李贤平《概率论基础》第三版课后答案

#N两边同乘以2"并利用组合性质变形得2-（人「-2-（人「-厂）—2nN-r丿令N-r=kf并注意到对应［从0变到N,而k是从N变到0,即得耍证的等式(3)(3)N

z

N

z

r=0(N+k、2~k=2N./46、证：任何一个非1的白然数，皆可唯一地（不计次序时）分解为素数的乘积，要证网数互素，只需验证这两数没有公共素因子就行了。为此，把素数排列为p,<p2对任何（自然数）定义事件ANt=｛在1,2,…,W中独立地取网整数,g与〃不含公因子卩1，卩2,…，口｝。把所耍求的“事件”的概率定义为佟业PS2丿。为计算戶（&口），定义，叩。(1)叫…k=P｛H12…，N中独立地取两整数乡〃，它们有公因子Pi「P"则由辜活容许的和的概率公式得1'，叩。(1))i-+工叫一…+(-1)'^12-,/=1l-i\2显然有叫=因而(\112<叫因而(\112<叫n<(\1S…弘N)[p.-pj1—_也WYgPk…PhN（2）式左端的兰I的來由是，N(2)(\211申…“(\211申…“N丿而和式中一共有C：项。由(1),(2)得I(1匸1i_》r+X—T-/•=1PiPiPj11/=1Pi2_P；…P：…P；N在（3）中令NTS得=n/=1=n/=1再令fTs,并利用黎曼函数§（2）=2（参看华罗庚著“数论导引”P236,225）得,TV欲求的概率为lini[limmvj]=fl[l-4b钦刀=4宀人％i=T{P；）兀47、解：假设产品合格率p>0.99,不妨设卩=0.99。现从10000件中抽100件，可视为放回抽样。而100件产品中次品件数服从二项分布，利用普阿松逼近定理得，次品件数不小于两件的概率为p=\-（O.99）100-lOOxO.Olx0.99"e'1=0.2642此非小概率事件，所以不能据此断定该车间谎报合格率。（注意，这并不代表可据此断定,该年间没有谎报合格率。）(3)(3)第三章随机变量与分布函数1、解：令氛表在n次移动中向右移动的次数，则兌服从二项分布,p{^=k}=c\Pk（i-Py-\“0,1,以s“表时刻时质点的位置，则S”=佥一S一氛)=-no佥的分布列为'012、・・・；7、(1-"C》(l-")门C"(l_”-2…p"丿S”的分布列为/-n一〃+2一〃+4…n、,(1一"c》（i-"）门C"(l_”-2…pI2、解：P｛＜=1｝=P｛失成｝+P｛成先｝=pq+qp,P｛^=2｝=P｛失失成｝+卩｛成成失｝=ppq+qqp=p'q+qF,…所以§的概率分布为pf-k｝=pkq+q~p.R=l,2,…。log-log-1)_1。3、解：(1)1=为/伙)=矿”，t?N1==c(eA-1),it=ikl4、证：f(x)>0,且Jf(x)dx_j^e~x^dx=je~^xdx=-e1✓XX1✓XX・XV、I2、丿j=p<_1v_10)<=>=①①(―2)=0.2857881"-XV、I2'丿5、解：(1)P(6vgv9)=”丄(6—10)v丄(g—10)<2(9—10)J.1-・,、1I2'，z2(2)P(7vgv12)=P#(7—10)<扣-10)<尹2-10)=P<-=P<-1-<丄(疔-10)<1U0(1)-0(-1-)=0.774538II22-…(3)(3)(1)Ty一JE・06.0H(T)e(I)疇，卜。sodsH(091s・19)109H友-fflSI9HHS-GI9l@sd.0H(09li)十令注。「^丄09|勺寸9)|09

