空间几何体与点、直线、平面之间的位置关系

√√√√空间几何体点、直线、面之间的位关系√√√√一单题在三柱

中eq\o\ac(△,知)

是边角，，，分别是，，．

的点若==，直线

与．

所角余值()．【案D【析【析连，，由可∥，即线

与

所角

，据弦理即求【解连，由题得∥在三柱

中为=，所=√，=√所

=

(√)+((×√×√

=

√

，以线

与

所角余值

．选D．【睛本主涉内为异直求角问将面线过移中一直或条线方转成面线夹利余定的式行决注意题在算的候住三柱性，侧与面直已四锥

的面边

的接半为3且外圆圆到点距为2，则此棱体积最值（）．12【案A【析

C．32D．24试卷第1，总19页

+⋅𝐢∠+𝐬⋅+⋅𝐢∠+𝐬⋅⋅𝟑,【解析试题分析因为𝟑先求出

𝐱

，再求出底面四边形ABCD的面的最大值，即得锥体体积的最大值【详解】由锥体的体积公式v=

，可知，当s和都最大时，体积最大由题得顶点P到面ABCD的距离h≤2.当点P底面上的射影恰好为圆心O时，即PO⊥面ABCD时PO大=2即

𝐱

四边

𝐢

𝐢

𝐢

∠𝐢

∠𝐢

,此时∠

即四边形ABCD为圆内接正方形时，边形ABCD的面积最，所以此时四边形ABCD的积的最大值=

=,所以𝐱

⋅𝟏.故选：【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算最值的求法考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分推理能.．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为、，则（）A．

B．

．

D

【答案】A因为因√𝟏𝟐𝟑

，以

，故选．试卷第2页，总19

考点：棱锥的结构特征．．已知空间四边形ABCD，M，N分是AB，CD中点，且，BD=6则（）1C.5

B.2MN10D.2MN5【答案】A【解析】试题分析：取中点E连接ME，NE，，NE=3根据三角形中两边之和大于第三，两边之差小于第三边，∴1＜MN＜5故选A考点：本题主要考查空间两点的离。点评：容易题，注意运用三角形边与边的关系．．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）试卷第3页，总19

A．5A．5B．C．D．2【答案】A【解析】由三视图可知，该几何为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所求表面积

2

2

.故选：点睛：思考三视图还原空间几何首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.．用与球心距离为1的面去截球所得的截面面积为，球的表面积为A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】试题分析截面面积𝟐

球的半径

球的表面积

，故选C.考点：球的结构特征.．某几何体的三视图如图所示（单位：cm则该几何体的体积（单位：cm）是试卷第4页，总19

1111111111AB．πC．16π【答案】【解析】【分析】由题意三视图可知，几何体是等圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可．【详解】由三视图的图形可知，几何体是边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：𝟐=8π．故选．【点睛】本题是基础题，考查几何体的体的求法，有三视图推出几何体的形状是本题的关键．．在体积为的斜三棱－中，S是的一点，三棱锥S的体积为3，则三棱－AABB的积为试卷第5页，总19

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏A．11B．

C．10D．9【答案】C【解析】【分析】由的体积等于的体积，结合棱柱的体积为，利用分割法可得结果.【详解】因为

平面

，所以到面

的距离等于到平面

的距离，所以

的体积等于

的体积，

故选【点睛】空间几何体体积问题的常见类型解题策略）若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；若所给定的几何体是组合体不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等行求解(3)求以三视图为背景的几何的体积时应先根据三视图得到几何体的直观，然后根据条件求.安徽省示范高中（皖江八校届第八联考）某棱锥的三视如下图所,则该棱锥的外接球的表面积为（）试卷第6页，总19

A．

B．𝝅

C

D．【答案】A【解析】分析：由三视图可知该何体是如图所示的三棱，外接球球心在过中点且垂直平的线上可知直与面的交点也是直与线的交点没有可求三棱外接的半径，得到棱锥的外接球的表面积详解由三视图可知该几何体是图所示的三棱，外接球球心在过中点且垂于平直线上又到,距离相等，∴点又在线段的垂直平分面上是直线与面的交点，可知是直线与直线交点,（分别是左侧正方体对棱的中点,𝟐𝑩，故棱外接球的半径

