九年级《图形的相似》知识点归纳

(3)

苏科版九下《图形的相似》知识点归纳

知识点1有关相似形的概念

（1）形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

（2）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比（相似系数）．

知识点2比例线段的相关概念、比例的性质

可得ABDE或ABDE或BCBCEFACDFAB特别在三角形中：

由DE∥BC可得：ADAE或BD

DBECAD

知识点4相似三角形的概念

1）定义：在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段

a,b,c,d叫做成比例

线段，简称比例线段．

注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，

那么应得比例式为：b

EDFE或ABCC

EC或AD

EA或AB

EF或ABBC等.

DFDEEF

AE

AC

∽”表示，读作“相似于”．相（或相似系数）．相似三角形对应角相等，对应边成比例．

（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号似三角形对应边的比叫做相似比注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．

②a

b

c

d

b

d

b，（交换内项）

d

c

，（交换外项）

a

b．（同时交换内外项）a

核心内容：ad

bc

2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC（AC

BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即

（2）三角形相似的判定方法

1、平行法：（

三角形相似.

2、判定定理

3、判定定理

4、判定定理

5、判定定理

全等与相似的比较：

上图）平行于三角形一边的直线和其它两边

（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原

简述为：

简述为：简述为：直角三角形中，

两角对应相等，两三角形相似．两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似．

斜边和一直角边对应成比例”

2

AC2ABBC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段

AB的黄金分割点，其中

AC

51AB≈

2

0.618AB．即

AC

AB

BC51

AC2

简记为：

长＝短＝51

全＝长＝2

三角形全等

三角形相似

两角夹一边对应相等（ASA）

两角对应相等

两角一对边对应相等（AAS）

两边对应成比例，且夹角相等

两边及夹角对应相等（SAS）

三边对应成比例

三边对应相等（SSS）、（HL）

“斜边和一直角边对应成比例”

注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形acabcd

3）合、分比性质： ．

bdbd

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

（3）射影定理：如图，Rt△ABC中，则

∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，

2

AD2=BD·DC，

2

AB2=BD·BC，

2

AC2=CD·BC.

＝＝＞

＝＝＞

＝＝＞

b

a

d

c

发生同样和差变化比例仍成立．如：

ac

a

c

等等

bd

a

b

c

d

a

b

c

d

a

4）等比性质：如果

ce

m(bd

f

n

0)，

b

df

n

ce

ma．

那么

b

df

nb

知识点5相似三角形的性质

知识点3比例线段的有关定理

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例．

（2）相似三角形周长的比等于相似比．

（3）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．

知识点6相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“ A型”与“X型”图）

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线

,所截得的对应线段成比例

已知AD∥BE∥CF,

（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）

（3） 一线三等角的变形:（K字型相似）

知识点7等积式证明题常用方法归纳：

（1） 总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”

（2） 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

（3） 找中间比：若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上），则需要进行“转移”（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.

即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。

（4） 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例.

注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

知识点8相似多边形的性质

（1） 相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．

（2） 相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．

（3） 相似多边形面积比等于相似比的平方．注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．

知识点9位似图形有关的概念与性质

（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点 .

（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 .

（3）位似图形的对应边互相平行或共线.

（4）位似图形具有相似图形的所有性质.位似图形的性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）

考点经典例题分析

思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形

考点一、相似三角形的概念

1．判断对错：

两个直角三角形一定相似吗？为什么？

两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？

两个等边三角形一定相似吗？为什么？

两个全等三角形一定相似吗？为什么？

思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例 .要说明不相似，则只要否定

其中的一个条件.

举一反三：

【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？

解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等，又相似比为 1，所以对应边相等.因此这两个三角

形全等.

总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似 .

两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似 .

两个全等三角形一定相似，且相似比为 1；相似比为1的两个相似三角形全等.

【变式2】下列能够相似的一组三角形为()

A.所有的直角三角形； B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形；D.所有的一边和这边上的高相等的三角形

考点二、相似三角形的判定

2．如图所示，已知 中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中

各对相似三角形，并求出相应的相似比.

总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数.

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？

思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边

AC和DE，再看三边是否对应成比例.

总结升华：

本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似 .利用三边判定两三角形相似，

应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边.

本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似.

4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举

思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ ACD与△ABC已有公共角∠A，要使

此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.

举一反三：

【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．

思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知 AQ与PQ是否垂直，所以不能用两

个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：

【变式2】如图，弦 和弦相交于内一点，求证： .★初三圆

思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似 .同时圆当

中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.

变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．

举一反三：【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若 ，求ND:BD.

11思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，

22

1

DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．

2

总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题考点四、相似三角形的应用

7．如图，我们想要测量河两岸相对应两点

A、B之间的距离（即河宽），你有什么方法？

总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比例，即DEFD，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽

ABCA

△ABC．

考点三、相似三角形的性质

5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.