HH薩里履Ex-ffi。「.寸9:、s;•寸9V(@S・「；(09—_()十2令

MV3d斗H(09—XV(0913苦nsess。69.0"(s.oecrr6.o"(so6ew袖・69.0H02、(8E+寸e+L)Hrxv7£rH宀Hvdd・E6.0H02、Q—02)=4h・02心+寸Z+8E+寸“a,9Z.6S090.0(2—2)+V(01—xv(01—2)+v(rV"vod(m)(3)(3)CMOCTV01^2^s+k)4H(h)4umHs^...□OTA二(V)H—2HS二H(X)工—sta§«?。沦)4—(h)H丄(f)H—(h)hmVla—U)TNEW・SOO.OHWASIEd薩3.0"它<hlu一k/-ffi(e)hY:vx怒(e)。拿(Y)Hai(h)hm4£・0aivxvi7v疔srH(K)HI(H)4二XAK®u)“肖/QCHDTMs「66.0H(9deE/66.0Uo9・\HbesE・IHA—D)「令(3)(3)00=V[r(/?+1)-F(a?)]=liinF(/7)=limF(m)。n->oc〃一>oc由单调性得limF(x)与limF(x)均存在且有穷，由05F(x)<1及上式得A—>-XXfgF(—co)=0,F(co)=1o9、证：P{x,<^<x2}=P{^<x2}-P{^<xj=P{<<x2}-(1-<x2})=P{g<X2}+P{g、"}—l'(I—0)+(1—a)_l=l_(a+0)・・・・不等式成立。Qxe(—8,0］10、证法一：定义F{x)=\p^<^<x},xe(0,1］则F(兀)是§的分布函数。由题1,xe(1,s)设得,对任意2"［0,1］^P{G<^<x}=P{x<^<2x］,即有P{Q<^<2x}=2P{0<^<x}o由此得F(2x)=2F(x)。逐一类推可得，若nxe［0,1］,1X>77则F(^)=/?F(x),或者一F(x)=F(-)o从而对有理数一，若一x与兀都属丁・［0J］,nnnn则有F伫％=-F(x)o再由F(Q的左连续性可得，对任意无理数a,若ax与兀都屈In丿n于［0,1］,则F(ax)=aF{x)。因为区间［0,1)与［0,1］的长度相等，由题设得F(l)=P{0<4<1}=P{0<4<1}=1.由此及上段证明得，对任意兀丘［0,1］有F(x)=^F(l)=x,即F(Q为Qx<0F(x)=v兀,0<x<11,x>1・•・纟服从［0,1］上均匀分布。证法二：如同证法一中定义§的分布函数F(x),由F(x)单调知它对［0,1］上的L—测试儿乎处处可微。设x15x2e(0,l),当%!+Axe[0,1](/=1,2)时,由题设得F(兀1+Ax)一F(x1)=P{x{<^<Xj+Ax}=P{x2<x2+Ax}=F(x2+Ax}一F(x2)等式两端都除以心，再令心TO可得，由F(xJ存在可推得Fin)也存在，而且F©2)=F(习)。从而对任意Xe(0,1)有F3三c。当兀巨［0,1］时显然有F\x)=0。一点禹长度为0,由题设得P{§=0}=P{g=l}=0。由上所述可知§是连续型随机变量，F(x)是其密度函数，从而定出c=U至此得证§服从［0,1］均匀分布。11、证：⑴f11、证：⑴fa(x)=,exp\~(x-m)2(3)(3)AW=exp{0G)T(x)+D(b)+S(x)}这就证明了止态分布M(m这就证明了止态分布M(m0,a2)是单参数b(cr>0)的指数族。(3)(3)(3)(3)>779y~]吋2cr0-兀6fm(兀)=exp{2(w)r(x)+D(ni)+S⑴}若令吋2cr0-兀6fm(兀)=exp{2(w)r(x)+D(ni)+S⑴}所以正态分布N(fn,aQ~)是单参数加(-8<m<s)的指数族。/?(/:;2)=—e~A=exp伙In几一几一Ink!}。k\若令<2(2)=ln^,T(k)=k，D(A)=—A,S(灯=—Ink!,则p(k;1)=exp{Q(2)T伙)+D(2)+S(k)},所以p(k;心是单参数2(2>0)的指数族。(i/0,O<x<0关丁JO,。]上的均匀分布，其密技函数为九(x)={c门亠C几(切是定义在-SVXVS的函数，由于它是X的分段表示的函数，所以无法写成形式九⑴=exp{0(&)7XE+D(&)+S(x)}故九(兀)关丁•&不是一个单参数的指数9族。12、证：分别对固定的兀。和)'o有0,F(兀00,F(兀0』)='x>—兀0M_)'o由上式显然可得F(x,y)对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7),即F(一叫y)=0,,F(x-oo)=0,F(+8,+qo)=1但有F(l,l)-F(l,0)-F(0,l)+F(0,0)=-1这说明当取a,=a2=0,b,=b2=1时(2.5)式不成立。所以F(兀,y)不是分布函数。13、证：必要性：

