第四章相似原理与量纲分析

工程流体力学对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。

第四章相似原理与量纲分析

本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。

解决流体力学问题的方法数学分析

实验研究

模型实验以相似原理为基础第一节流动的力学相似

表征流动过程的物理量

描述几何形状的如长度、面积、体积等

描述运动状态的如速度、加速度、体积流量等

描述动力特征的如质量力、表面力、动量等

按性质分几何相似运动相似动力相似流动相似应满足的条件原型：天然水流和实际建筑物称为原型。

模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。

水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。

流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。

模型和原型保证流动相似，应满足：

几何相似

运动相似

动力相似

初始条件和边界条件相似:初始条件：适用于非恒定流。

边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等

。

一几何相似（空间相似）定义：

模型和原型的全部对应线形长度的

比值为一定常数。（4-1）以上标“＇”表示模型的有关量

:长度比例尺（相似比例常数）面积比例尺:（4-2）体积比例尺:（4-3）图4-1几何相似满足上述条件，流动才能几何相似

二运动相似（时间相似）定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。图4-2速度场相似时间比例尺:速度比例尺:（4-4）（4-5）运动粘度比例尺:体积流量比例尺:加速度比例尺:（4-6）（4-7）（4-8）长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。三动力相似（时间相似）定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，作

用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。力的比例尺:图4-3

动力场相似（4-9）（4-10）又由牛顿定律可知：

其中：为流体的密度比例尺。

压强（应力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:（4-11）（4-12）动力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。

动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。惯性力定义：在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的条件或准则

。第二节动力相似准则

由式(4-10)

得:

（4-15）（4-16）（4-17）当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即；反之亦然。这就是牛顿相似准则。

称为牛顿数，它是作用力与惯性力的比值。

或:

令:

两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。

完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给予满足。一、重力相似准则（弗劳德准则）二、粘性力相似准则（雷诺准则）三、压力相似准则（欧拉准则）四、弹性力相似准则(柯西准则)五、表面张力相似准则（韦伯准则）六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）

流场中有各种性质的力，但不论是哪种力，只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。一、重力相似准则将重力比代入式(4-15)得：或:

令:

（4-18）（4-19）（4-20）

称为弗劳德数，它是惯性力与重力的比值。

当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，即；反之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。

重力场中，则：（a）（4-15）二、粘性力相似准则将粘性力之比代入式(4-15)得：或:

令:

（4-21）（4-22）（4-23）（b）

称为雷诺数，它是惯性力与粘性力的比值。

当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，即；反之亦然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。

模型与原型用同一种流体时，，则：（4-15）三、压力相似准则或:

令:

（4-24）（4-25）（4-26）当压强用压差代替：将压力比代入式(4-15)得：

称为欧拉数，它是总压力与惯性力的比值。

当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，即；反之亦然。这就是压力相似准则（欧拉准则）。

（4-27）（4-28）欧拉数:

欧拉相似准则:

（4-15）四、弹性力相似准则将弹性力之比带入式(4-15)得：（4-29）或:

（4-30）令:

（4-31）

称为柯西数，它是惯性力与弹性力的比值。

当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即；反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。

（4-15）四、弹性力相似准则若流场中的流体为气体，由于

（为声速）则弹性力之比带入式(4-15)得：（4-32）或:

（4-33）令:

（4-34）

称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。

当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，即；反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。

（4-15）五、表面张力相似准则将表面张力之比代入式(4-15)得：（4-35）或:

（4-36）令:

（4-37）

称为韦伯数，它是惯性力与表面张力的比值。

当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即；反之亦然。这就是表面张力相似准则（韦伯准则）。

（4-15）六、非定常性相似准则或:

令:

（4-38）（4-39）（4-40）将惯性力之比代入式(4-15)得：

称为斯特劳哈尔数，它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。

当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，即；反之亦然。这就是非定常相似准则（斯特劳哈尔准则）。

（4-15）

以上给出的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯特劳哈尔数均称为相似准则数。

如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是令方程中的有关力与惯性力相比。第三节流动相似条件

流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。

相似流动必然满足以下条件：

1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值条件；3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满足的条件。模型实验主要解决的问题

：

1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，选择流动介质；

2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；

3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。

图4-4

油池模型

第四节近似模拟试验

以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。

运动粘性系数相等简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可采用自模化特性和稳定性。在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。

自模化的概念实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有两个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。又比如，在圆管流动中，当Re≤2320时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋转抛物面。当Re>4×105管内流动状态为紊流状态，其速度分布基本不随Re变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的Re与原型的Re相等否，只要与原型所处同一模化区即可。图4-5弧型闸门

图4-6内装蝶阀的管道

第五节量纲分析法

一、物理方程量纲一致性原则二、瑞利法三、

定理

一、物理方程量纲一致性原则

1、讨论理论力学时，基本单位（量纲）有三个：

质量(M)、时间(T)、长度(L)；

物理量单位的种类叫量纲，由基本单位和导出单位组成单位系统。

3、运动学问题有两个基本单位（量纲）：

时间(T)、长度(L)。

2、讨论流体力学和热力学时，基本单位（量纲）有四个：

质量(M)、时间(T)、长度(L)、温度()；

物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲。任一物理量的量纲表示为dim

。

流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲有：任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的，这便是物理方程量纲一致性原则。既然物理方程中各项的量纲相同，那么，用物理方程中的任何一项通除整个方程，便可将该方程化为零量纲方程。

定理。

量纲分析法正是依据物理方程量纲一致性原则，从量纲分析入手，找出流动过程的相似准则数，并借助实验找出这些相似准则数之间的函数关系。根据相似原理，用量纲分析法，结合实验研究，不仅可以找出尚无物理方程表示的复杂流动过程的流动规律，而且找出的还是同一类相似流动的普遍规律。因此，量纲分析法是探索流动规律的重要方法。常用的量纲分析法有瑞利法和

定理。二、瑞利法图4-7三角堰

三、定理又称为泊金汉（E.Buckingham）定理

。

本章小结:1.两液流流动相似必须满足：（1）几何相似——原形和模型两个流场的几何形状相似；

（2）运动相似——原形和模型两个流场的速度场相似；

（3）动力相似——原形和模型两个流场中各相应质点所受的同名方向相同，大小成一固定比例；

（4）初始条件和边界条件相似；2.相似准则：Re相似准则、Fr相似准则、Eu相似准则

原型和模型中采用同一种流体时，不能同时满足重力相似和粘滞力相似；所以只要相应点的粘滞力或重力相似，压强会自行相似。

3.基本量纲——具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲。一般取[L-M-T]。诱导量纲——由基本量纲导出的量纲。[X]=[Lα，Tβ，Mγ]。4.量纲和谐原理——凡是正确反映客观物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只是方程两边量纲相同，方程才能成立。5.量纲分析两种方法雷利法——直接应用量纲和谐原理来求解，适用于较简单问题。

π定理——具有普遍性的方法。关键在于正确选择基本量。1.雷利法：雷利法是量纲和谐原理的直接应用

雷利法的计算步骤：

1.确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；2.写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：FD=kDx

Uyρz

μa

3.根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数x,y,z,a

，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。

应用范围：一般