第2章.微机运算基础

第二章微机运算基础微型计算机原理及应用主编：李继灿清华大学出版社内容提要22.4二进制数的运算

2.3二进制编码2.1&2进位记数制及转换

2.6带符号数的表示2.5定点数和浮点数3理解进位记数制的基本特点。熟练掌握各种进位记数制之间相互转换的办法。掌握常用的8421BCD编码和ASCII编码。熟练掌握二进制数的各种算术运算与逻辑运算方法。理解数的定点和浮点表示法。理解和熟练掌握补码及其运算与溢出。学习要求4进位记数制(简称进位制)：利用符号按照进位原则来记数的方法生活中的数制六十进制:1小时=60分,1分=60秒十二进制:1英尺=12英寸，1年=12月十进制：符合人们的习惯×10=2.1进位记数制5进位记数制三要素：数码、基数、位权

数码(Number)：用不同的数字符号来表示一种数制的数值，这些数字符号称为“数码”。

例如：十进制数码（0，1，2，…，9）

基数(Radix,也称底数)：数制中所使用的数码的个数

例如：十进制有10个数码，基数为10，逢十进一，借一当十进位计数制的基本概念6结论：在各进位记数制中，十进制是人们最熟悉的，二进制是在计算机内使用，八进制和十六进制则可看成二进制的压缩形式。位权(Weight)：某数制中，每一位所具有的值称为“位权”，用基数的n次幂表示。例如：十进制中位权表示为，10-2(百分位)，10-1(十分位)，100(个位)，101(十位)进位计数制的基本概念71二进制Binary

例如:（1001）21001B

2八进制Octal

例如:（317）8317Q

3十进制Decimal

例如:（531）10531D

4十六进制Hexadecimal

例如:（9A1）169A1H

数字系统中常用的数制8数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

基数：10

位权：10i,i=…3,2,1,0,-1,-2,-3…

规则：逢十进一

表示：(999.99)10，或者(999.99)D

，或者999.99

例如:

(143.75)10=1×102+4×101+3×100+7×10-1+5×10-2

(15)10=?2.1.1十进制(DecimalNumber)9数码：0,1

基数：2

位权：2i,i=…3,2,1,0,-1,-2,-3…

规则：逢二进一

表示：(1101.11)2，或者1101.11B2.1.2二进制(BinaryNumber)0—(2n-1)例如：（101.11）2=1×22+0×21+1×20+1×2－1+1×2－2

=

(5.75)10

（1111）2=？

n位二进制无符号整数表示范围：最早倡导二进制的是德国科学家莱布尼兹世界上总共有10种人，一种懂得什么是二进制，一种不懂

10数码：0,1,2,3,4,5,6,7

基数：8

位权：8i,i=…3,2,1,0,-1,-2,-3…

规则：逢八进一

表示：(257)8，或者(257)O

，或者(257)Q

例如:

(23.71)8=2×81+3×80+7×8-1+1×8-2

=(19.890625)10

(17)8=？

2.1.3八进制(OctalNumber)2.1.4十六进制数(Hexadecimal)数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13)、E(14),F(15)

基数：16

位权：16i,i=…3,2,1,0,-1,-2,-3…

规则：逢十六进一，借一当16

表示：(257)16，或者(257)H

(F)16=？11例如：

BF3CH=11×163+15×162+3×161+12×160

=11×4096+15×256+3×16+12×1=48956D小结十进制二进制八进制十六进制00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F12各种数制对照表2.2各种进位数制之间的转换二进制数转换为十进制数方法1：按权相加方法2：整数部分、小数部分分别转换整数部分（从最高位开始，连续乘2）假设5位二进制整数N，表示为132.2.1任意进制转换为十进制二进制数转换为十进制数

例如：二进制整数10111，转化为十进制数为结果：二进制整数10111，转化为十进制数2314101112.2.1任意进制转换为十进制二进制数转换为十进制数小数部分（从最低位开始，连续除2）假设4位二进制整数N，表示为152.2.1任意进制转换为十进制二进制数转换为十进制数

例如：二进制小数.1011，转化为十进制小数为结果：二进制小数.1011，转化为十进制小数0.6875160.50.750.3750.68752.2.1任意进制转换为十进制2.2.2十进制数转换为非十进制数十进制数转换为二进制数整数部分（除2逆取余）17117余数∴(117)10=(1110101)2258

