第二章地图的数学基础3

成都理工大学测量工程系

§2-5高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）

定义：

以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，用解析法将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

成都理工大学测量工程系NSc中央子午线赤道高斯投影平面赤道中央子午线2、高斯投影的原理

高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。成都理工大学测量工程系应用：1：5000至1：25万地形图采用的投影成都理工大学测量工程系投影条件及经纬网形状投影条件：中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴投影无角度变形中央经线投影后保持长度不变成都理工大学测量工程系变形分析高斯投影没有角度变形，面积比是长度比的平方中央经线投影无长度变形同一条纬线上，长度变形随经差的增大而增大；同一条经线上，长度变形随纬度的增大而减小长度变形恒为正，除中央经线外，其他任何线段都变大长度变形的大小主要取决于经差，变形的大小随λ的增大而增大，为了保证地图必要的精度，投影带不宜太宽。通常采用3º带或6º带成都理工大学测量工程系 为保证精度，采用分带投影方法： 经差6°或3°分带，长度变形约0.138%成都理工大学测量工程系成都理工大学测量工程系中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格分带投影：

1∶1万和更大比例尺（3°分带）

1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万。(6°分带）高斯投影分带成都理工大学地球科学院空间信息技术系式中x,y－高斯平面直角坐标系坐标；s－由赤道至纬度B的经线弧长；B－椭球体上大地坐标的经纬度；l－所求点的经度与中央子午线之间的经度差；单位为弧度的秒N－卯酉圈曲率半径，可据纬度直接查取；η－η2=e’2cos2B，e’为第二偏心率ρ”为常数，

ρ”=206264.”812.高斯投影正算公式精度为0.1m，多扩充一项精度可达0.001m成都理工大学地球科学院空间信息技术系高斯投影的最大变形在赤道上，并随经差的增大而增大，故限制投影的经度范围就能将变形大小控制在所需要的范围内，以满足地图所需精度的要求。因此对该投影进行分带投影6o分带法：从零子午线起，由西向东，每6o为一带，全球分60各投影带，用阿拉伯数字1、2、……60标记。东半球分30个投影带，从0o到180o，用1、2……30标记，西半球也分30个投影带，从180o到0o，用31、……、60标记，每带的中央经线的度数L0和带号n的关系表示为：成都理工大学地球科学院空间信息技术系3o分带法：3o分带法从东经1o30’起，每3o为一带，全球划为120带，用阿拉伯数字1、2、……120标记，这样分带的目的使6o带的中央经线全部为

3o带的中央经线，3o带中有半数的中央经线与6o带的中央经线重合，因此在由3o带转换成6o带时，不需任何计算而可以直接转用。3o投影带、6投影带划分及中央经线和带号的相互关系示意图01o30’6o12o18o180o0o1o30’6o12o18o120123412065114115116117118119123605859成都理工大学测量工程系高斯投影坐标网经纬网确定地面点和整个地形的实际位置在1：5000到1：25万的地形图上，经纬线以内图廓的形式表现出来，在四个图幅角点处注记相应的度数。1：25万的地形图还在图内以10ˊ为单位绘出加密十字线。1：50万的地形图，除在内图廓上绘出加密分划线外，还在图面上直接绘出经纬网方里网经纬网不能在图上迅速而精确的确定出距离和方向方里网定义：中央经线投影后的直线为x轴，赤道投影后的直线为y轴，两轴的交点为原点。为了避免y值为负，于y坐标前加上500km，为了区别各带的坐标，避免地面点空间位置的混淆，规定在横坐标值加上500km后，于百km的位数前加上带号，化成通用坐标成都理工大学测量工程系高斯-克吕格直角坐标yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m向西平移500km再加上带号高斯-克吕格通用坐标成都理工大学测量工程系

通用横轴墨卡托投影——UTM投影——美国地形图采用的投影 以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称

UniversalTransverseMercator——UTM投影（即等角横割椭圆柱投影）。

此投影无角度变形，中央经线为负变形，长度比为0.9996，中央经线与边缘经线的长度变形的绝对值大致相等，距中央经线约±180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6°或3°分带。长度变形<0.04%

第五章地图投影的应用和变换§5.1地图投影的选择依据一、制图区域的地理位置，形状和范围

1.制图区域地理位置决定了所选择投影的种类。

极地——

赤道附近——

中纬地区——正轴方位投影横轴方位投影,正轴圆柱投影正轴圆锥投影或斜轴方位投影2.制图区域形状直接制约地图投影的选择。中纬度地区:

