定态微扰论与变分法

定态微扰论与变分法第一页，共二十八页，2022年，8月28日6.1非简并态微扰论一、基本方程

设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定格方程为:

(2)(1)当比较复杂，方程(1)难求解时，将写成：(3)其中是基本部分，与它对应的本征值和本征函数由以下方程求出第二页，共二十八页，2022年，8月28日

(4)(5)(6)将以上几式代入（1）式得：而相对很小，可视为加在上的微扰。为求方程的近似解，我们引入一个很小的实数，并将表示为相应地,将和表为实参数的级数：(7)第三页，共二十八页，2022年，8月28日

将(7)式展开，两边得到一个均为的幂级数等式，此等式成立的条件是两边同次幂的系数应相等，于是得到下面一系列方程：::::(12)(13)

由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得能量和波函数的近似解为：第四页，共二十八页，2022年，8月28日为一级修正，为二级修正为级修正(14)其中：二、零级近似的解因的本征值和本征函数可以全部求出：第五页，共二十八页，2022年，8月28日三、一级修正由（15）式可知，当非简并时，的本征函数只有一个，它就是波函数的零级近似。（设是归一化的）。以左乘（9）式两边，并对整个空间积分得：（16）注意到是厄米算符，是实数，则有（17）能量的一级修正值等于在态中的平均值。再注意的正交归一性，由（16）式得第六页，共二十八页，2022年，8月28日已知后，由（９）式可求波函数的一级修正。

将按的本征函数系展开

根据态迭加原理，展开系数可为任意常数，故可以选取，使得展开式中不含项，即使，则上展开式可改写为：或写成：

(18)第七页，共二十八页，2022年，8月28日

代入（9）式得（19）以左乘，并积分，并注意的正交归一性得到：（20）令微扰矩阵元

（21）

则:（22）

第八页，共二十八页，2022年，8月28日代入（18）式，得波函数的一级修正为（23）四、高级修正（能量的二级修正）作展开：

将(24)代入（10）式，可得到第九页，共二十八页，2022年，8月28日于是，能量的二级近似为：波函数的一级近似为：（２5）（２6）波函数的二级修正（２7）（２8）第十页，共二十八页，2022年，8月28日将(27)、(28)代入（10）式，可得其中用乘以上式，再积分，并利用第十一页，共二十八页，2022年，8月28日

总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：微扰理论适用条件欲使两式有意义，则要求两级数收敛。第十二页，共二十八页，2022年，8月28日例题许多物理问题可化为二能级系统a,b,A,B为实数，且a,b<<A,B(1)求能级的精确值(2)用微扰公式写出能级（二级近似）并与(1)的结果比较第十三页，共二十八页，2022年，8月28日例题一维谐振子受到微扰作用试用微扰论公式计算能级变化。第十四页，共二十八页，2022年，8月28日6.2简并态微扰论

假设是简并的，即对于的本征值有多个本征函数如何选择零级近似波函数呢？为了确定，依照非简并微扰论的方法。将（2）代入第十五页，共二十八页，2022年，8月28日

以左乘上式两边，并对整个空间积分，由于的厄米性质式中,是对应于同一本征值的本征函数。是利用了即要求是正交归一的。第十六页，共二十八页，2022年，8月28日（3）式是以系数为未知量的一次齐次方程组。有不全为零的解的条件是第十七页，共二十八页，2022年，8月28日解这个方程可以得到能量一级修正的个根(1).若的个根都不相等，则一级微扰将简并度完全消除；如果要求二级修正，再应用非简并微扰方法进行。(2).若的个根部分相等，则简并度部分解除，这时须再次利用简并微扰法考虑能量二级修正才有可能进一步解除简并，依次进行下去，直到简并度完全消除。

(３).若的个根完全相等，则一级微扰不能消除简并，必须继续利用简并微扰法考虑高阶修正。第十八页，共二十八页，2022年，8月28日例题一种冷原子有两个能级简并的态|1>和|2>。最近科学家在冷原子“暗态”实验中引入的激光场的效应相当于微扰哈密顿量求出该微扰引起的能量修正和对应的本征态。第十九页，共二十八页，2022年，8月28日例题一维金属中的电子受到一维周期势V(x)的作用，a为晶格常数，现可将V(x)看作微扰。无微扰时电子是自由电子，波函数为L=Na，是N个离子的晶格长度。求能级的一级修正。第二十页，共二十八页，2022年，8月28日例题斯塔克效应研究氢原子的第二个能级在外电场中引起的分裂。第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日6.3变分法一、基本思想是基态的能量和波函数在设是任意一个归一化的波函数:即：只有第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日（1）选取含有参量的尝试波函数（2）（3）求出二、用变分法求体系基态能量的步骤是

试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的直觉去猜测。三、如何选取试探波函数第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日（1）根据体系Hamilton量的形式和对称性推测合理的试探波函数；（2）试探波函数要满足问题的边界条件；（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或 多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；（4）若体系Hamilton量可以分成两部分H=H0+H1，而H0的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日例氦原子基态（变分法）

如图所示，当把核视为静止时，氦原子的哈米顿算符可表示为：动能势能相互作用能第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日

在不考虑氦原子中两个电子的相互作用能时，两个电子在核电场中运动，其哈米顿算符为：

其基态本征函数可用分离变量法求得，是两个类氢原子基态本征函数的乘积，即：第二十六页，共二十八页，2022年，8月28日

在氦中两个电子