第四章线性控制系统的综合与设计

第四章线性控制系统的综合与设计

本章主要内容状态反馈的概念状态反馈设计的理论与算法状态观测的概念全维状态观测与降维状态观测－－－理论与算法基于状态观测的状态反馈采用Matlab进行控制系统设计4.1状态反馈和输出反馈BCA++x(t)r(t)y(t)K_DU(t)状态方程:反馈控制律u=r-Kx状态反馈BCA++x(t)r(t)y(t)K_DU(t)输出反馈状态方程:反馈控制律u=r-Hy闭环系统的能控性和能观性定理:状态反馈不改变受控系统(A,B,C)的能控性,但却不一定能保持系统的能观测性.定理:输出反馈不改变原系统的能控性和能观测性.4.2闭环系统的极点配置4.2.1采用状态反馈配置系统的极点极点配置定理:令受控系统为,通过状态反馈U=r-kx能使其闭环极点任意配置的充要条件为系统完全能控.引入状态反馈期望特征多项式：原系统状态反馈增益：状态反馈的其他性质：状态反馈不能移动系统的零点。采用状态反馈4.2.1采用输出反馈配置系统的极点定理:对完全能控定常变量系统为(A,B,C),不能采用输出线性反馈来实现闭环系统的极点.4.2.3极点配置算法

第1步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。

第2步：求系统矩阵A的特征多项式:第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。

第4步：写出期望的特征多项式为：第5步：

4.2.4Ackermann’s公式

Matlab函数：acker()4.2.5控制系统性能指标原系统传递函数：极点配置后的传递函数：结论：极点配置只改变系统的极点，而不改变系统的零点。例4.2已知系统状态方程为

试设计状态反馈控制器，使闭环极点为。

A=[010;0-11;00-2];

b=[001]';

CA=[bA*bA^2*b]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(CA)

F=diag([-1-j-1+j-2]);char_poly=poly(A1);new_char_poly=poly(F);

a1=char_poly(2);a2=char_poly(3);a3=char_poly(4);inv_C_bar=[1a1a2;01a1;001];

P_inv=C*inv_C_bar;P=inv(P_inv);

a1_bar=new_char_poly(2);a2_bar=new_char_poly(3);a3_bar=new_char_poly(4);

k_bar=[a1_bar-a1a2_bar-a2a3_bar-a3];k=k_bar*P解法2：A=[010;0-11;00-2];

b=[001]';

CA=[bA*bA^2*b]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(CA)

P=[-1-j-1+j-2]';K=acker(A,b,P)解法3：A=[010;0-11;00-2];

b=[001]';

CA=[bA*bA^2*b]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(CA)

P=[-1-j-1+j-2]';K=place(A,b,P)例4.4倒立摆系统设计如图所示的II型伺服控制系统。A=[0100;20.601000;0001;-0.4905000];

b=[0-100.5]';c=[0010];d=[0];

CA=[bA*bA^2*bA^3*b]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(CA)

OA=[c;c*A;c*A^2;c*A^3]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(OA)

A1=[Azeros(4,1);-c0];b1=[b;0];

C=[b1A1*b1A1^2*b1A1^3*b1A1^4*b1];rank(C)F=diag([-1-j-1+j-5-5-5]);char_poly=poly(A1);new_char_poly=poly(F);a1=char_poly(2);a2=char_poly(3);a3=char_poly(4);a4=char_poly(5);a5=char_poly(6);

inv_C_bar=[1a1a2a3a4;01a1a2a3;001a1a2;0001a1;00001];MatLabSourceCode:P_inv=C*inv_C_bar;P=inv(P_inv);a1_bar=new_char_poly(2);a2_bar=new_char_poly(3);a3_bar=new_char_poly(4);a4_bar=new_char_poly(5);a5_bar=new_char_poly(6);k_bar=[a1_bar-a1a2_bar-a2a3_bar-a3a4_bar-a4a5_bar-a5];k=k_bar*P;k1=k(1:4);KI=-k(5);AA=[A-b*k1b*KI;-c0];%A1-b1*k;b1=[00001]';c1=[c0];eig(AA)sys=ss(AA,b1,c1,d);[y,t,x]=step(sys);closeall;plot(t,y);title('Theoutputofthestatefeedbacksystem');xlabel('t(Sec)');ylabel('y');grid;

figure;plot(t,x);title('Theoutputofthestatevariables');xlabel('t(Sec)');ylabel('x');grid;4.3状态观测器的设计4.3.1状态重构问题令线性系统定常系统(A,B,C)的状态不能直接量测,如果将动态系统以的输入和输出作为其输入量,能产生一组输出两渐近于x,即构造观测器的原则:以的输入和输出作为输入量.为满足,必须完全能观测,和不能观测的子系统是渐近稳定的.的输出应以够快的速度渐近于x,即应有足够的宽度频带.系统观测器存在地充要条件是线性定常系统是完全能观的,观测器存在地充要条件是线性定常系统的不能观测部分是渐近稳定的.BCA++BCA++Lx(t)r(e)y(t)+_+系统的状态观测器u(t)利用对偶原理设计状态观测器对偶系统采用状态反馈根据极点配置方法，得到反馈矩阵特征多项式:和期望的特征多项式,使其s多项式对应项的系数相同,得到反馈矩阵.降维观测器的设计定理:已知线性定常系统完全能观测.假设，为m×m非奇异矩阵，则存在n-m维降阶观测器此时，状态x的渐近估计为：其中：4.4带状态观测器的状态反馈系统BCA++BCA++Lx(t)u(t)y(t)+_+具有状态观测器极点配置控制器Fr(t)带有观测器的闭环系统的状态空间表达式：写成矩阵形式：系统的基本特性闭环极点设计的分离性传递函数的不变性观测器反馈与直接状态反馈的等效性MATLAB控制工具箱极点配置和状态观测函数

函数名称功能格式ackerSISO极点配置k=acker(a,b,p)placeMIMO极点配置K=place(A,B,p)estim生成系统状态估计器，观测器estestim(sys,L)reg系统调节器生成rsys=reg(sys,K,L)例题已知系统的动态方程为设计系统的降维状态观测器。解：通过简单的变换，可以得到：状态变量x1可由y直接得到，因此只要设计三维状态观测器。由系统的特征多项式为：设状态观测器的期望极点为，3−j±−2，即期望的特征多项式为：例题设被控对象的传递函数为，若状态不能直接测量到，试采用状态观测器实现状态反馈控制，使闭环系统的特征值配置在λ=-7.07±j7.7。解：状态空间表达式（选择第二能观标准型）为：设K=[k1k2]，直接状态反馈闭环系统特征多项式为：为了使观测器的响应