第四章图像变换

第四章图像变换4.1酉矩阵和正交矩阵的变换4.2傅立叶变换4.3离散余弦变换（DCT）4.4

离散沃尔什变换（WalshTransform4.5

哈达玛变换(HadamardTransform,HT)4.6其它变换为什么引入图像变换？图像变换是许多图像处理和分析技术地基础。人眼只能笼统分析图像信息，而图像经变换后，可以用光谱、频谱等方法细致分析，突出表现图像细节。将图像从时域变换到频域，优点之一就是能将复杂的卷积运算变为简单的相乘运算。变换的另一个意义是用于图像识别，如多光谱图像，对同一目标用不同波长的微波或红外来照射，获取回波形成几幅图像，彼此相关，在时域中这种相关很复杂，而在频域中就能被很简单地处理。理论依据：信号分析的一个重要概念是任何波形可由许多基波的加权和合成；反之任何波形可分解为许多基波及其加权值。根据线性可叠加系统的结论，系统对某个波形的影响可看作是系统对各基波影响的累加。这就是图像分析技术的重要依据。把一维信号分析的结论扩展到二维，即任何图像都可分解为许多基图像及其权值。根据线性可叠加系统的结论，系统对某幅图象的影响可以考虑为系统对各基图像的影响的累加。基波和基图像都是互相正交的。4.1酉矩阵和正交矩阵的变换4.1.1

一维变换1.连续函数集合的正交性

一维连续实值函数的集合，若此集合中的函数满足式式中T为周期。当C＝1时，称集合为归一化正交函数集合。正交函数集合常用作基函数，它应满足正交性和完备性两个条件。2.离散情况连续一维基函数经采样，可看作下列向量集合：若它们彼此正交，则向量元素应满足下式：

当C＝1，称为归一化正交。即每一个向量为单位向量。其物理意义为多维空间坐标的基轴方向互相正交。用满足上式的基向量组成矩阵则一定满足

3.一维变换利用上述矩阵对任一数据向量进行运算为若恢复，则若，即A为正交阵，则若A的每一个元素可能为复数，则正交的条件可用式中为A的复数共轭。满足这个条件的矩阵称为酉矩阵。此时对任意向量的运算和恢复称为酉变换。若A为酉阵，则满足下式：若A不是复数时，就成为正交变换。所以说正交变换是酉变换的一个特例。因而把各种正交变换都统称为酉变换(unitarytransform)。酉阵的每一个向量都可作为基向量(基函数)，基向量的加权和可以合成任意向量（函数）。完备性

若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号，则可用展开式表示，即

对任何平方可积的分段连续信号f(x)及无穷小量＞o，总存在一个正整数N与有限展开式，使f(x)的估值为使得物理意义:任何数量的奇函数累加仍为奇函数，任何数量的偶函数累加仍为偶函数。因此，为表示一个任意函数f(x)，这个函数集合应既有奇函数又有偶函数，这是一个必要条件，就是完备性。满足正交性、完备性两个条件的函数集或矩阵才能用于图像的分析。常用的几种变换如傅里叶变换、WALSH变换、哈达玛变换、Haar变换、K-L变换等都满足正交性和完备性两个条件。正交函数集合(a)完备(b)不完备4.1.2二维变换1.二维变换其中称为正变换核，称为反变换核。这两个变换核应满足正交性和完备性。2.变换核可分离式中，都是一维完备正交基向量的集合，用矩阵A、B表示它们，则通常选B＝A，则二维酉变换为：正变换逆变换写作写作矩阵相乘的意义为：A左乘f相当于对f进行列变换，右乘f相当于对f进行行变换。

3.基图像由二维变换的反变换公式看出，是一个矩阵，也可以看作是基图像。因此一幅N×N图像就有N2个基图像。f(x,y)可用N2个基图像的加权和来表示。令则f图像表示为F(u,v)可看成是f图像在基图像上的投影，是二维酉变换的频域系数，可以看作是基图像的加权值。把基图像加权累加就得到原图像f(x,y)。４.１.3酉变换的性质