JJy)dxdy=J*JJy)dxdy=J*ke~t,irduadxdy耍积分收敛，必须a>0,(ac-b1)!a>0,由此得应有处一戸>0以及c>0。利用Ce~l,Zdu=y[jr可得从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。14、解：设/(x,从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。14、解：设/(x,y)=f\(x)f2(y)+h{x,y)是密度函数,则由f(x,y)>0得川>,刃、一久(兀)/2(刃。又(3)(3)所以应有Jj/?(x,y)dxdy=0。反之，若/?(x,y)\-久(x)/2(刃，h(x,y)可积且jjh(x,y)dxdy=0,显然有f(x,y)>0且Jj/(x,y)dxdy=1,即f(x,y)是密度函数。所以为使/(x,y)是密度函数，力(兀刃必须而且只需满足力(兀,刃>~/iW/2(y)且jjh(x,y)dxdy=0。⑵P$v2,〃v1}=匸2e-lxdx\>'dy=(-严|:)(-八匕)=(1_「)(]_/)。§的边际分布，当x<0时唐(x)=0,当x>0时有f^x)=^2e-2xe-ydy=2e~2x,P{§+〃v2}=J：2e~2xdx^'e~ydy(2)(2)(3)(3)=2'(I-e-{2-x)dx^(2e~2x-2严-%(5)(6)利用=(1—f"4)+(2^^-2e-2)=l+e-4-2e'2=(l-<?-2)2.(5)(6)利用=(1—f"4)+(2^^-2e-2)=l+e-4-2e'2=(l-<?-2)2.当x<0,y>0时f(x|y)=0；当x>0,y>0时有仙沪4=至二=2宀f°(y)e-yP{7]v1}=J；dyJ；2e~(2x+y)dx=『e~ydy^2e^2x+y)dx=-e(2)的结果可得-y1016、解：作变换，令x-a=pcosO,y-b=psind,贝ij|J|=p椭圆区域为{cos202rsillcosisin201加i吓2?=227P「240cos&+池"62则。=2/5,且1=x2P{©〃)wD(2)}=2^cf1ct2V1-rd0peJoJo9s'占E2Sdd]O"2\7当几T8时，P{G〃)eZ]O"2\7当几T8时，P{G〃)eZ)S)}t1,由此得J：厶朋=竿尝0Svl—r2证：设多项分布为呛*,…疵十}=茶石耐诃,/?!(1)kj、0,6Pi=1。i=li=l利用(2)可以把(1)改写成P{^1=他，…,§r-l-^r-1}=(3)(3)n\匕!…化」（〃一比n\匕!…化」（〃一比1沖…力x（l-p—…-仏严f由边际分布的定义并把（3）代入得P{fl=P{fl=k也—2=^/-2}=XP觞二匕…疵_=(3)(3)(3)(3)人+…+心-㈢必-闫=吠…為x(…―…七2)!A人!…―2“—人一…一—2)!3=0dS—❻―…——1)!八x(l-A——P一2PRT…j由二项式定理得/?!(4)P{gl=k\，…、gr_2=kr_2}=/?!(4)心…d-…七丿…旳心萨…一"严把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得P{g=£}=-p$（1-pji、11k^n-ky.[1从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。18、解：（1）§的密度函数为，当x<0时卩：（兀）=0；当兀>0时，注意积分取胜有选取，得"Pg(x)=J：P(x,y)dy-j'匸伙)；幺)x(y—x)^_1a'ydy(令y-x=1)MgJ。八"=（2）〃的密度函数为，当y<0时p“（刃=0；当），>0时，P"（）'）=匸Pgy）dx-〔「&）；伙,）X（）'一x）lhdx令x=yt,当x=0时f=0,当兀=『时f=l,所以p(y)=y^~lyk-~lp(y)=y^~lyk-~lx"厂&)厂伙2)，•萨地T八.B（k/「）一严心『VW）厂仏）