方案1：如上左图，构造全等三角形，测量

CD，得到AB=CD，得到河宽

方案2：

思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.

总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类

6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

总结升华：方案2利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，

思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积

借助相似；也可用等腰三角形等等

总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.

举一反三：

【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔 18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是

【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

变式1

变式

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度．

【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 1.5m

的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

宽的亮区

DE.亮区一边到窗下

思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则 ，

利用边的比例关系求出

BC.

考点六、综合探究

9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、足，PE交DC于点E，

(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出说明理由.

D重合)，PE⊥BP，P为垂

AP的长；如果不能，请

考点五、相似三角形的周长与面积

EF∥BC

再转化为具体的数值，通过建立方程解决，

8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

总结升华：

(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似三角形的知识解决.

(2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，体现了数形结合的思想.

10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.

(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；

(2)当P在BC边上什么位置时，值最大。

思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△ BCE的面积．△ABC的边AB

上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．

总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高 (或等高)三角形的面积比等于

对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．

举一反三：

【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为相似比和面积比.

1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的

总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：

(1)从面积公式入手；(2)从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；手，将面积比转化为底之比或高之比.

(3)从同底或等高入

参考答案：

考点一：

1．解：(1)不一定相似.反例。直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等 .所以

直角三角形不一定相似.

条件二：∠2=∠ACB.

条件三：ADAC，即

ACAB

总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法 .在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△

(2)不一定相似.反例。等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定

例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似

.因此两个等腰三角形中有两边对应成比

ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可 .本题易错为出现条件四：

不符合条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的。

ADACCD

ACADBC

A′B′C′中，

一定相似。在直角三角形ABC与直角三角形

，设

AB=a，

B′=b，则

BC=a，B′C′=b，AC= a，A′C′= b，

变式1：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴AD=2，∵BP=3，∴BC=4又∵BC=2DQ，∴DQ=2，QC PCPCPC

A'B' B'C' C'A'a，∴ABC∽A′B′C′。

A'B'B'C'C'A'b

在△ADQ和△QCP中，

AD

QC

DQ

PC

∠C=∠D=90

，∴△ADQ∽△QCP．

(4)一定相似。因为等边三角形各边都相等，各角都等于成比例，因此两个等边三角形一定相似.

60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边

变式2：证明：连接，

在中

，∴∽，

PA

PD

PC

,PA?PBPC?PD.

PB

一定相似。全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为 1，所以全等三角形一定相似，且相

似比为1.

2)

变式3：证明：在Rt△ABD

中，DE为斜边AB上的中线，∴

3)

EF为△ABC的中位线，∴

EF=1BC，即EF12

DE

1

DE=AB，

2

EFFD

即DE=1．同理DF=1

AB2AC2

BC2

AB

BCCA

△DFE∽△ABC．

BE

CD

1；当△BEF∽△AED时，相似比

3

BE

AE

24cm三种可能

变式2：解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知； B中什么条件都不满足；D中只有一条

对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等 .答案选C.

考点二：

2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比k1

1；当△CDF∽△AED时，相似比k3CD

43AE

考点三：

5．解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y。(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边

4xy2428

时，有，从而x=cm，y=cm.；(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边

TOC\o"1-5"\h\z

5 6 7 5 5

x 4 y 10 14

时，有，从而x=cm，y=cm.；(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边

5 6 7 3 3

x y 4 20 24 24 28 10

时，有，从而x= cm，y= cm。综上所述，△DEF的另外两边的长度应是 cm,cm或cm，

5 6 7 7 7 5 5 3

1420cm或 cm，

37

3．解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90

由勾股定理得

.由勾股定理，得 .

在△

6．解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.AMBH矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得AMBH，

ADBC

BC

6

AC

8

AB

10

ABC和△EDF中，

2,

2,

2，

DF

3

EF

4

ED

5

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90

BCACABDFEFED

△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似 ).

1010x320x，∴ ， .∴EF=6cm，EH=12cm.∴

4．解：当满足以下三个条件之一时，△ ACD∽△ABC.

条件一：∠1=∠B.

变式1：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

DEAD2。∵M为DE中点，

BCAB3

DM1

BC3

ND

DM

1

DM

∥BC，

∴△NDM∽△NBC，∴

∴ND

:BD=1：2.

NB

BC

3

考点四：

7．解：

∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠

ABO=

∠DCO=90

°∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC

AB

BO∵

BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m。答：

河宽为85m．

DC

CO∵

∠DPE=90°，又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，∴△ABP∽△DPE

AB

AP

2

x，

12

5

，即

∴y

x

x(0x5)。

DP

DE

5x

y

2

2

(2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即

12

x

2

5x2，解得

2

变式1：解：(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE。

∵，∵均符合题意，故AP=1

10．解：(1)∵BC=2，

BC边上的高

AD=1∴△ABC

4.

的面积为

1∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC

(