，表面积为

.故选点睛：本题考查了三棱锥的性质空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档．．设四体ABCD各棱长相,S为

AD

的中点,

为异于中点和端点的任一点则

在四面体的面

上的的射影可能是试卷第7页，总19

A①B②C③D④【答案】C【解析】试题分析：由于几何体是正四面，所以ADBC上的射影是它中心，可得到AD在DBC的射影，因为S在AD上，所考察选项，只有C正确考点：几何体的三视图．某四锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等()AB．3D.

【答案】D【解析】由三视图可知该四棱锥一侧棱与底面垂直，底面面积为，高为1所以V2＝×2×1＝.3．在空四边，且异面与所成的角，分别为边与的中点，则异面直线和所的角为（）A．

B．

C

D．或【答案】D【解析】取AC中点M则异面直线与所成的角为直线和所成的角，异面试卷第8页，总19

°°11111直线和所成的角为直线和所成的角,因为异面直线与所成的角为°°11111

°

，所以

或，因为所以,因此∠

或,即异面直线和所成的角为

或，选D.二、填空题．三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为的正三角形，＝面角A－C的大小为________．

，则二【答案】【解析】试题分析：取中点，连接．均为边长为的等边三角形，且．即为二面角的平面角．

为

中点，由题意易得

又

，

为正三角形，．考点：二面角．．在如所示的棱长为的正方体ABCD-ABCD中，作与平面ACD平行的面，则截得的三角形中，面积最的值_________截得的平面图形中，面积最大的值是_______。试卷第9页，总19

【答案】

33【解析截得的三角形中面积最是以正方体的表面正方形的对角线所构成的等边三角形，如图中的eq\o\ac(△,)CB11∵正方体ABCD-ABCD的棱长为21111∴AC=CB=AB=2∴S=1111

32

如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中

MN=2GH2,OE1

122

2截面面积S=2×2故答案为(1).

3

(2).

点睛：本题考查了正方体的截面形的面积计算，关键是判断截面的形状，根据形状计算面积．．一个的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径_【答案】【解析】试题分析：由题意可知考点：球的表面积体积．已知间四面体ABCD中，ABCD

，ACADBC

，则四面体

ABCD

的外接球的表面积是.【答案】

试卷第10，总19页

【解析】试题分析：法一（补形）发现面体对棱相等，可将四面体放在一个长方体（长宽高为

，

，

1

，故外接球半径为：

，所以外接球表面积为S

.★：事实上，只要四面体对棱相等，都可将其放置在长方体中，其棱长恰为长方体对角线长法二：利用对棱中点注意到四体有一对棱长为

，其余均为

2

，故作

，CD的中点,F，由对称性得知心必在EF的中点上；故外接球半径

.考点：球的组合体及球的表面积方法点睛：本题主要考查了有关的内接三棱锥的性质及球的表面积的计算充分考查了学生的空间想象能力和逻辑推、运算能力，属于中档试题，正确把握球内接三棱锥的结构特征，梳理球内接组合体数量关系是解答此类问题的关键本题的解答中四面体放在一个长方体利用长方体对角线长等于外接球的直径可求得球的半径

R

或利用四面体的性质，根据对称性得球心必在EF的点上求得球的半径，代入公式即可求解球的表面积.三、解答题．如图已知三棱

，

、分为

、上点

，过点做截面，得截面交线段于,线段于点.试卷第11，19页

因为（1，确定、的位置，使面因为（2）

、分、

中点，求证：.【答案】见解析见解析【解析】分析做出当时，𝑬,由线面平行得到面面平行（2）连接交于点，连接，证详解：（1）当时面证明：

面.