酉变换的主要性质是变换前后的矢量长度保持不变，因此才能保持图像中的某些物理量不变，而物理量的分布在变换后更适于处理。只有矢量长度保持不变，才能保证正变换、逆变换的唯一性。酉变换是复频域中的一种线性正交变换，变换中的基本线性运算是准确可逆的，且变换核满足正交条件。它实质上是把图像数据分解为广义二维频谱，每一谱分量反映原图中谱函数的能量。酉变换也可解释为多维坐标旋转。其变换的一个重要特性是测度守恒，如两幅图像的均方值之差在变换前后是不变的。酉阵是正交阵A为酉阵，则和皆为酉阵酉变换是能量保持的变换N阶矩阵A满足：AAT=IN

N

为正交阵

AA*T=IN

N

为酉阵即

A-1＝AT及A-1＝A*T4.均值和方差5.去相关6.其他性质４.２傅立叶变换是最早研究与应用的酉变换。６０年代用计算机实现快速傅里叶变换之后才获得广泛应用。傅里叶变换后的变换域也称为频域。４.２.1连续函数的傅立叶变换

若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。这是一种分析与处理一维信号的重要手段。当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)（1）具有有限个间断点，（2）具有有限个极值点；（3）绝对可积。则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。一维傅立叶变换对的定义为式中： ，x称为时域变量，u称为频域变量。以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为式中：x,y为时域变量；u,v为频域变量。4.2.2离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform)要在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。

式中：x，u=0，1，2，…,N－1。

注：第二式中的系数1/N也可以放在式第一式中，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以 ，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。

设{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为由欧拉公式可知

将上式代入离散傅里叶变换式中，并利用cos(－θ)=cos(θ)，可得

可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。通常傅立叶变换为复数形式，即

式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。上式也可表示成指数形式：

F(u)=|F(u)|ejφ(u)其中通常，|F(u)|称为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，

Ф(u)称为f(x)的相位谱。频谱的平方称为能量谱或功率谱，它表示为

考虑到两个变量，就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离散傅立叶变换对定义为式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；

x,y为时域变量，u,v为频域变量。像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数 ，只要两式系数的乘积等于1/MN即可。二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为

式中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。

4.2.3离散傅立叶变换的性质

表4-1二维离散傅立叶变换的性质

1.可分离性由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按行进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果，如下图所示。用两次一维DFT计算二维DFT

显然对f(x,y)先按列进行离散傅立叶变换，再按行进行离散傅立叶变换也是可行的。2.平移性质平移性质表明，只要将f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M／2,N／2）处。下图是简单方块图像平移的结果。傅立叶频谱平移示意图(a)原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱

(a)(b)(c)

3.旋转不变性由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ°角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如下图所示。

(a)(b)(d)(c)离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱4.2.3可分离变换

二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。如果g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2(y,v） h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v)

则称正、反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。此时是二维傅立叶变换对是的一个特殊情况，它们的核为可见，它们都是可分离的和对称的。如前所述，二维傅立叶变换可以利用变换核的可分离性，用两次一维变换来实现，即可先对f(x,y)的每一行进行一维变换得到F(x,v)，再沿F(x,v)每一列取一维变换得到变换结果F(u,v)。对于其他的图像变换，只要其变换核是可分离的，同样也可用两次一维变换来实现。如果先对f(x,y)的每一列进行一维变换得到F(u,y)，再沿F(u,y)每一行取一维变换得到F(u,v)，其最终结果是一样的。该结论对反变换核也适用。4.2.4图像变换的矩阵表示数字图像都是实数矩阵，设f(x,y)为M×N的图像灰度矩阵，通常为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形式：F=AMfANf=F

其中，F、f是二维M×N的矩阵；AM是M×M矩阵；

AN是N×N矩阵。式中，u=0,1,2,…,M－1，v=0,1,2,…,N－1。对二维离散傅立叶变换，则有

实践中，除了DFT变换之外，还采用许多其他的正交变换。例如：离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换、K-L变换等。下面将对常用的变换作一简要介绍：

4.3离散余弦变换（DCT）

离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DCT）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外，DCT还是一种可分离的变换。

4.3.1一维离散余弦变换

一维DCT的变换核定义为

式中，x,u=0,1,2,…,N－1；一维DCT定义如下：设{f(x)|x=0,1,…,N-1}为离散的信号列。式中，u,x=0,1,2,…,N－1。将变换式展开整理后，可以写成矩阵的形式，即

F=Gf其中

一维DCT的逆变换IDCT定义为

式中，x,u=0,1,2,…,N－1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。

4.3.2二维离散余弦变换考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为式中，x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。C(u)和C(v)的定义与一维相同。

