初中数学瓜豆原理

最低系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值.本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、。之间存在某种联系，从P点出发探讨。点运动轨迹并求出最值，为常规思路.一、轨迹之圆篇引例I：如图，尸是圆。上一个动点，人为定点，连接AP,。为金一中点.考虑：当点。在圆。上运动时，。点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆。有什么关系?考虑到。点始终为AP中点，连接AQ取人。中点M,则用点即为。点轨迹圆圆心，半径A1Q是。P一半，任意时刻，均有△AMQs/vAORQM.PO=A().AP=[.2.p【小结】确定。点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：人M、。三点共线，由。为A尸中点可得：AM=[/yX(),。点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关系分析同心的相对位置关系;根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

引例2：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,作AQL4P且AQ"P.考虑：当点/,在圆。上运动时，。点轨迹是？GT【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转9()。得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考虑APLAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足力必，工。；考虑八〃二A。，可得。点轨迹圆圆心M满足八仰且可得半径即可确定圆"位置，任意时刻均有△APOg/^AQM.引例3：如图，AAPQ是直角三角形，N/24Q=9O。且八〃=2月。，当，在圆。运动时，。点轨迹是？【分析】考虑AP^AQ,可得。点轨迹圆圆心”满足八MJ_A。；考虑AP：A0=2:1,可得。点轨迹圆圆心”满足AO.AM=2：［.即可确定圆〃位置，任意时刻均有△APOsaAQW,且相似比为2.

【模型总结】为了便于区分动点P、Q,【模型总结】为了便于区分动点P、Q,可称点P为••主动点”，点。为••从动点，此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/附。是定值）;主动点、、从动点到定点的距离之比是定量（4八八。是定值）.【结论】（I）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP.AQ=AO.AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆，。与P的关系相当于旋转+伸缩.古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，"种.'线得线，谓之“瓜豆原理工【思考I】：如图，尸是圆。上一个动点，A为定点，连接AF,以AF为一边作等边考虑：当点夕在圆。上运动时，。点轨迹是？【分析】。点满足（1）N以。=60。：（2）故。点轨迹是个圆：考虑/由。=60。，可得。点轨迹圆圆心A1满足/MAO二6（）。；考虑AP=AQ,可得。点轨迹圆圆心历满足AM”。，且可得半径例。=尸。.即可确定圆M位置，任意时刻均有△“POwZvi0M.【小结】可以理解A。由八〃旋转得来，故圆M亦由圆。旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系.【思考2】如图，2是圆。上一个动点，八为定点，连接八R以八户为斜边作等展直角&IP。.考虑：当点?在圆。上运动时，如何作出。点轨迹？Q【分析】。点满足（1）/以0=45。；（2）APAQ=42：1，故。点轨迹是个圆.连接AO,构造NOAM=45。且AO：4W=JL|.例点即为0点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△工。Ps》MQ.即可确定点。的轨迹圆.

Qp【练习】如图，点〃（3.4）,圆〃半径为2,4（2.8,0），"（560）,点时是圆〃上的动点,点C是A"的中点，则A。的最小值是 .【分析】M点为主动点，。点为从动点，/，点为定点.考虑C是AM中点，可知C点轨迹:取5P中点。，以。为圆心，0c为半径作圆，即为点C轨迹.当4U。三点共线且点。在线段上时，AC取到最小值，根据从P坐标求。，利用两点间距离公式求得。工再减去即可.X

X【2016武汉中考】如图，在等膜R3A3C中，AC=BC=?6,点尸在以斜边A4为直径的半圆上，，必为PC的中点，当半圆从点A运动至点。时，点M运动的路径长为.【分析】考虑C、M、P共线及M是C『中点，可确定M点轨迹：取AB中点O,连接CO取CO中点D,以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、8C于E、尸两点，则弧E尸即为时点轨迹.CBCB当然，若能理解.仞点与“点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长半，即可解决问题.【2()18南通中考】如图，正方形A4CQ中，A4=2",。是4c边的中点，点£是正方形内一动点，()E=2,连接。&将线段DE绕点。逆时针旋转9()。得。尸，连接AE、CF,求线段OF长的最小值.【分析】七是主动点，厂是从动点，。是定点，E点满足七0二2,故七点轨迹是以。为圆心，2为半径的圆.考虑DE_LDF且DE=DF,故作DM_LDO且0M=DO,尸点轨迹是以点“为圆心,2为半径的圆.直接连接OM,与圆M交点即为尸点、，此时。尸最小,可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得0M,减去M厂即可得到0尸的最小值.

