2015届高考数学文科一轮总复习资源2篇函数与基本初等

第6讲对数与对数函数知

识

梳

理1．对数的概念

如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作

＝b， 其中a叫做对数的

，N叫做对数的

．底数真数logaNN

N

logad

logaM＋logaN

logaM－logaN

nlogaM

logaM

3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质(1)定义域：

(2)值域：(3)过点，即x＝

时，y＝(0，＋∞)R(1,0)10性质(4)当x＞1时，

当0＜x＜1时，(5)当x＞1时，

当0＜x＜1时，

(6)在(0，＋∞)上是

函数(7)在(0，＋∞)上是

函数y＞0y＜0y＜0y＞0增减

[感悟·提升]三个防范一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0＜a＜1和a＞1分类讨论，否则易出错．

规律方法

(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．规律方法

一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【训练2】(2014·石家庄二模)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则两根满足的条件是________． ①x1x2＜0；②x1x2＝1；③x1x2＞1；④0＜x1x2＜1.

解析构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|， 并作出它们的图象，如图所示． 因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根， 则两个函数图象交点的横坐标分别为

x1，x2，不妨设x2＜－1，－1＜x1＜0，则10x1＝ －lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因为10x2－10x1＜0，所以lg(x1x2)＜0，即0＜x1x2＜1.

答案④考点三对数函数的性质及应用【例3】(1)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则它们的大小关系为________．

(2)设函数f(x)＝

若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．规律方法

在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1和0＜a＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决

[反思感悟]

(1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；(2)本题是以函数图象为载体，AC和BD在x轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大．【自主体验】

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x