二维DCT定义如下：设f(x,y)为M×N的数字图像矩阵，则

式中，x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二维DCT逆变换定义如下：

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。

类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下：F=GfGT

二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即

式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。二维DCT的频谱分布与DFT相差一倍，如下图所示。DCT中，(0,0)点对应于频谱的低频成分，(N-1,N-1)点对应于高频成分，同阶的DFT中，(N／2,N／2)点对应于高频成分。

DFT和DCT的频谱分布（a）DFT频谱分布；（b）DCT频谱分布

4.4离散沃尔什变换（WalshTransform）4.4.1沃尔什函数的产生

沃尔什函数是1923年由美国数学家沃尔什提出的。沃尔什函数系是一个完备正交函数系，其值只能取＋1和－1。从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法：一种是按照沃尔什排列来定义(按列率排序)；另一种是按照佩利排列来定义(按自然排序)；第三种是按照哈达玛排列来定义。由于哈达玛排序的沃尔什函数是由2n（n=0，1，2，…）阶哈达玛矩阵（HadamardMatrix）得到的，而哈达玛矩阵的最大优点在于它具有简单的递推关系，即高阶矩阵可用两个低阶矩阵的克罗内克积求得。·列率是指在沃尔什变换矩阵中，沿某一列符号改变的次数。1.Rademacher函数集是1922年德国数学家拉德梅赫H.Rademacher提出的。当把正弦函数集作无限放大限幅得到，式中

称为Rademacher函数。Rademacher函数集的图形，如下图。Rademacher函数集若n=1,若n=2,拉德梅赫函数变化规律：1）Rad(n,t)取值1和–1两种。2）Rad(n,t)是Rad(n-1,t)的二倍频。3）如果已知n，则Rad(n,t)有2n-1个周期，其中。2.Walsh函数集的产生Walsh函数集，n为序号，t是广义规格化变量，，若n表示二进制数，即

p为正整数，是i

的二进制表示式的最高位数。

沃尔什函数可简写为w(n,t),gi

为格雷码，i=0,1,2….N=8的Walsh函数为W(n,t)n为二进制n为格雷码W(n,t)W(0,t)W(000,t)W(000,t)R(3,t)0R(2,t)0R(1,t)0W(1,t)W(001,t)W(001,t)R(3,t)0R(2,t)0R(1,t)1W(2,t)W(010,t)W(011,t)R(3,t)0R(2,t)1R(1,t)1W(3,t)W(011,t)W(010,t)R(3,t)0R(2,t)1R(1,t)0W(4,t)W(100,t)W(110,t)R(3,t)1R(2,t)1R(1,t)0W(5,t)W(101,t)W(111,t)R(3,t)1R(2,t)1R(1,t)1W(6,t)W(110,t)W(101,t)R(3,t)1R(2,t)0R(1,t)1W(7,t)W(111,t)W(100,t)R(3,t)1R(2,t)0R(1,t)0Walsh函数W(n,t)的波形，如图右所示。8阶沃尔什矩阵：N=8Walsh函数Walsh函数W(n,t)的波形有以下几个特点：（1）W(n,t)函数随n的增加，过零点是递增的。这种性质类似于频率递增特性，变化越来越快，也称按Walsh取序的Walsh函数，简写为W(n,t)。（2）W(n,t)函数集合是正交的也是完备的。从t=0处两边函数的正负可知，n为奇数时，W(n,t)是奇函数，n为偶数时，W(n,t)是偶函数。（3）W(n,t)构成的核矩阵简单。（4）W(n,t)只有+1和-1，因此乘法可用加减法来执行，从而大大加快运算速度。3.按佩利(Paley)序排列的Walsh函数

bi是将函数序号写成BCD码的第i位数字。其波形不变，只是过零点顺序与Walsh序的按列率排列时的不一样，所以实用图像分析中仍需整序。4.按哈达玛(Hadamard)序排列的Walsh函数Ii