【练习】AMC中，八3=4,AC=2.以4。为边在乙44？外作正方形式;DE,3D、C£交于点O,则线段AO的最大值为.【分析】考虑到A/?、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定4",将AC看成动线段，由此引发正方形8CEO的变化，求得线段,4。的最大值.根据47=2,可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆.接下来题目求八。的最大值，所以确定。点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点c的轨迹是以点4为圆心，2为半径的圆，所以。点轨迹也是圆，以A8为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点。轨,迹圆圆心.

连接八M并延长与圆M交点即为所求的点°,此时a。最大，根据A"先求4必，再根据4。与40的比值可得圆〃的半径与圆从半径的比值，得到mo,相加即得AO.此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当a、C、*共线时，可得ao最大值.或者直接利用托勒密定理可得最大值.二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线6c上一动点，连接AP,取a尸中点Q,当点尸在上运动时，。点轨迹是？可以这样理解：分别过A、。向6。作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为A"的一半，即。点到6c的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.【引例】如图，ZkAP。是等腰直角三角形，/山。=«)0。且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时，求。点轨迹？【分析】当AP与八。夹角固定且人外从。为定值的话，P、。轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得。点轨迹线段.【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/附。是定值）;主动点、从动点到定点的距离之比是定量（八尸:八。是定值）.结论：入。两点轨迹所在直线的夹角等于/心。（当/用Q09O。时，/心。等于MN与"C夹角）P、。两点轨迹长度之比等于”3。（由△WCszMMV,可得"：aq=/?qmao[2017姑苏区二模】如图，在等边中，"=10,"。=4,催=2,点P从点E出发沿£人方向运动，连结以），以尸。为边，在的右侧按如图所示的方式作等边△/»£当点。从点E运动到点八时，点厂运动的路径长是.【分析】根据△。尸尸是等边三角形，所以可知"点运动路径长与P点相同，P从E点运动到工点路径长为8,故此题答案为8.【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为2逐的一个定点，ACL工轴于点坏交直线于点N,若点P是线段ON上的一个动点，/AP8=3()。，BA1PA,则点P在线段on上运动时，工点不变，8点随之运动.求当点P从点。运动到点N时，点"运动的路径长是 .【分析】根据/以厉=9()。，/，4=3()。可得：AP："=":1,故"点轨迹也是线段,且P点轨迹路径长与/，点轨迹路径长之比也为6:1,P点轨迹长。N为26，故4点轨迹长为2n5.【练习】如图，在平面直角坐标系中，A(・3.0)，点3是，轴正半轴上一动点，点。、。在元正半轴上，以4,为边在川的下方作等边"台匕点4在¥轴上运动时,求。夕的最小值.【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△A8P是等边三角形且B点在直线上运动，故可知尸点轨迹也是直线.取两特殊时刻：(1)当点8与点。重合时，作出尸点位置尸1：(2)当点6在k轴上方且A4与x轴夹角为60。时，作出〃点位置夕2.连接，1夕2,即为夕点轨迹.,V八\/>t-

根据NA3P=6()。可知：片「与y轴夹角为6()。，作OP，11,所得OP长度即为最小值，。「2二。八二3,所以OP=N.【2019宿迁中考】如图，正方形ABC。的边长为4,E为BC上一点,且&F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.A D【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求最小值，可以将尸点看成是由点4向点从运动，由此作出G点轨迹：考虑到尸点轨迹是线段，故3点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在q位置，最终G点在G,位置(G、不一定在CD边)，GQ.即为G点运动轨迹.CG最小值即当CGIGG,的时候取到，作CH±GG,于点H,CH即为所求的最小值.

根据模型可知：qq与43夹角为60。，故q.LEq.过点石作政，。”于点尸，则〃F=G£=i,CF=1CE=12 2所以C"=2,因此CG的最小值为*.2 2三、轨迹之其他图形篇所谓•,瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性.，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是.【2016乐山中考】如图，在反比例函数＞=-2的图像上有一个动点A,连接40A并延长交图像的另一支于点、出在第一象限内有一点C,满足当点A运动时，点C始终在函数y=9的图像上运动，若5/CW=2,贝产的值为（ ）rA.2C.6B.4A.2C.6B.4D.8【分析】NAOC=90。且工显然点。的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直二轴，垂足分别为M、N,连接0C,易证△AMOsAQVC,••.CW=20M,ON=2AW,：.CN.CN=W4.()M,故心4x2=8.【思考】若将条件“〃/NCM=2"改为"A4C是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A B(-1.4),。(-5.4〉，点P是△工5。边上一动点，连接OP,以。P为斜边在。P的右上方作等腰直角△OPQ,当点P在aA4c边上运动一周时，点。的轨迹形成的封闭图形面积为 .【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：。点运动轨迹与尸点轨迹形状相同,根据。尸：。。二夜：1,可得产点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为0：1，故面积比为2:1,A/WC面积为［/2x3x4=6,故。点轨迹形