第二章-平面力系

第2章

平面力系2.1平面汇交力系2.1.1平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。2.1.1平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。

用矢量式表示为：如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。2.1.1平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示为：[例1]

已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解：

∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN,NB=23.1kN所以又由几何关系：2.1.2平面汇交力系合成与平衡的解析法力在坐标轴上的投影FxyFxFyabO2.1.2力的正交分解与力的解析表达式FFxFyxyijO2.1.2合力投影定理平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。2.1.2平面汇交力系合成的解析法2.1.2平面汇交力系的平衡方程

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。[例2]

已知P=2kN求SCD,RA解:

1.取AB杆为研究对象2.画AB的受力图3.列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；4.解方程2.2平面力偶系MO(F)OhrFAB2.2.1力对点之矩（力矩）力F与点O位于同一平面内，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。力矩的单位常用N·m或kN·m。2.2.1合力矩定理与力矩的解析表达式平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。FFxFyxyOqxyA(1)合力矩定理(2)力矩的解析表达式例1已知F＝1400N,r＝60mm,a＝20°，求力Fn对O点的矩。FnFrFtFn2.2.2平面力偶由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记为(F,F')。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。力偶与力偶矩2.2.2力偶与力偶矩FF'dDABC力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：(1)力偶矩的大小；(2)力偶在作用面内的转向。平面力偶可视为代数量，以M或M(F,F')表示，平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。力偶的单位与力矩相同。2.2.3同平面内力偶的等效定理定理定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。推论：(1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。F0F0ABDCdFF1F22.2.3同平面内力偶的等效定理定理力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示的符号表示力偶。M为力偶的矩。M1(F1,F'1)，M2(F2,F'2)

在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。

2.2.3平面力偶系的合成2.2.4平面力偶系的平衡条件所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即思考题1刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？F1F3BACDF2F4思考题2PORM从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？FO[例3]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为,求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?解:各力偶的合力偶矩为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。[例4]图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。[例5]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。解：1、研究对象二力杆：AD2、研究对象：整体思考：CB杆受力情况如何？m练习：解：1、研究对象二力杆：BC2、研究对象：整体mAD杆[例6]不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用，转向如图。问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?60o60oABCDM1M2解:取杆AB为研究对象画受力图。杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A处约束反力的方位可定。ABCM1RARCMi=0RA=RC=R,AC=aaR-M1=0M1=aR(1)60o60oABCDM1M2取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定,则D点约束反力方位亦可确定，画受力图。60o60oDM2BCARDRCRD=RC=RMi=0-0.5aR+M2=0M2=0.5aR(2)联立(1)(2)两式得:M1/M2=260o60oABCDM1M22.3.1力线平移定理

定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。

力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。2.3平面任意力系ABMABF′F′F″FABF＝＝①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d

③力的平移定理是力系简化的理论基础。说明：OxyijOOxyF1F2FnF1′F2′Fn′MnM2M1MOFR′2.3.2平面任意力系向一点简化·主矢与主矩2.3.2平面任意力系向一点简化·主矢与主矩平面汇交力系力，FR′(主矢，作用在简化中心)平面力偶系力偶，MO

(主矩，作用在该平面上)平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合成结果为平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。2.3.2平面任意力系向一点简化·主矢与主矩

原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。2.3.2平面任意力系向一点简化·主矢与主矩平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。AAA一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。2.3.2平面固定端约束AMAFAyFAxFAMA2.3.3平面任意力系简化结果分析四种情况：(1)F'R＝0，MO≠0;(2)F'R≠

0，MO＝0;(3)F'R≠

0，MO≠0;(4)F'R＝0，MO＝0(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。F4F1F2F3ABCD四个力是否平衡？

F'R＝0，MO≠02.3.3平面任意力系简化结果分析(2)平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力。如图OO′FR′dFR″FRFRMOFR′OO′dOO′结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。2.3.3平面任意力系简化结果分析FRdOO′从图中可以看出所以由主矩的定义知：简化中心：A点主矢思考：三角形分布载荷处理？主矩简化最终结果yxMAdxlFR=分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。结论：1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。2.3.3平行分布线荷载的简化1、均布荷载2、三角形荷载3、梯形荷载l/2l/2qQQqq2q1可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加634ABC