是二进制bi的倒序。其波形与前者相同，只是顺序改变。N=8的Paley序的Walsh函数为三种Walsh序的对比(a)(b)(c)4.4.2三种序的互相转换从信号分析角度看，基本图像概念分析需为Walsh序。用R(n,t)函数产生的方法，以Paley序最简易。用矩阵产生变换核矩阵时，以Hadamard序最简便。WP(n,t)W(n,t)WH(n,t)二进制码写格雷码读格雷码写二进制码读格雷码写倒置二进制码读二进制码写倒置格雷码读比特倒序比特倒序三种序转换关系N=8三种序的相互转换：WH(0,t)=WP(0,t)=W(0,t)=1WH(1,t)=WP(4,t)=W(7,t)=R(3,t)WH(2,t)=WP(2,t)=W(3,t)=R(2,t)WH(3,t)=WP(6,t)=W(4,t)=R(2,t)R(3,t)WH(4,t)=WP(1,t)=W(1,t)=R(1,t)WH(5,t)=WP(5,t)=W(6,t)=R(1,t)R(3,t)WH(6,t)=WP(3,t)=W(2,t)=R(1,t)R(2,t)WH(7,t)=WP(7,t)=W(5,t)=R(1,t)R(2,t)R(3,t)N=8三种序的相互转换：4.4.3Walsh函数的性质1.在区间[0，1]内有2.在区间[0，1]的第1小段时间内(称为时隙)，沃尔什函数总是1。3.乘法定理W(n,t)W(m,t)=W(nm,t)4.对称关系W(2in,t)=W(n,2it)表明，当序数n增到2i倍时，相当于序数保持不变，将时间变量增到2i倍。5.对称性W(n,t)=W(t,n)6.倒转关系(奇偶性)

W(n,t)以t=0为轴，转动180º，也即用(-t)代替t，则

W(n,t)=(-1)nW(n,t)当n为偶数时，W(n,-t)=W(n,t)

沃尔什函数是偶函数当n为奇数时，

W(n,-t)=-W(n,t)

沃尔什函数是奇函数7.平移与压缩

W(n,mt)是将W(n,t)的尺度压缩到1/m倍。

W(n,t-t0)是将W(n,t)向右平移t0。W(n,t+t0)是将W(n,t)向左平移t0。8.完备正交性(归一化定理)

沃尔什函数系在0<t<1之内，是一个完备正交函数集。4.4.4离散沃尔什变换一维离散沃尔什变换定义为

一维离散沃尔什逆变换定义为

式中，W(u,x)为沃尔什函数。若将W(u,x)用哈达玛矩阵表示，并将变换表达式写成矩阵形式，则上二式分别为4.4.5二维离散沃尔什变换很容易将一维WT的定义推广到二维WT。二维WT的正变换核和逆变换核分别为式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。写成矩阵形式：4.4.6快速沃尔什变换（FWT）

类似于FFT，WT也有快速算法FWT，也可将输入序列f(x)按奇偶进行分组，分别进行WT。FWT的基本关系为

WT的变换核是可分离和对称的，因此二维WT也可分为两个一维的WT分别用FWT进行变换而得到最终结果，由此便可实现二维的FWT。

综上所述，WT是将一个函数变换成取值为＋1或－1的基本函数构成的级数，用它来逼近数字脉冲信号时要比FFT有利。同时，WT只需要进行实数运算，存储量比FFT要少得多，运算速度也快得多。因此，WT在图像传输、通信技术和数据压缩中被广泛使用。4.5哈达玛变换(HadamardTransform,HT)是按Hadamard取序的Walsh变换，其变换核为WH(n,t)。1.H变换核矩阵的产生：N=2n(n=0,1,2,…)阶哈达玛矩阵的每一行对应于一个离散沃尔什函数，哈达玛矩阵与沃尔什函数系不同之处仅仅是行的次序不同。2n阶哈达玛矩阵有如下形式：

哈达玛矩阵的阶数是按N＝2n(n＝0,1,2,…)规律排列的，阶数较高的哈达玛矩阵，可以利用矩阵的克罗内克积运算，由低阶哈达玛矩阵递推得到，即矩阵的克罗内克积(KroneckerProduct)运算用符号记作，其运算规律如下：设则

和

式中，［HN］为N阶哈达玛矩阵，是HT变换核矩阵。

2.一维HT变换对：F=Hff=HF3.二维HT变换形成哈达玛变换对，记作

f(x)F(u)也可用矩阵表示：F=HfH

f=HFH正变换和逆变换矩阵是一样的。由哈达玛矩阵的特点可知，沃尔什-哈达玛变换的本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定规律改变后，进行加减运算，因此，它比采用复数运算的DFT和采用余弦运算的DCT要简单得多。例:二维离散沃尔什变换的矩阵形式表达式为