厂伙jr伙2）112厂&）厂伙2）厂&+心）“Rl+h-ly-]“Rl+h-ly-r伙1+^2）

其中用到0-函数与r-函数的关系式。19、证：我们有0<^.(^.)<1,1<2/,.(x,.)-1<2-1=1,一1<[2片(xj-1][2F2(x2)-1][2F3(x3)-1]<1,代入尢(山，兀2，兀3)的表达式得/a(X15X2,X3)>0⑴又有[2片(兀)-1]力Mdxi=[2仟a)-lpf,a)=[用a)—耳(“)]]=()•-Jfffa(习,x2,x3)dx{dx2dx3=匚人(xJd“匚f2(x2)dx2j^f3(x3)dx3=1(2)由(1),(2)知乙(為,兀2，®)是密度函数。用与上而类似的方法计算可得边际密度函数为•-ffffa("，兀2，勺)化臨=/1U1)'川7a(",勺,勺皿止=厶(勺)\\\fa(“,兀2，心)如九=/2(%2)•20、解：(1)为求(«)的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：(i,k>1)其中利用到独立性。j=\i=kj=\P{：=k,g=k}=P<U(§=k,q=j)>=*1•n2^k+j=2^k-11_q—2-1/1*、=Lpq=pq•—=pq(i—g)；TOC\o"1-5"\h\zU\_qi<kPK==i}=P{^=i^=k}=p2qM-2:i>ku冷*,P{^=k^=i}=o(2)因为=max©“),所以{^=k}=\J{^=i^=k}^\J{^=k^=j}f=lj=lk_\kk-1kPg=k}=XP{^=M7=灯+DE=k,TJ=j}=》/异严一$+沪严/=1>1r=l；=1=p2^-{咅+浮]=(2-严-心广'伙=1,2,)1-q1-q(3)(3)(3)P{^=i\^=k}=(3)P{^=i\^=k}=P{—}i>k,(i,k>1)pqpqk)=i-/pqS-qkS2-c/k-I卩为心=pqii>k,(i,k>1)21、解：(1)边际分布的密度函数为，当xW[0.1]时心(兀)=0；当0<兀51时，A⑴=匸f(兀訂;4兀曲=2x同理,当ye[0.1]时九(y)=0；当0<y<l^ff/(y)=2yof(x,y)=f^x)ff/(y),所以§与〃独立。(2)边际密度函数为，当Afe[0.1]时去(x)=0；当0<兀<1时A⑴=匚f^y)dy=匸8丽)匸4x(1-x2)当y-e[0.1]时九(刃=0；当OWyVl时人(刃==J人(刃==J在区域Ovyvl中均有f^x)fr}(y),所以纟与〃不独立。2l丄0计’2l丄0计’z——--sinxsinyz——--sinxsiny(-cosz)8-TfE)=JoMF—-—-―:—b」°8龙(1一sinxsinysmz)dz其余p句(x,y)=o。当0<兀<2龙时，P切⑴二fd)［占(1—Sinxsinysinz)dz=£其余^W=0o由丁三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当0<x<2ti.0<z<2^时，p,:(x,z)=l/4/r2；当0<yW2龙，0<z<27r时,"加(”Z)=l/4兀彳；当°<y<2/r时，ptf(z)=1/2^；当°<z<2^时，Pj(z)=l/2/r；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于p/x,刃=他⑴卩八刃，p%(x,z)=他⑴仪⑵，p%(y,z)=D(y)/v(z),故两两独立；但当0vxv2;r,0<y<2tt,0<Z<2tt时有P("Z)H々(x)p“(刃々⑵，故仙g不相互独立。23、证：当|x|<1时，他⑴二匚卩(兀，『)心=匸¥心=|,⑵⑵P{^=k\^+^2=n}=(3)(3)其余Pf(x)=o。同理当Iy|v1时，P“(y)=1/2其余p“(x)=0当0<|x|<1,Ovyvl时有p(x,y)p^(x)pf/(y),所以§与〃不独立。现试能动分布函数來证严与〃2独立。严的分布函数记为Fj(x),则当o1时,

F1(X)=P{<^2<X}=P{~4x<^<yfx}=^dx=y/x；[o,y<0尸2(刃={"，0<y<lx<0[o,y<0尸2(刃={"，0<y<lx<00<x<lX>1,1,y>1,(严,〃2)联合分布函数记为F3(x,y),则当0<x<l,y>l时Fg)=P{<2<X,〃2<y}=P{^<X}=^同理得当OWyWlan1时F3(x,y)=77；当OWxVl,0<y<1时F^x,y)=P{^2v兀,〃2<y}=P{~4x<^<y[x,-^[y<7]<y[y}0,合起來写得F2(x,0,合起來写得F2(x,y)=<",历,1,x<o或)yo0<x<1,y>10<y<l,x>l0<x<1,0<y<1x>1,y>1⑵⑵P{^=k\^+^2=n}=(3)(3)不难验证F3(x,y)=F{(x)F2(y)对所有x,y都成立，所以严与〃？独立。24、证：(1)由褶积公式及独立性得PG+勺二灯二士P&十2十i}=tP{^=i}P{Jk—i}/=0/=01(A+^2)Ac1(A+^2)Ac-^+22)k\kl⑵⑵P{^=k\^+^2=n}=(3)(3)这就证明了刍+為具有普阿松分布，且参数为人+人(3)(3)Pg=幅2“一灯二Pg=灯P©=7

/%+為=〃}"PE+乡"}益严歹严亠（人+几2）“一（石+心）I?（^1）!匸$1豊八中丿a2$1豊八中丿a2、”_k证毕。(3)(3)*>yj=J*>yj=J：p(x)dx+J：p(x)dx；25、证：由题设得P^=i}=P^=^=i}^^=-^=-i})=LL+Ll=LfP{"_1}=P({g=1,〃一1}U(―M=1})=*•*+歸斗p{§=1,<=1}=p(检=on[{4=1,”=1}u@—1,”=—1}])二P忙=1,；7=1}=P忙=1}P{〃=1}=^=P{^=1}P{：=1},4P{^=!,<=-!}=P(忙=l}n[g=1,77=-1}U(4=-1,7=1}])=P{§=^j=-l}=P{§=1}P{〃=i}=£=P运=1}P&=-1}，4同理可证P{§=-1《=1}+P{4=-1}PK=1}，P{§=-=-1}+P{§=-1}P{：=-1}.所以§与：相互独立。用同样的方法可片〃与：也相互独立。但p&=1,〃=i,^=i}=卩(苗=1,〃=1}n[広=i,〃=1}u乞=—i,〃=-i}]),p帖=1}旳=1}叱=1}=?所以§,〃，：只两两独立而不相互独立。26、解：P{^=k}=—e~\=0,1,2,k\由此得(1)P{?]=ak+b}=—e^,R=0丄2…，k\（2）P{?]=k2}=—eA‘k=0丄2…。k\W=p\^<y\=p\丄<gvo‘/•0=j^p(x)dxiy27、解：（1）由P{4=0}=0知，〃以概率1取有限值。当y>0时,