[例]图示力系，已知：P1=100N,P2=50N,P3=200N,图中距离单位cm。求：1、力系主矢及对A点之矩？2、力系简化最后结果。解：1、建立坐标系xy2、X=∑Fx=P3=200NY=∑Fy=P1+P2=100+50=150N∴主矢∴=36.9°ABCxy2、简化最终结果MAh主矢主矩最终结果合力大小：方向:=36.9°位置图示：方向：=36.9°在A点左还是右？2.3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即2.3.4平面任意力系的平衡条件和平衡方程

平衡方程即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。由于所以解：以刚架为研究对象，受力如图。解之得：例1例1求图示刚架的约束反力。APabqAPqFAyFAxMA例2例2求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx(1)二矩式其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x轴(或y轴），则力系必平衡。2.3.4平衡方程的其它形式(2)三矩式其中A、B、C三点不能在同一条直线上。注意：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。

由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。例3例3悬臂吊车如图所示。横梁AB长l＝2.5m，重量P＝1.2kN，拉杆CB的倾角a＝30°，质量不计，载荷Q＝7.5kN。求图示位置a＝2m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。例3解：取横梁AB为研究对象。ABEHPQFTFAyFAxaa从(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出例3CABEHPQFTFAyFAxaa如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,3,5;1,4,5;2,4,5；3,4,5;

力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：其中AB连线不能与各力的作用线平行。2.3.4平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn[例4]已知：塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？ 限制条件：解：⑴首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的Q：②空载时，W=0由限制条件为：解得因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：解得:⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：

解得：由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。2.4物体系的平衡·静定和超静定问题在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数。2.4物体系的平衡·静定和超静定问题

静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个）

静不定（未知数四个）判断各图的超静定次数例5例5求图示三铰刚架的支座反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。可解得：CBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy例5再以AC为研究对象，受力如图。解得：FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF例6例6求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。再以整体为研究对象，受力如图。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例7例7求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。再以AB部分为研究对象，受力如图。求得CBqFAMbaaFBMCBFCF'BFAyqFBAMAFAx例4例8组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解之得：aaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAyF1F2F3Cxy45°例4再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。aaabDACEFBq123例9例9图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1＝P2＝500N，各杆自重不计，求F处的约束反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解得：2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB例9再以DF为研究对象，受力如图。解得：最后以杆BG为研究对象，受力如图。解得：P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxF'FyF'Fx2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2ABCD例10例10三根等长同重均质杆(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。解1：取AB分析，受力如图。不妨设杆长为l。再以整体为研究对象，受力如图。ABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy例10最后以DC为研究对象，受力如图。联立求解(1)、(2)、(3)得：FCyFCxDCFDxFDyWABCD解2：先以BC为研究对象，受力如图。再以DC为研究对象，受力如图。F'CxF'CyF'BxF'ByBCWF'TABCD例10联立求解(4)、(5)、(6)即可的同样结果。最后以整体为研究对象，受力如图。ABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD解2：先以BC为研究对象，受力如图。再以DC为研究对象，受力如图。例11例11三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力P，求铰链E处的反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解得：PlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFBEPD2l/3CB例11下面用不同的方法求铰链E的受力。方法1：先以DC为研究对象。再以BDC为研究对象。类似地，亦可以DC为研究对象，求FDy，再以ACD为研究对象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy例11方法2：分别以ACD和AC为研究对象。联立求解以上两方程即得同样结果。类似地，亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。P2l/3DCAEF'ExF'EyFDxFDyFAxFAyCAEFAxFAyF'ExF'EyF'CxF'Cy例11方法3：分别以BD和AC为研究对象，受力如图。用RE1、RE2表示的约束反力和用FEx、FEy表示的约束反力本质上是同一个力。CAEFAxFAyF'ExF'EyF'E2F'E1DBEF'DxF'DyFE2FE1FB例12例12两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l＝2m，受力情况如图所示。已知水平力F＝6kN，M＝4kN·m，q＝3kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。ABC