和求这两个信号的二维WHT。

根据题意，其中的M=N=4，其二维WHT变换核为

所以

下图是一幅数字图像及对其进行二维WHT变换的结果。二维WHT结果（a）原图像；（b）WHT结果注：图中的结果是按哈达玛变换后再用沃尔什排序的结果。从以上例子可看出，二维WT具有能量集中的特性，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，二维WT可用于压缩图像信息。

4.6其它变换4.6.1哈尔(Haar)变换1.Haar函数Haar函数是1910年匈牙利数学家A.Haar提出，它的矩阵只有+1、-1和另一个以为基础的系数，计算十分简单，它是正交的稀疏矩阵，故可加快运算速度。Haar函数的基向量是按顺序取序的，主要用在图像信息压缩和特征提取中。Haar函数用har(n,t)表示，是正交完备和周期性的，n为函数的序号。

Haar函数定义在连续闭区间[0，1]，其中k=0,1,2,…,N-1N=2n，用har(k,p,q)或har(p,q)表示。可用式唯一地确定整数p、q。对N=2n的情况，0pn-1，如果p=0，则q=0,1；如果p0，则1q2p。har(k,t)=har(p,q,t)表示为

当N=4=22，n=2时有4个函数，构成的哈尔矩阵为当N=8=23，n=3时有8个函数。哈尔矩阵是正交矩阵。Haar函数集合

从矩阵中可看出，N＝8时的第一行反映整体的变换。第二行反映两个半幅的变换，下两行是N/4之间的变换，最后就是相邻两像元之间的变换。因此Haar阵既反映整体又反映局部。8个Haar函数形成的矩阵：2.Haar变换设NNHaar阵用Hh表示，则Haar变换表示为Haar变换为实正交变换，即当n增大时，矩阵为零的元素迅速增多，从而计算速度可加快。Haar变换可用矩阵表示二维Haar变换4.6.2斜变换（SlantTransform,ST)

是由伊诺莫托(Enomoto)和夏伊巴塔(Shibata)于1971年提出来的。已被证明，适于电视类型信号（其灰度有渐变性质）的有效变换。它是实数的正交变换。斜变换矩阵为S(n)或用Sn表示。设N为2的整数次幂时，一个NN阶的斜矩阵由下列迭代关系定义其中IM为M阶单位矩阵，系数aN和

bN分别为(N>1)：例：N＝4时的Slant矩阵为斜变换的性质：斜变换为实的、正交变换，即S＝S*

，S－1＝ST斜变换是一种很快的变换，适用于电视类型的灰度缓变图像。对图像有很好的能量集中特性。4.6.3离散K-L变换(霍特林变换)

把连续信号用一组不相关的系数表示，即作级数展开，是由Karhunen和Loeve两人提出的。霍特林(Hotelling)则提出离散信号的不相关系数表示法。它是K-L级数展开的离散等效方法，也常称之为特征值变换、主分量变换或离散K-L变换。K-L变换随图像统计特性的不同而有不同的变换核矩阵，是最优变换，计算复杂，图像处理时不常用，但常用来与其它变换进行对比。在数据压缩、图像旋转、遥感多光谱图像的特征选择和统计识别等方面很有用。

若M行N列图像f

(x,y)，在信道中传送了L次，就收到了L帧图像组成的集合f(x,y)={f1(x,y),f2(x,y),…,fL(x,y)}用向量形式表示图像，则其中元素式中,为图像样本集合第i个样本，为第i帧第j行元素形成的列向量。

向量的协方差矩阵定义为在L帧图像样本组成的集合中，可用近似算法MN维的均值向量MNMN维的矩阵令ei和(i=1,2,…,MN)是的特征向量和对应的特征值，设特征值已按降序排列，即相应特征向量为e1,e2,…eMN有i=1,2,…,MN非零ei可从下式求得而且构成本征矢量矩阵为A＝[e1,e2,…,eMN]T

则可改写为式中K-L变换写成矩阵形式eij

是第i个特征向量第j个分量。K-L变换的性质：1）F的均值为零2）F的协方差3）F的协方差为对角矩阵，4）各个元