初中数学人教版九年级上册第二十四章圆2圆的有关性质（全国一等奖）

垂直于弦的直径（1）人教九上一、学习目标理解圆的轴对称性；了解拱高、弦心距等概念；掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题．二、知识回顾请叙述圆的集合定义．圆心为O，半径为r的圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．连结圆上任意两点的线段叫圆的弦，圆上两点间的部分叫做弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是0<x≤8．确定一个圆的两个条件是圆心和半径．三、新知讲解圆的对称性（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；（2）圆也是中心对称图形，对称中心是圆心．垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，，．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．已知弦长和弦心距离求半径【例1】（2015•北京校级一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．6总结：1．当图中出现垂直于弦的直径时，我们要关注圆的半径（直径）、弦长和弦心距，结合勾股定理得到半径、弦长和弦心距之间的关系式.2．半径、弦长、弦心距这三个量，一般知二求一.3.常见的的辅助线：（1）过圆心作弦的垂线，（2）作垂直于弦的直径，（3）连结半径.解题思路为：由垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解．练1．（2014•澄海区模拟）如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，若CD=4，EM=6，则弧CED所在圆的半径为（）A．B．C．3D．42．利用垂径定理求平行弦问题【例2】（2012•长春）如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．总结：1．平行弦的位置有两种情况：（1）在圆心同侧；（2）在圆心异侧.如果题干中提到平行弦，但未给出图形，那么解题时需要分类讨论，分别求解两种情况下的解.2．无论求半径还是求平行弦间的距离，解题思路都是作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解．练2．（2013秋•如皋市校级期中）如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．五、课后小测一、选择题1．（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm2．（2015•岳池县模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A．2B．3C．4D．53．（2015•河北区二模）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB长为16，则点O到AB的距离是（）A．3B．4C．5D．64．（2015•东西湖区校级模拟）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（）个．A．1B．2C．3D．05．（2015•莆田校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A．B．C．D．6．（2014秋•延庆县期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，OC=5，CD=8，则OE的长为（）A．1B．2C．3D．47．（2013秋•沧浪区校级期末）如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2B．：2C．：D．5：4二、填空题8．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．9．（2015•牡丹江二模）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为．10．（2014•合川区校级模拟）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若大圆的半径为5，且AB=8，CD=6，则小圆的半径为．11．（2015•泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是．12．（2015•杭州模拟）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0，3），直线y=kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为．三、解答题13．（2015•历城区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，交AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为2cm，求弦CD的长．14．（2014秋•渭源县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，连接OC，OC=5，CD=8，求BE的长．15．（2014秋•包河区期末）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2．（1）求⊙O半径；（2）求弦CD的长．16．（2014秋•罗平县校级期中）如图，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4cm和10cm两段．（1）求圆心O到CD的距离；（2）若⊙O半径为8cm，求CD的长是多少？

典例探究答案：【例1】【解析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA，即可得出答案．解：∵OC⊥AB，OC过O，∴AC=AB，∵AB=4，∴AC=2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA=，即⊙O的半径是，故选：B．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．练1．【解析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC=R，OM=6﹣R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．解：连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC=R，OM=6﹣R，∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD=4，∴CM=DM=2，在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，R2=（6﹣R）2+22，R=，故选A．点评：本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．【例2】【解析】连接OA，过点O作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=AB，再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=8，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长．解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵AB=12，∴AD=AB=×12=6，∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8，在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8，∴OA===10．答：⊙O的半径为：10．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．练2．【解析】过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×16=8cm，CF=CD=×12=6cm，在Rt△AOE中，OE===6cm，在Rt△OCF中，OF===8cm，∴EF=OF﹣OE=8﹣6=2cm．答：AB和CD的距离为2cm．点评：本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．课后小测答案：一、选择题1．【解析】连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．2．【解析】如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB=6，OA=5，∴AM′=×6=3，∴在Rt△OAM′中，OM′===4，∴线段OM长的最小值为4．故选C．3．【解析】过圆心O作OF⊥AB于点F，则AF=AB=8，Rt△OAF中，AF=8，OA=10，由勾股定理得，OF===6，即点O到弦AB的距离是6，故选D．4．【解析】作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，∵AB=8，∴AD=4．∵OA=5，∴OD==3，∴CD=OC﹣3=5﹣3=2，即C到弦AB所在的直线距离为2，∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C；∵DE=5+3=8＞2，∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个．故选C．5．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，解得：AM=，∴AD=2AM=．故选A．6．【解析】∵AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×8=4，∠CEO=90°，在Rt△CEO中，由勾股定理得：OE===3，故选C．7．【解析】过O点作OE⊥AB，E点为垂足，连OC，OA，如图，则OE=1，∵OE⊥AB，∴CE=DE，AE=BE，而AB=4，CD=2，∴CE=1，AE=2，在Rt△OCE中，OC===；在Rt△OAE中，OA===；∴OC：OA=：，即两个同心圆的半径之比为：．故选C．二、填空题8．【解析】∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．9．【解析】作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF=PQ=12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE=OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF=OE=18﹣x，在直角△OPF中，x2=122+（18﹣x）2，解得x=13，则MF=OF=OE=5，∴OM=5．故答案为：5．10．【解析】过O作OE⊥CD于E，连接OA、OC，由垂径定理得：AE=AB=×8=4，CE=CD=×6=3，设小圆的半径是r，则由勾股定理得：OE2=52﹣42=r2﹣32，解得：r=3，故答案为：3．11．【解析】如图：当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4，故答案为：4．12．【解析】连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（0，3），∴圆的半径为3，∴OB=3，∴BD==2，∴BC的长的最小值为4；故答案为：4．三、解答题13．【解析】∵∠CDB=30°，∴∠COB=30°×2=60°．又∵⊙O的半径为2cm，∴CE=OC•sin60°=2×=（cm），∴CD=2CE=2（cm）．14．【解析】∵AB为直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=4，在Rt△COE中，OE===3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，故BE=2．15．【解析】（1）连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，∵∠BAD=30°，∴∠DOE=60°，∵CD⊥AB，∴CD=2DE，∠ODE=30°，∴OD