爲（刃=出v』=p{?vo}+p

ro

坊(y)=LP(W=p\^<y\=p\丄<gvo‘/•0=j^p(x)dxiy‘0©、⑵F“()')=P{fg§vy}=PU伙龙一弓<M+〃cfg)，})00吕fkx+wcfgy00=〉/Ikn-xp^x^dxk=Y2(3)当y<0时，F/;(y)=O；当y>0时，Fn(刃=刊切vy}=冲一yv§vy}=匸/⑴必。28、解：设肖•径为随机变量d,贝ua<x<b1a<x<b其它Pld<dx:Pd(x)=\(b-ay其它Pld<dx:圆面积5=—7td~o当一tut<y<丄於2时，TOC\o"1-5"\h\z444F“(y)=P{S<y}+P百加2<y}=当丄加2时Fa(y)=0；当y>-7ib2时巴(刃=1。由此对Fa(y)求导(利用对参441919数积分求导法则)得圆面积的分布密度为，当)，<—加$或y>—加$时亿丄刃=0；当44如2加2时几()，)=Fd()，)=茫。44(b-a)7iy29、解：《与〃的密度函数为P^X)=PrSX)=P^X)=PrSX)=(1)Bc由卷积公式及独立性得：=g+〃的分布密度函数为P：(y)=匸Pg(y-x)dx(2)c把(2)与(1)比较知，在(2)中应有05x51,OWy—xWl,满足此不等式组的解(x,y)构成图中平面区域平形四边形ABCD,当OWyVl时0<x<y，当15y<2时y—lWxVl。所以当0<y<1时(2)中积分为(3)(3)々（y）=J；lxldx=y当l<y<2时，（2）中积分为々（『）=J：」xldx=2—y;对其余的y有p』（y）=O。1-1（A1-1（A：+V2）阳a刃=書幺230、解：p^x）=prf（x）=-j=e2由求商的密度函数的公式得々()')=EJ引pg")dx=匸|x|——e2々()')=EJ引pg")dx=匸|x|——e2龙--(.rv2+.v:)2r21r-oc-_f(l+y・)xe2dx2龙J°11711+y2-lx2(l+y2)e-001o~兀(1+)/)'-oo<y<+s(3)(3)(3)(3)1-lx21-lx21-Av2兀心）卞八菩e21-扣丁）ii-|（4T所以U,V网随机变量也相互独立，且均服从N（0,2）。32、解：当y>0时由独立性得1一爲（刃=卩{"、刃=卩{£厂<2…6R}=IIP忙1ny}=11（1-化（刃）=□（宀）=exp（-）£A）/=1/=1/=1/=11/31、解：作变换，令5=x+y,t=x-y,得x=y（5+t）,y=-（5-r）,|J|=-o由g与〃独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U,V的联合密度函数为I-（mxd——eL17t・・・F〃(y)=l-exp-)乞&当时。求导得的密度函数为，当时；当时33.M：设（0卫）在内任意投两点勺疋2,其坐标分别为兀y,则勺疋2的联合分布密度为

J0,(兀刃巨(O,d)x(O,d)

"(I))—]厶(兀刃w(O,a)x(O,a)°设7?=|空一冬J0,(兀刃巨(O,d)x(O,d)

"(I))—]厶(兀刃w(O,a)x(O,a)°设7?=|空一冬|，则〃的分布函数为，当ZWO时F7(z)=O；当z>a时打(z)=l；当0<Z<a时，%⑵=P{\^-^2|<z}=jjp(x,y)dxdy-Z<x-y<z0<x,y<a其值为g\\dxdy=^S,积分s为平面区域ABCDEF的面积，cr—(ci—z)~—2ciz,—z~所以F“⑵=(2az-z2)/a2.34、证：由独立性得，V=(x,y,z)的概率密度为1一一(A：+y=+z:)S=yjx2+y2+z2的分布函数为，当s>0时，F(S)=p{yP+y2+z2<s]=-Z<x-y<zu0<x,y<ai.-L(f+L)..,xdxdydz作球面坐标变换，x=Qcos0sin©y=sin3sin(p,z=pcoscp,贝ij|J|=p1sin^?,

