课件成果讲稿

期末高数复习资一、二重积分的计算将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,并画出草图按相反顺序写出相应的二次积分注： f(x,y)在考虑的区域上连续时，二次积分才可以交换积分次序在直角坐标系下计算三重积分思想是在直角坐标系下将三重积分化为三次积注注：当被积函数仅与z有关，且截面知时，用截面法比较简单注：利用柱面坐标系计算三重积分通常是先积z,再积ρ，后积θf(x2+y2+z2)的形式时，用球坐标系计算三重积分更简便。第十章.一一．曲线积分：性质大部分与一次积分相同f(x,yf(x,y)dsβφ(t),ψ φ'2(t)+ψ第二类曲线积分（对坐标的积分{ 第一类曲线积分（{ 第一类曲线积分（对弧长的积分∫αP(x,y)dx+Q(x,y)dy 设夹角为θ就可得出两者转化关系。0当β∫Lf(x,y)ds=∫αf(x,g(x))1β当曲线弧置于空间坐标系中，即 ∫f(x,y,z)ds=∫βf(φ(t),ψ(t),ω(t))φ'2(t)+ψ'2(t) 第二类曲线积分：积分曲线与其路径无关,计算方法的常用变换：当β∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫α(P(x,g(x))β将曲线弧置于空间坐标系中，即 设闭区 由分段光滑的曲 围成 函数 上具有一阶续偏导数,则有 （其中L是 是u的全微分。即是du=解法是：将全微分从(0,0)积到（xy。计算,其中 L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L求L

(xy)dx+(x+y)dy,LAa,0)y=bx2+y2

a-到a-a的弧段a{二．曲面{第一类曲面积分（对面积第二类曲面积分（对坐标第二类曲面积分（对坐标 例题 ________,其中 是柱面 被平面 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数、、在 上具有一阶连续偏导数 则有公式或stokes公式Green

求向量,穿过曲 :为立方 的全表面,流向外侧的通量第十一 无穷级一.常数项级1、数项级数的基本性质2、正项级数的审敛法步骤（先预估级数收敛性向数 un，先看limun=0是否成立（级数收敛的必要条件n 用limun+1=L（比值审敛法）或 （0nnn→∞ 3、任意项级数敛散性的判定A、（1）任意项级数 un，先看是否满足limn

考虑正项级数∑∞|un|（利用绝对收敛的性质，原数列也收敛

nn

(-1)n-1u满n （2）lim则级数收敛，和S≤u，|rn|≤ nn nn

n -n(1)∑(2n2+lnn+1)n+1n

∑(nn

n

n n

=nn

22 2n2+n+1nn2n2+n(nlim(1+1)n

=e<3,故limun+1= ,得n→∞ 1n(13(1(13(1lim3(1+n)2=1。所以级数 发散，级数 nn n

∑n=1(1

∑n=1(n+1)n由lim = n→∞n

1(1 un n（1+n）单调递增且有界 n

1n≥1，故un1≥un>0∞

(1n注：此题还可用拉阿伯判别法：若有l∞n(uun-1=L,其中0≤Ln项级数∑∞un当L>1时收敛，1时发散，L=1nex=1+

x3+…,-∞<x<∞可得e

，由 ∑n=1e-n （n→∞）的高阶无穷小，α>0，因（e（elime-n n→∞

二．幂级幂级 求幂级数的和函 应1.⑵收敛半径如果其中 则R为幂函数的收敛半径。注：求收敛域还需将区间端点代入原级数，判断此时级数的敛散性 例1.求的收敛解1：令，则化 得则发散；发散，所以收敛域为 即，后面步骤同解1⑶运算见书本212页213幂函数的和函 在其收敛域I上连续幂函数的和函 ，逐项积分后所得幂级数的和函 在其收敛区 变量替换法——通过变量替换化为一较简单的幂级数拆项法——将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数而此幂级数的和 例2：求幂函数的收敛域与和函 设， 时，有，..所以又综上 = 的和则 代入（，其中为拉格朗日余项 ，介 ⑵展开方法（无论怎样，先求收敛域，求出展开式后，写出x范围求，若x=0处某阶导数不存在，就停止求C.写出麦克劳林级数，d.判别在，，，，，x例4：将函数展开成 又，；，所 三.傅里叶级：f(x)

∞ n

ancosnπx+bnsin

（x 其中

=1∫Lan

L-L

L∫-Lbn=1L

nLxdxL∫- L=π

0 =1∫π 0n =1∫πf(xn bn=1∫πf(x)sinnxdxπ-2、(收敛定理,展开定理设f(x)2p的周期函数,并满足狄利克雷Dirichlet)条件在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 F(x)=a0

n 3（1）正弦级数（即f（x）为奇函数a0bn=2∫πf(x)sinπ余弦级 an=2∫πf(x)cosπbn=：L2x

4、cos

=（-1、将函数f(x)=1-x2(0≤x≤π)∞（-1）n1∑n 先作图，将函数f(x)=1-x2(0≤x≤π) =1 2 π∫-π1-xdx=2- an=∫π1-x2cosnxdx=（-1）n-1

bnπn πn=1-3π2=1-3π2（-1）n-1cos，(0≤xn 2令x=0，f(0)=1，所以∞（-1）n-1 ∑n 第十二章.微分一．可分离变量(1)形 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特⑵求解方 可分离变量的微分方的求解方法,一般有如下两步第一步:，第二步:两边积 第三步:计算上述不定积分，得通解.）例2 的解． 分离变量 , 为任意常数1.一阶线性微分定义：形 的方程,称为一阶线性方程,其 已知函数 时, 时, 为非齐次线性方程即令为非齐次线性方程的解,代入 代入得通解上式称为一阶线性非齐次程的通解公式。上述求解方法称为常数变易法,根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为