1229

014

1222

7

03

121

12例：(117)10=(?)20

1或

117D=1110101B2.2.2十进制数转换为非十进制数十进制数转换为二进制数小数部分（乘2顺取整）18整数0.8125

×210.625

×210.25

×2

00.5

×210例:（0.8125)10=(?)2=(1101)2注：1.若出现乘积的小数部分一直不为“0”，根据计算精度的要求截取一定的位数即可；2.一个十进制数不一定有对应的二进制数。2.2.3二/八/十六进制数的互换转换方法：分组转换(掌握)19二进制→八进制

原则：三位二进制对应一位八进制，不足补0

011101111.110357

6∴

011101111.11B=357.6Q十六进制→二进制

A19C

1010000110011100∴A19CH=1010000110011100B2.3二进制编码计算机只能识别二进制数二进制编码数字:用二进制表示十进制BCD码字母：ASCII码符号声音图像202.3.1二进制编码的十进制BCD(BinaryCodeDecimal)码：用二进制代码对十进制数进行编码，它既具有二进制码的形式（四位二进制码），又有十进制数的特点（每四位二进制码是一位十进制数）。21二进制与BCD码之间的转换，需要经过十进制十进制数BCD码十进制数BCD码十进制数BCD码0000060110120001001010001701111300010011200108100014000101003001191001150001010140100100001000016000101105010111000100011700010111BCD编码表例1：十进制数256，BCD码为(256)D=(001001010110)BCD例2：十进制数0.764，BCD码为(0.764)D=(0.011101100100)BCD22例3:11.25D=(???)BCD=(00010001.00100101)BCD=(1011.01)BCD???×××2.3.1二进制编码的十进制例4：BCD码转换为十进制数(011000111000.100101010100)BCD=(628.954)D例5：二进制数转换为BCD码(1011.01)B=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2)D=11.25D=(00010001.00100101)BCD232.3.1二进制编码的十进制8421码：编码值与ASCII码字符0到9的低4位码相同，易于实现人机联系。但比纯二进制编码效率低。余3码：是在8421码得基础上，把每个代码都加0011码而形成的。它的主要优点是执行十进制数相加时，能正确地产生进位信号，而且还给减法运算带来了方便。格雷码：循环码中的一种，任何两个相邻的代码只有一个二进制位的状态不同，有利于抗干扰。242.3.1二进制编码的十进制2.3.2字母与字符的编码25

A～Z,a～z及0～9的编码按顺序递增数据编码，便于检索。美国信息交换标准代码（ASCII码）ASCII码（AmericanStandardCodeforInformationInterchange）由7位二进制数组成，可表示27=128种字符。包括：

0~9十个数字

52个大小写英文字母

32个专用符号

34个控制符号128个元素非打印类（控制代码）：34个，如回车（0DH）、换行（0AH）等打印类：94个，包括英文字符、数字和其他可打印的符号等。26数字0-9的ASCII码：30H-39H30H+数值A-Z的ASCII码：41H-5AHa-z的ASCII码：61H-7AH

小写字母的ASCII码=对应大写字母的ASCII码+20H换行的ASCII码：0AH回车的ASCII码：0DH空格的ASCII码：20HASCII码7位ASCII码表27高位低位0123456700000101001110010111011100000NUL空白DLE数据链换码SP0@P、p10001SOH标题开始DC1设备控制1!1AQaq20010STX文本开始DC2设备控制2”2BRbr30011ETX文本结束DC3设备控制3#3CScs40100EOT传输结束DC4设备控制4$4DTdt50101ENQ询问NAK否定应答%5EUeu60110ACK应答SYN空转同步&6FVfv70111BEL报警符ETB信息组传输结束‘7GWgw81000BS退一格CAN删去符(8HXhx91001HT横向列表ME信息结束)9IYiyA1010LF换行SUB减*:JZjzB1011VT垂直列表ESC换码+;K[k{C1100FF走纸控制FS文件分隔符,<L\l|D1101CR回车GS组分隔符-=M]m}E1110SO位移输出RS记录分隔符.>N↑n—F1111SI位移输入US单元分隔符/?O←oDEL作废字符2.4二进制数的运算无符号数的两种基本运算算术运算逻辑运算281.算术运算

