第二章单粒子轨道理论

第二章单粒子轨道理论一引言二带电粒子在均匀电磁场中的运动三带电粒子在变化磁场中的运动四带电粒子在变化电场中的运动五绝热不变量六带电粒子在环形磁场中的运动一引言等离子体物理的基本描述方法

单粒子轨道理论 磁流体动力论(DynamicTheory)

等离子体动理学(KineticTheory)

计算机数值模拟技术等离子体的特征：大量带电粒子的集合体

库仑场－带电粒子之间的相互作用

外力场－粒子与外场的相互作用等离子体行为的双重性

流体／单个粒子的集合什么是单粒子轨道理论？

是一种简单近似的理论； 忽略等离子体粒子之间的相互作用，认为集体效应不重要的理论； 从单个带电粒子在电磁场中的运动方程出发； 用单个带电粒子在电磁场中的运动轨道描述等离子体。适用条件稀薄等离子体，粒子密度很低，粒子间的相互作用可以忽略，认为等离子体是无碰撞的；电荷及电流的分布在动力学中不起主要作用；感应场与外加场比起来是小量；

等离子体热压与磁压之比很小。优点简单直观，物理图象清晰。意义是一种有用的基本描述方法；是研究复杂问题的出发点；在强磁场情况下具有实际意义。基本物理模型

对于电荷为q

、速度为

v

的带电粒子，在电场强度为E、磁感应强度为B

的电磁场中运动，在非相对论情况下，其运动方程是其中,F

为非电磁力。这里假定电场和磁场是预先确定的只讨论比较简单的情况二、带电粒子在均匀电磁场中的运动1

均匀恒定磁场

此时，B

=常数，E

=0，F

=0，粒子运动方程变成

（1）取z在B的方向(B=Bez)，得到（2）（3.1）

（3.2）

显然，方程（2）给出平行磁场的粒子速度是常数，于是由动能守恒知道粒子的垂直速度大小也保持不变。所以在均匀恒定磁场中，粒子平行于磁场和垂直于磁场的运动是相对独立的。方程（3）描写的是一个简单谐振子的运动，其具有回旋频率（cyclotronfrequency），定义如下：方程（3）的解为其中是垂直磁场方向上的运动速度。再对（4）式求时间积分，可以得到粒子轨道的方程式a,x0,y0和z0都由初始条件决定。式中定义为回旋半径。当一个带电粒子在一个均匀恒定磁场（Bez）中运动时，这个粒子轨道在垂直磁场的平面上的投影是以(x0,y0)为圆心以rc为半径的圆，也就是说粒子在垂直磁场平面内作回旋运动，其回旋频率为W，同时，粒子还以速度v||沿磁力线作匀速直线运动。总之，带电粒子在均匀恒定磁场中作螺旋运动。这条螺线的半径是粒子回旋半径，螺距为。粒子回旋中心的轨道叫做引导中心。

图1带电粒子在均匀恒定磁场中的运动关于粒子回旋频率和回旋半径：

粒子不同，回旋运动的方向不同，回旋频率的大小也不同。回旋频率与磁感应强度成正比，与粒子质量成反比，所以在一定磁场中电子的回旋频率远远大于离子的回旋频率。回旋半径的大小与粒子质量和垂直速度成正比，与磁感应强度的大小成反比。关于等离子体的抗磁性：处于磁场中的带电粒子绕磁力线作圆周运动，于是它们形成了一个“小电流圈”，正负电荷旋转方向相反，但形成的电流方向是相同的，迎着磁场看，作回旋运动的带电粒子形成的电流是沿顺时针流动的，这个环方向电流会产生感应磁场，感应磁场的方向正好与外磁场相反，它起着“抵消”或“反抗”外磁场的作用，我们把这种等离子体的特性称之为等离子体的抗磁性。回旋频率回旋半径（拉摩半径）引导中心（导向中心）磁距等离子体抗磁性二、带电粒子在均匀电磁场中的运动2在均匀恒定磁场中的电漂移

