点】利用导数求闭区间上函的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析）t（=x﹣lnx，x∈，2，求出t（）的范围是，4﹣，b∈，3时，记v（）=t﹣b|+2b，求出函数的单调性，求出Mb即可；（2）①求出（x）的导数，求（x）的表达式，结合函数的单性求出x的值即可；②出H（x）的值域，根据

x在s，+）增，值域[+s＞，则函数y=

在（，）递增，，）是减函数，其值域是（∞，]，到

≤，s﹣2elns≤，，记u）﹣2elns，根据函数的单调性断即可．【解答】解）（x）|﹣lnx﹣b|+2b，记t（x）=x﹣lnxx∈[，]，t（）﹣，令（x），得：

，＜x＜2，（x）＜0，（x）（，＜x＜2时t（x）＞，（x）在（

）上递减，，2上递增，又t（）+，t（2）=4﹣ln2，t

）

且t）﹣（）=

﹣2ln2＞0∴（x）的范围[，﹣ln2]，∈，3时，记v（）=t﹣b+1则v（）=∵v（）在[且v（

，，b上递减，在，﹣]递增，）+，v（﹣）=b+5ln2，v（

）﹣v（4ln2）=2b+

，∴b＞

时，最大值M（b=v（4）+﹣ln2时，最大值M（b=v（）=3b，

00000000000000000