二进制数：逢二进一借一当二加法规则乘法规则

0+0=000=00+1=101=01+0=110=01+1=10（进位1）11=129

进位

1111

被加数

10101101+加数

00111001

和11100110运算过程：(被减数)

10101101−(减数)00111001(借位)

111(差)01110100加法减法301101×1011

1101110100001101

10001111部分积乘法例.1101×101131二进制除法例.100011÷101100011

111000111

101101

101

101101000(余数)商：111余数：0实现除法的关键：比较余数、除数绝对值大小，以决定上商。2.4.2

逻辑运算（按位操作）32“与”运算（AND）“或”运算（OR）

ABABABAB000000010011100101111111“非”运算（NOT）

“异或”运算（XOR,⊕）

A

ABAB0100010

01110111033例：X=00FFHY=5555H，求Z=XY=?X=0000000011111111B

Y=0101010101010101B

Z=0101010110101010BZ=55AAH异或342.5数的定点表示和浮点表示2.5.1定点表示(Fixpointnumber)定点数：小数点固定在数的某个位置，即阶码是固定值。计算机中没有专门表示小数点的位，小数点的位置是约定的。34任意一个二进制数可以表示为：纯小数或纯整数与一个2的整数次幂的乘积，即S—数N的尾数，表示了数N的全部有效数字P—数N的阶码，确定了小数点的位置2—阶码的底35352.5.1定点表示如假定P=0，且尾数S为纯小数时，这是的定点数只能表示小数。35如假定P=0，且尾数S为纯整数时，这是的定点数只能表示小数。定点数的两种表示法，在计算机中均有采用。究竟采用哪种方法，均是事先约定的。如用纯小数进行计算时，其运算结果要用适当的比例因子来折算成真实值。符号尾数S符号尾数S362.5.1定点表示在计算机中，数的正负是用0（正）和1（负）来表示。例如：8位二进制数，最左边第1位表示符号（称为符号位）。其余7位可以用来表示尾数。定点纯整数表示范围：无符号时：00000000~11111111，即0~255；有符号时：-1111111~+1111111，即-127~+12737n位定点纯小数表示范围：2.5.1定点表示结论：定点数表示法简单直观，但是数值表示的范围太小，运算时容易产生溢出。n-1个0n位2.5.2浮点表示(Floatingpointnumber):浮点数：小数点位置是浮动的,即阶码可以取不同的值。阶码P：用二进制整数表示，决定了浮点数的取值范围。尾数S：常用二进制小数表示，决定了浮点数的表示精度。38PfPm-1阶码符号阶码小数点位置(隐含)m位阶码P2P1SfSk-1S2S1k位尾数尾数符号尾数小数点位置（隐含）2.5.2浮点表示浮点数可以表示成多种形式：0.110×26=1.10×25=0.000110×29……39为了不丢失有效数字，提高运算精度，采用二进制浮点规格化数.浮点规格化：尾数S的绝对值小于1而大于或等于1/2，即小数点后面一位必须是1。40例：二进制数+1011.101.可写成2+100×0.1011101（相当于十进制数11.625），其浮点数表示为。浮点表示和定点表示相比，多了一个阶码部分浮点表示的范围（m位阶码，n位尾数）0100010111012.5.2浮点表示阶码符号尾数符号阶码最小值阶码最大值阶码尾数

浮点表示法的特点：①优点：在有限位数(即不增加字长)内，既能保证有较大的取值范围，又能保证较高的精度。②缺点：实现浮点运算的硬件成本较高。412.5.2浮点表示2.6带符号数的表示法2.6.1机器数与真值符号数码化：将符号用“0正1负”表示，并以二进制数的最高位（D7位）最为符号位。42符号位D7D6D5D4D3D2D1D0机器数：数据在计算机中连同数码化的符号位一起表示的编码数。真值：把机器数实际代表的数称为机器数的真值。机器数有符号数：无符号数：没有符号位原码反码补码43带符号数的编码方式原码表示(掌握)反码表示补码表示(重点)对于正数，三种表示方式一样，其区别在于负数的表示2.6.2机器数的种类和表示方法原码(truecode)表示法：符号位+数值表示定点整数441.原码表示法11111111-(27-1)01111111(27-1)0例：n=8bit[+3]原码