又面𝑩且边𝑨、面

且∩因为

、面

且𝑬所以面面（2连交点，因为

𝑩

且

𝑨且连接𝑲面点睛：这个题目考查了线面平行证明，面面平行的证明。一般证明线面平行是从线线试卷第12，总19页

平行入手，通过构造平行四边形三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行。证明面面平行也可以从面平行入手。本题满分14分如图，在四锥P中，底面ABCD是方形，侧棱PD底面，PD＝DC是PC的中⑴求证：PA∥平面；⑵求证：平面BDE⊥平面PBC.【答案】证明见解析.【解析】试题分析）要证明线面平行，就是在待证的平面内找一条直线与之平行，一般是过直线作一个平面与要证的平面交线就是我们要找的平行线设

，则平面

I

平面

，而由中位线定理知

EO//PA

（2要证面面垂直，就是要证明一个平面经过另一平的的一条垂线，题中两平面的交线为

，首先由PD,E是中点得DE，另外由面ABCD，知在底面ABCD

上的射影是

，而

，因此有

DE

（可通过证明

平面

得此结论，从而有DE面PBC即得面面垂直试题解析：⑴连接AC，设AC与BD的交点为O，连接OE.试卷第13，总19页

∵在PCA中，是△PCA的中位线，∴PA∥OE.又PA在平面BDE内，∥平面BDE.⑵∵PD⊥底面ABCD。∴CB⊥PD.又BC⊥DCPDIDC面PDC,∴DE⊥BC

∴BC平面PDC.在PDC中PD是PC的中点，⊥PC.PCIBC,

因此有DE⊥平面PBC.∵DE

平面BDE∴平面⊥平PBC.考点：线面平行，面面垂直．如图四棱锥PABCD的面为平行四边形，M中点．（1求证∥面PCD；（2求证∥面．【答案（1）见解析（2见解析【解析】【分析】试卷第14，总19页

（1根据平行四边形的性质可知,结合直线与平面平行判定定理可得结论；（2𝑩，接，平行四边形的性质可为中位线，从而得到,用线面平行的判定定理，即可证出平面.【详解】证明（）∵如图，四棱锥P-ABCD底面为平行四边形，∴BC∥AD又⊂平面PAD，BC⊄平PAD∴BC∥平面PAD；（2设AC∩BD=H，连接MH，∵H为平行四形对线的交点，∴H为AC中点，又M为PC中点，为△PAC中位线，可得MH，⊂平面MBD平面，所以PA平面MBD．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定，属于中档.证明线面平行的常用方法：①用线面平行的判定定理使用这个定的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线可利用几何体的特征合理利中位线定理面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其一平面内的直线平行于另一平面．图的几何体中，

面ACD，

DE面，VACD为边三角试卷第15，总19页

形，

ADDE，的点，G为ED的中点（1求证：平面AFG平；（2求证：平面

平面

.【答案（1）见解析）见解析【解析】试题分析）由中位线定理可得

FG//2

，可得

FG//

平面

BCE

，由线面垂直的性质及线段长度可证而四边形四边形ABEG为行四边形为平行四边形，从而可得出

AG//

平面

从而可得结论取

的中点

连接

BH

，

，先证明AFBH，再证明AF面，可得BH面CDE从而平面平CDE.试题解析（1∵

平面

，

DE

平面

∴

ABDE.又G为

ED

的中点，

DE

.∴四边形ABEG为行四边形∴AG.而

为

的中点，

为

ED

的中点，∴

FGP

，又

AG

.P平面∴平面（2取的中点，连接，，由（）知，PDE且

AB

，∴

ABHF

为平行四边形，∴

AFBH

，而

VACD

为等边三角形，

为

的中点，所以

CD

，又

，所以

平面

，所以

BH

平面

，从而平面平面CDE【方法点晴】本题主要考查线面行的判定定理、面面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利线面平行的判定定理使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、试卷第16，总19页

线面平行的性质或者构造平行四形、寻找比例式证明两直线平行②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一面内的直线平行于另一平.本题（）是就是利用方法①证明线面平行后，再证明面平行.．如图四棱锥P-ABCD中