弘)=fd0j；sin闵必曲右亍门八"*p"dP=2^-2|—e2'P~dpJ。(松)&由此式对S求导可得，当s>0时，S的密度函数为35、证：(3.14)式为p(x)=—35、证：(3.14)式为p(x)=—x2e2—nF\s)=f(s)=x>0o22T-n(2)令尸儈则",心,由p(y)*[厂(y)]|旷S|得,度函数为，当y>0时二希•宁+匸列：（二希•宁+匸列：（1+「）*尸心2(3)(3)1H-1Sy2）丁丿1—n22r⑴a1—/!V2・1—H22§与仍独立。记T=，则由商的密度函数公式得T的密度函数为[1rr「8roo]—；v"Pt（0=J」）g（必顾（y）dy=Joy'~^e2x.丄用“Tp2•7^Tdy22r-nU丿i—/i2/?2y

1—1—nn200°厉2打12r（1—nV2令w-y2（/?+r2）,则dy2=—,得'S+厂）—n[2丿PT（f）=1石2宁Tr»i（n+i）=lxj。"1e2durir—（n+i）12'__扣T+l）丿⑺+心如）—00<f<00当/W0时F（r）=0；当/>0时有—i-y6fr〃z°（1+x+y）36、解：U的分布函数为，F⑴=J""（兀”^dxdydz=J：dxj；'dyjA+y+2＜；22(3)(3)-r2-2.+fdx[dx=10.(1+03(1+0JoJo(l+X)2f+1(l+f)2(1+于3八对F(f)求导可得u的密度函数为，当时p(t)=0:当f>0时卩(/)=乔亍37.证：（U,V）联合分布函数为Fg)=Jj'jdxdyx2+v2<m±<p当s>0时作变换，5=x2+y2,t=-f反函数有网支入=F(l+f2)x=-t(l+Q：=讥1+心2x2y12x2y=—s(1+f2)/一2=-2(『2+1),考虑到反函数有两支，分别利用两组JI7.L+y.v+y"<w—<v,v>0—<v,v>0y'y]—-(.V+v")r"r“1——5|—e2dxdv=2[f—e2——^dt2龙"JoJ-x2^2(1+广)对F（w,v）求导，得（U,V）的联合密度为（其余为0）1丄（1=—e25u>0,0<v<<x）2龙（1+厂）1丄（1若令Pu（U）=^e2（”>°），Pv（V）=—：~~-（-00<V<00）,2龙（1+芮）则U服从指数分布，V服从柯西分布,且p（u,v）=Pu（u）xpv（y）f所以U,V两随机变量独立。38、证：当x>o时，g与〃的密度函数分别为用严吩）=而疔X(3)(3)当x<0时，化(x)=p〃(兀)=0。设t/=g+〃，V=^-o当5<0或f<0时，(U,V)ct联合密度为p(5,r)=0:当s>0,t>0时，作变换s=x+y,t=—,得兀=,(1+0y=而|丿|=,所以(1+0(1+02Xr(rjr(rXr(rjr(r2)•A-l严加+耳roioj加+耳roiojr(^)r(r2)(1+/严由此知U服从分布服从分布，且U与V相互独立。39、解：令"=§+〃，V=—,当5<0或f€(0,1)时，U,V联合密度p(s,/)=0；U+7)则x=st,y=s-st,|J|=5,当$〉0且fw(0,1)时作变换s则x=st,y=s-st,|J|=5,(x+y)p(sj)=e^xe^yIJ\=血w=sQ-1=pv(s)pv(r)由此得u服从r-分布G(l,2),V服从(0,1)分布，且U与V相互独立。40、解:(2.22)式为pgy)=]exf1pgy)=]exf12叼6Jl-广2[2(1-r2)(X—町2(7022心-a)(y-b)|(3)(3)(3)(3)设匕=§+〃,匕=§—〃；U=U、—a—SV=Vl-a+b.作变换s=x+y—d—b,t=x-y-a+b则x-a=—(s+f),t=x-y-a+b则x-a=—(s+f),的联合密度函(3)(3)1expv_1expv_111(+r)22r(5+f)(5-r)|(5-r)2T!CAU22兀0\6小-『〔2(1")_4b：4b]64cr;」jf(s,t)=p(x,y)\J•—__J..(b；+bj一2b0J+12(<rf+b；+2b0J+2s/(b；一b：)]>8(1-厂)bg设U,V的边际分布密度函数分别为九(s),九⑴，欲U与V独立，必须且只需