=00000011=03H[-3]原码

=10000011=83H[+0]原码

=00000000=00H[-0]原码

=10000000=80H例如:n=80的表示不惟一n位原码表示范围：-2(n-1)+1≤X≤2(n-1)-1

原码性质原码为符号位加数的绝对值，0正1负符号和数值无关0可分+0和-0

+0为00…0-0为10…0原码表示简单易懂，与真值的转换很方便。但在计算机中进行减运算时比较麻烦45反码(one’s

complementcode)表示法正数的反码同原码，负数的反码数值位与原码相反例：n=8bit[+5]反码

=00000101=05H[-5]反码=11111010=FAH[+0]反码

=00000000=00H[-0]反码=11111111=FFH

0的表示不惟一462.反码表示法*反码不能直接进行两数的加减运算

反码性质“0”的反码有两种表示法：

+0为00000000-0为111111118位二进制反码的数值范围：+(127)D~-(127)D

一个带符号数用反码表示时，最高位为符号位。47补码•引入的思路（1）由钟表拨表针的方法得到启示；例如：把表上的8点钟改为6点钟方法二：顺时针拨10格方法一：反时针拨2格补码•引入的思路（2）拨针方法小结：

8-2=68+10=6思考：为什么会出现这种现象？计算机中是否也有这种现象？

(表盘是圆的，可循环计时。)方法二：顺时针拨10格方法一：反时针拨2格补码•引入的思路（3）计算机储存一个数也有与钟表相同的特点：循环计数因此对于计算机，要计算像8-2

这样的减法式子，也可以化为加法形式来进行。思考：在计算机中,8-2是否也可以化为8+10？如果不行，那么应化为什么样的式子？补码•引入的思路（4）不同之处：表计时的最大数是12计算机计数的最大数不是12（思考：那么是多少呢？）我们把这个数称为模计算机的模与字长有关。8位机的模是28=256……n位模=12模=2n补码•引入的思路（5）观察钟表拨针的两种方法：

8-2=68+10=6

我们可以看出，减去一个数a

相当于加上（模-a）一样，而在计算机中也有相同情况。在8位字长的计算机中，减去一个数a相当于加上（28-a）一样。我们称（28-a）为a的补数，其二进制表示形式称为补码。例：64-10=64+(-10)=64+(256-10)=64+246=256+54=54533.补码表示法正数的补码：同原码负数的补码：（1）反码加1

（2）所对应正数连同符号位，按位取反再加1补码（Two’sComplement）54例：机器字长8位，[-46]补码=?[46]补码=001011101101000111010010=D2H

当机器字长16位，[-46]补码=FFD2H

按位求反末位加一①由真值、原码转化为补码特例：[-128]补=10000000B[+1]补=00000001B[-1]补=11111111B求补规则：正数的补码符号位为0，数值部分就是真值。负数的补码符号位为1，数值部分可由真值的数值部分按位取反，末位加一得到。55

00000000取反11111111+00000001100000000例：[+0]补码=00000000[-0]补码=?

0的补码

补码中0的表示惟一[-0]补码=00000000

=[+0]补码进位56

十进制二进制十六进制十进制十六进制

n=8

n=16+127011111117F+327677FFF+126011111107E+327667FFE......……...+20000001002+20002+10000000101+100010000000000000000-111111111FF-1FFFF-211111110FE-2FFFE......……...-1261000001082-327668002-1271000000181-327678001-1281000000080-327688000n位二进制补码整数的表示范围：

-2n-1≤X≤2n-1-1

补码比原码多表示一个数！n位原码表示范围：-2n-1+1≤X≤2n-1-1规则：若补码的符号位为0，则真值为正，真值的数值部分等于补码的数值部分；若补码的符号位为1，则真值为负，真值的数值部分由补码的数值部分取反加一得到。57X补=1.0110

尾数变反1.1001

末位加1+1X原=1.1010真值-0.1010=(-0.625)10②由补码求真值例：X补=1.0110，求X原与真值性质：[X]补－>[-X]补－>[X]补58

[117]补=01110101对[117]补求补：①取反得：10001010②加一得：

10001011

[-117]补=10