沿纬线方向延伸的长形区域——

沿经线方向略窄，沿纬线方向略宽的长形区域——

沿经线方向南北延伸的长形区域——

圆形区域——

低纬赤道附近:

沿东西方向长条形区域——

圆形区域——单标准纬线正轴圆锥投影双标准纬线正轴圆锥投影

多圆锥投影

斜轴方位投影正轴圆柱投影

横轴方位投影

3.制图区域的范围大小也影响地图投影的选择。

范围小时，无论什么投影方式都无太大变形差异；对于区域广大的地图需要慎重的选择投影。

地理坐标地图（球面坐标表示为平面方式）等积圆柱投影墨卡托投影：正轴等角切圆柱投影编制世界时区图横轴墨卡托投影摩尔维特（Mollweide）投影等面积伪圆柱投影，常用于编制小比例尺世界地图桑逊投影等面积伪圆柱投影正射方位投影斜轴方位投影横轴方位投影斜轴等距方位投影

二、制图比例尺

不同比例尺地图，对精度要求不同，投影选择不同。

以我国为例，大比例地形图，量算及精确定位，选择各方面变形都较小的地图投影，如分带投影的横轴等角椭圆柱投影；中小比例尺的省区图，定位精度相对降低，选择正轴等角、等积、等距圆锥投影。

三、地图的内容

表现的主题和内容。

交通图，航海图，航空图——

自然地图和社会经济地图中的分布图，类型图，区划图——

世界时区图——等角投影等积投影经线投影成直线的正轴圆柱投影四、出版方式

单幅图，系列图，地图集。单幅图和系列图投影选择比较简单；地图集应该尽量采用同一系统的投影，再根据个别内容的特殊要求，在变形性质方面予以适当的变化。

成都理工大学测量工程系软件中投影的设置用户自定义（设备坐标）Mapgis中投影参数的设置成都理工大学测量工程系Arcview中的albers等积圆锥投影的定义成都理工大学测量工程系X轴平移单位这些参数随投影的不同而不同成都理工大学测量工程系ProjectiontypeSpheroidtype成都理工大学地球科学院空间信息技术系1.子午圈半径、卯酉圈半径、平均曲率半径和纬圈半径子午圈曲率半径M

过椭球表面上任一点A作作法线AL，通过法线的平面与椭球所截成的截面叫做法截面。同时过法线和椭球旋转轴的截面为子午圈截面，子午圈曲率半径通常是A点上所有截面的曲率半径中的最小值。公式为4.5.1地球椭球体的基本要素卯酉圈曲率半径N

卯酉圈截面是垂直于子午圈的截面，即过A点的法线AL并垂直于子午圈截面的法截面E’PE，它具有P点上所有截面的曲率半径的最大值。公式为4.5地图投影的计算a是地球的长半轴成都理工大学地球科学院空间信息技术系平均曲率半径RR等于主法截面曲率半径的几何中数不同纬度的子午圈半径和卯酉圈半径纬度（）子午圈曲率半径M（m）卯酉圈曲率半径N（m）06335553632457845636749163889459063996996399699由此可见，子午圈曲率半径除了在两极处相等外，在其他纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈的曲率半径均大于子午圈曲率半径成都理工大学地球科学院空间信息技术系纬圈（平行圈）半径r等面积球体半径：R＝6371116（m）等体积球体半径R＝6371110（m）2.地球的球体半径当编制较小比例尺地图时，可以不考虑地球扁率，而把椭球体用一个符合某种条件的球体来代替，以便于地图投影的计算，同时也满足制图的精度要求成都理工大学地球科学院空间信息技术系3.子午线（经线）弧长和纬线弧长AA’pEFQCAd子午线弧长在子午线上任取一点A，其纬度为A，取与A点无限接近的一点A’，其纬度为A+d，设C为弧AA’＝dS的曲率中心，M为该弧的曲率半径（即子午线A点上的曲率半径），因为弧AA’很小，可以把它看成以M为半径的圆周A，B两点之间的子午线弧长S为a为椭球体的长半轴成都理工大学地球科学院空间信息技术系积分后，得式中，；A＝1.0050517739；B＝0.00506237764；C＝0.0000106245；D＝0.00000002081成都理工大学地球科学院空间信息技术系纬线（平行圈）弧长因为纬线为圆弧，故可应用求圆弧弧长的公式：DBASλrr设A、B两点经差为λ，则由图可得