/GJ）=九（$）•/“），由/GJ）的表达式可知，这当且仅当-=0时成立。u,V相互独立与匕相互独立显然是等价的，所以Uj=g+qM=g_H相互独立的充要条件是6=0*2。当aL=a2=o-时，得1[5211f52九（沪吋罚叫一时討’九⑴=药亍^卩（一无帀討U〜N（0,2（l+r）（y~）,V〜（0,2（1-r）cr2）。41、解：（1）因为指数中二次项/,）宀卩的系数分别为-1-1,所以与（2.22）式（见上题解答）比较知，可设其配方后的形式为-i(x+5)2(y+02一i(x+s)(y+/)。-is-t=n比较系数得-s-t=7-s2--t2-st=32-22此方程组有唯一解s=-4』=-3,由此得"(兀刃=命exp{—[兀—4)2+*(y—3尸+(x-4)(y-3)12(1冷)1（2）与（2.22）式比较得,(3)p1(x)=(4)（12(1冷)1（2）与（2.22）式比较得,(3)p1(x)=(4)（“+呼+2吉吩沪a=4〉b=3,<7]=1,(72=2,r=p2(y)=x-f-iy+5nl2-2丿1TF21.11)一一y+3—I2“22)42、解:IB'1|=27?\B\=^-=^.

厂网|—扣一哪七―d)，TOC\o"1-5"\h\z"（忑厂网|—扣一哪七―d)，—nS）2\B=rFexp卜;》r.k（坷一山）（“•—ak）—”—（2龙）2|B|2_1_3^exp|-—(7x2^exp|-—(7x2+4y2+2z2+6xy+4xz+2yz)f.27(勺＜2)的边际密度函数为(积分时在指数中对Z配方)『oo1一丄(5.芒+3丄声+4.“)卩(忑y)=J卩(忑y,z)dz=——3-i=e22"3需令z+x+—y=t,利用匚Q厂力=石得亠…、3拆4兀OO-（＜+A+-V）"€2乂—00y)=器exp{—*(5x2+4®+3*y2)卜43、证：以f记§的密度函数，则(§,〃)的联合密度为7(^0f(y)O作变换，令$=x+y,t=X-y得/=丄(5+Z),y=—(s-t),|J|=丄。若改记s为x,t为y,则由此可得(§+〃<—〃)的联合密度为另一方面，由卷积公式得丄12丿I丄丿§+〃和§一1］的密度分别为—oog(x)=匸fa-s)f^s)ds'h(y)=匸f(y+.—oo故由§+〃与〃独立得訓扣+刃)，(扣-刃卜g⑴加刃。令m(x)=logf(x)(此处用Tf(x)>0),则有1)(1叫尹+刃+叫2(x_刃=log能)+108"(刃°]Vl'兀+y、/\]Vl'兀+y、/\x+y+mX/、r-y/、x—y；2）〔2丿＜2）12丿=（logg⑴）;(3)(3)再对y求一次导数得(3)(3)扣(*(X+y)卜扣扣_y)卜0.对任意u,V,选择X,y使u=—(x+y),v=—(x-y)则由上式得mN(u)-加"(*)=0.由u,v的任意性得mn=常数，因而/n(x)=a+bx+cx2,即有/(x)=exp(d+bx+ex).所以〃，从而§+〃，§-〃均匀止态分布。C向弧长，则刍在(0,2龙)上服从均匀分布,P{弦长>C向弧长，则刍在(0,2龙)上服从均匀分布,P{弦长>馆}=P仃/31-1——ax=—32兀匕4龙一<^1<——3513(2)假定弦垂宜于某直径，取该直径为x轴，圆心为坐标原点，记為表示弦的中点坐标，则參在[-1，1〕上服从均匀分布，P{眩长〉+(3)以圆心为原点建立直角坐标系XOY,记弦中点的坐标为〃=(〃“〃2)，则〃在圆内{(x,y):x2+y2<1}2服从均匀分布,记D={(x,y):x2+y2<-},MP{弦长〉^3}=P{i}eD}=ff丄dxdy=1上M4三种解法的随机变量虽都服从均匀分布，但由丁•随机变量不同，所以就得出了不同的结论。45、证：(1)若coef~[[JBa,则必存在某个入wA使f(a))e,IAeA丿A€A亦有必广1©0),从而AeA(1)U厂©)(1)/?eA\^eA反乙若必存在某个/iowA使coef-\BAQ)亦有f{co)e,即(、f(co)e\jBA,从而coef'[\JBa‘2eA\xe*\丿/=1/=1(3)(3)•-厂'AeA由(1),(2)式即得(和集的逆像等丁•每个集逆像的和)/\r1=U广9)。\/?€A\(2)f-[p|B2,则/(^)eQB2,即/(0)属于每个B/AeA),得\AeA/久已\coef~\BA)(对任一2丘八)，从而coeP|/~1(S2)»花A.\AeANeA••-n厂仇)二厂敢ozeA\X6j\/反之，若厂则血屈于每个/^(^JeUeA),亦有屈于每个AeAxeAA),即f(^)eQBA，从而血丘广】，AeA(4)由(3),(4)式即得(交集的逆像等丁•每个集逆像的交)/\r1=nri(BA)o\/?€A(3)^coef~\B),则f(co)eB,亦有co^f~\B),从而coef'\B),所以广(B)二广⑻。反之，若co^f~\B),贝\\co~^f-\B),亦有f^co)-eB,即从而所以f-l(B)^f~\B)o由以上证明可得广⑻=f"(B),即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。46、证：必要性。设§是随机变量，则对CeB有{e:§(q)eC}eF，又(-co,x)eB{,