现在我们考虑除有均匀恒定的磁场B外，还存在一个均匀恒定的小电场E，此时带电粒子运动方程为

方程（7）式只比方程（1）式多了一个电场作用项，我们把电场分解为沿磁场和垂直磁场的分量，，显然，方程（7）式的z分量形式为从上式我们发现由于E||使粒子沿磁力线作匀加速运动，经过一段时间后，沿磁力线运动的速度可以达到相当大，以致于非相对论近似不成立；由于正负电荷沿相反方向运动，引起较大尺度的电荷分离，产生很大的电场；由于粒子速度大，会产生较大的宏观电流，这个电流又要产生感应磁场，于是就会改变原来的磁场形态。总之，这些情况都导致单粒子轨道理论不再适用。所以，我们这里必须假设E||=0，这样粒子沿磁力线只能作匀速直线运动。方程（7）的垂直分量形式为通过物理直观分析（见图2）可见，电场的存在使粒子有一个漂移速度，漂移的方向与磁场方向垂直。设，于是方程（10）写成为对（11）式求时间导数，得到图2电漂移很容易得到方程（12）的解另外，将（13）式与（4）式比较，显然电场E产生了一个既垂直于磁场又垂直于电场的漂移速度，可以写成矢量形式：带电粒子在均匀恒定电磁场中的漂移速度公式由（14）式给出。这个电漂移速度的特征为：vE漂移方向垂直于磁场，也垂直于电场；vE的大小与粒子电荷的正负号无关，与粒子质量也无关；电子、离子都以相同的速度朝同方向漂移，不会引起电荷分离，因此没有漂移电流出现。二、带电粒子在均匀电磁场中的运动3在均匀恒定磁场中的重力漂移在我们讨论其它力场作用的情况时，只需要将（7）式中的电场微扰力作用项用一般的作用力F替代就可以了，即所以（14）式中E的换成F/q，就可以得到一般力场F引起的粒子漂移速度公式如果方程（15）中的F是重力，F=mg,则存在一个重力漂移

重力漂移的物理原因也是因为在重力场中粒子得到和损失能量时所引起的回旋半径变化而导致的。

重力漂移速度的特征为：

vg的方向垂直于磁场，也垂直于重力加速度；

vg与粒子电荷符号有关，电子、离子朝相反方向漂移，会产生电荷分离；

vg的大小与粒子质量有关，质量越大，漂移速度越大；

vg的大小通常可以忽略，但当磁力线弯曲时，存在一个因离心力作用引起的有效重力，这个有效重力与质量无关，是不能忽略的，它是等离子体不稳定性的基础。重力漂移会引起漂移电流。电子和离子在重力作用下以相反的方向漂移，所以在等离子体中会有一个净电流密度。漂移运动的特性：漂移是洛伦兹力和微扰力的平衡决定。电场力引起的漂移与电荷无关；而非电性力与电荷无关，可是对应的漂移速度却与电荷有关。三、带电粒子在变化磁场中的运动1漂移近似一般情况电磁场是空间非均匀的，并且随时间变化，于是带电粒子在电磁场中的运动方程是非线性的，很难得到解析解，需要数值积分求解，但在某些近似条件下，可以不经过数值积分而得到近似解，下面我们介绍一种近似处理方法。如果等离子体中

电磁场的空间、时间变化很平缓；电磁场的空间、时间变化平缓就是指在一个回旋半径或回旋周期内电磁场变化很小。

电场很弱；电场引起粒子速度的改变为，如果在一个回旋周期内，则可以认为电场很弱。

粒子的横向速度很大在一个回旋周期内粒子轨迹偏离拉摩圆不大，或者粒子横向速度远大于回旋中心横越磁力线的速度，则磁力线可维持螺旋状。

满足上述三个条件的粒子回旋运动，对等离子体性质及轨道的影响很小，就是说在粒子绕磁场一周的距离和时间尺度内几乎感受不到电磁场的变化，场近似为恒定和均匀的，这样就可以用粒子导向中心运动来代替粒子的精确运动，使问题大为简化，这种方法称为漂移近似，也称为导向中心近似。三、带电粒子在变化磁场中的运动2梯度漂移是矢量导数，是9个函数构成的一个二阶张量，描述了磁场的空间非均匀性。定义散度项：横向梯度项：曲率项：剪切项：带电粒子在一般非均匀磁场中的运动非常复杂，下面我们只讨论两种简单的情况：磁场梯度漂移和曲率漂移。在等离子体中垂直磁场方向如果有梯度，就会引起带电粒子在垂直于磁场和磁场梯度的方向的漂移，叫磁场梯度漂移。设：B沿z方向，在y轴方向存在梯度，于是从运动方程（1）式出发对方程（20）求时间导数，得到我们采用漂移近似，磁场满足缓变条件粒子旋转一周的过程中磁场几乎不变，所以W可以在引导中心附近展开

（22）将上式带入（21）式，得到：

(23.1)(23.2)与（3）式比较，方程（23）右端的项均为小量，可以用均匀磁场的值代替，于是（23）式的解为下面的（24）式：（24.1）式右边最后一项垂直于磁场B(y)ez,也垂直于磁场梯度方向，即为垂直于磁场梯度方向的漂移速度：

（25）其中为动能，上式写成矢量形式（