分析上述公式可得，同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增长。纬差1度的子午线弧长在赤道为110576m，在两极为111695m成都理工大学地球科学院空间信息技术系4.地球椭球体表面上的梯形面积ABCD如图所示，无穷小的梯形ABCD，其边长就是子午圈和平行圈的弧长，即微分梯形的面积ABCD可以写成如果所计算的面积为经度λ1与λ2的两条经线及纬度为1和2的两条纬线所包围的梯形成都理工大学地球科学院空间信息技术系正轴圆锥投影的经纬线特征纬线投影后为同心圆圆弧，其圆心为圆锥的顶点经线投影后为交于一点（圆锥顶点）的直线束，其相邻夹角与经差成正比根据特征可得圆锥投影的极坐标公式。4.5.2圆锥投影的一般公式成都理工大学地球科学院空间信息技术系XYS’δρsρφ2φ

1φ

sφs_－－－为最南端的纬线ρ

s－－－最南端纬线投影后的半径，它在一个已决定的投影中是常数ρ－－－纬线投影半径，它随不同的纬度B变化，l－－椭球面上两相邻经线间的夹角，它在平面上的投影为δa－－圆锥系数，即圆锥顶角与圆周角360之比φ2φ1φ0Sδ成都理工大学地球科学院空间信息技术系直角坐标公式；X轴－中央经线Y轴－过投影区域最（低南）纬线并垂至于中央经线的直线。沿经线方向的长度比沿纬线方向的长度比面积比P＝m.n最大角度变形为成都理工大学地球科学院空间信息技术系圆锥投影的一般公式对于椭球体对于球体，只要将上式中m，n以R代M，以Rcosφ代r，即可成都理工大学地球科学院空间信息技术系正轴等角圆锥投影基本公式根据等角条件，有

m=n（或a=b）或w＝0有代入M，N，并取积分成都理工大学地球科学院空间信息技术系将等角圆锥投影的一般公式整理为成都理工大学地球科学院空间信息技术系正轴圆锥投影的经纬线特征纬线投影后为同心圆圆弧，其圆心为圆锥的顶点经线投影后为交于一点（圆锥顶点）的直线束，其相邻夹角与经差成正比以等角正轴圆锥投影为例建立投影公式1.圆锥投影的一般公式根据特征可得圆锥投影的极坐标公式。成都理工大学地球科学院空间信息技术系XYS’δρsρB2B1BsBs_－－－为最南端的纬线ρ

s－－－最南端纬线投影后的半径ρ－－－纬线投影半径，它随不同的纬度B变化，l－－椭球面上两相邻经线间的夹角，它在平面上的投影为δa－－圆锥系数，即圆锥顶角与圆周角360之比B2B1B0Sδ成都理工大学地球科学院空间信息技术系φ0φ1φ2r0r1r2ρsρ0ρ1ρ2ρA’D’C’B’DABCYXδxy成都理工大学地球科学院空间信息技术系直角坐标公式；X轴－中央经线Y轴－过投影区域最（低南）纬线并垂至于中央经线的直线。沿经线长度比：沿纬线长度比公式中各参数的推导1.求p成都理工大学地球科学院空间信息技术系由等角条件，有m＝n，即移项、积分可得式中，a是圆锥系数，k为积分常数，φ为待求点的纬度成都理工大学地球科学院空间信息技术系2.求a

和

ka和k

在不同情况下有不同的值。单标准纬线（n0＝1）：双标准纬线（n1＝n2＝1）r0

为切线的半径r1

和r2

为两条割线φ1φ2的半径成都理工大学测量工程系§7地图定向（地图方位）概念：确定地图上图形的地理方向为地图定向。三北方向线：真北方向线：磁北方向线坐标北方向线三方位角：真方位角：磁方位角坐标方位角三偏角：子午线收敛角：磁偏角磁针对坐标纵线的偏角磁偏角子午线收敛角磁针对坐标纵线的偏角（磁坐偏角）成都理工大学测量工程系§8地图比例尺概念：地图上线段的长度与地面上相应线段水平长度之比。分类：按地图投影类型分：主比例尺，即平常地图上注记的比例尺，将地球椭球按一定比率缩小而表示在平面上，这个比率即主比例尺，是投影面上没有变形的点或线上的比例尺局部比例尺，地图上发生变形的点或线的比例尺。变化比较复杂，随线段的方向和位置的变化而变化。按比例尺大小分类（大、中、小）成都理工大学测量工程系地图比例尺的形式1:100001:500001/100001/50000万分之一五万分之一图上一厘米等于实地100m图上一厘米等于实地500m1.数字式2.文字式成都理工大学测量工程系1:50万501020km可量取比例尺基本长度单位的百分之一如果上图的比例尺为1：50万，比例尺基本长度单位为两厘米