二{co:§(血)vx}={e:e(-co,x)eF.充分性。记M={4:wF},现证M是H中b-域。{co:^{(o)eZ?1}=QeF,故R1eMo若CeM，由上题/-1(C)=/-1(C)得(co:g(0)wC)=G-(q:eC}eF，故CeM对余集运算封闭。设Ci，…,由上题(1)中结论得Q|Cf.eM,M关于可列并集运算封闭。(3)(3)由(1)一(3)知，M是o-域的集类。由条件知，Mo{(-oo,x):xe7?1},/.Mo5{(-co,x):xeR[}=B15其中S{A}表示由集类A产生的b-域。由此得证§是一随机变量。(3)(3)第四章数字特征与特征函数(3)(3)(3)(3)*aK1I、解：E"第而产=后

，令一-—=p，贝'J0<p<1,(1+a)(3)(3)(3)(3)且》0=p工pkk=l\k=l=P(3)(3)(3)(3)采用同样的方法并利用E^=a得00D00D2k=\右帥7+M(3)(3)(3)(3)=亠£如+亠伙1+a&=11+ag=iH1+a|_(1_p)Dg=E§2_1+a|_(1_p)Dg=E§2_(E§)2=@+2a2)_Q2=a(i+a)。1+a。&込"H-.HA若第i次试验4出现nIII2、解：设…+儿，其中若第欣试验础现，则E“=±E/=±Pi,由试验独立得诸从相互独立，由此得/=1/=1Dp=2LDp.Pi(1~Pi)°i=li=l3、解：〃服从两占分布，由第二章第29题得，P｛〃=1｝=P｛事件A出现奇数次｝=|-|(1-2^)\P｛7]=0｝=P｛事件A出现偶数次｝=*+*(1_2p)n,所以E〃=”(l-2",Dr,二|-|(l-2/7rJi+|(l-2Pr=1-1(1-2/7)2\4、解：设g表取一球的号码数。袋中球的总数为1+2+…+n=丄”5+1),所以

TOC\o"1-5"\h\zkIkP{^=k}=-}二一，R=1,2,,…”卯S+1)切+1)Eg=Y2k•k=—-——•+1)(加+1)=1(2/?+1)./?(/!+1)??(/?+1)635、解：由丁•“是分布，所以应有^P{/.i=n}=^A~=lf即AeB=l,A=e'son=Q/i=0〃！00AB00ABn又由已知=工戸・n=Q比-A又由已知=工戸・n=Q比-A=e~B=e~ao6、解：“表示摸出c个球中白球个数，摸c个球可视为不放回地摸c次。记fl,第i次摸到白球0,第欣摸到黑球’则由第二章第7题得P{”}=的-1)!—，i=1,2,…,c。所以E&=-一——,(a+b)(a+b)幺fa+ba+b7、解：设“表示抽出k张卡片的号码和，勺表示第1次抽到卡片的号码，则“=刍+%+•••+§,因为是放回抽取,所以诸勺独立。由此得,对i=1,2,…,R°〜总.11总•1n(〃+l)n+1TOC\o"1-5"\h\z硝=»•—=—»==一；=1nnj=[n2Ep=+E§2+…+E§=+1)；Eg：=XJ2--=丄•"("+罗+1)=l(n+1)©”+1),j=inn66D&=Eg；-(碼尸=如i)(2”+1)_扣+l)2=±(n2-l),641219Dp=D佥+曲+…+D氛=—k(n--l)-8、解：设“为所得k张卡片上号码之和。对1＜人＜•••＜〃＜n有P{“#+2；+•”}=£由定义得(*)1C*Tn

=Z(L+‘2+…+L)TF=供£m

l<q<-<r4<nm=l(*)每次抽卡片k张称为一组，对于每个固定的卡片m,在卡片m所在的组中，其余R-1张

卡片可以从剩下〃-1张卡片中任意抽取，所以m总共被抽到的次数(或所在的组数)为C：；,转换成对m求和就得到上式。由此得kn{n+1)k(n+1)Ep=———n2kn{n+1