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文档简介
第三 多元函数的微分 章 多函元 隐函数微分函-1第三 多元函数的微分复合函数微 如果函数u(t)及v(t)都在 zf(u,v)在对应点(u,v)章
zf[(t),(t)]多dzdzzduzuv分分
dzzdu zdv u v-2第三 设t获得增量
多元函数的微分则u(tt)(t v(tt)(t由于函数zf(uv)在点(uv)第 zzuzvu章 多 当u0,v0时,10,2函的 zzuzvu的分 1 2分法当t0时,u0,vudu
vdv -3第三 多元函数的微分dzlimzzduzdv t0
第 章zuz如vwt如vwt的 dzzduzdv 分
u v
dz称为-4第三 多元函数的微分函数的情况:zf[x,y),x,y)].如果uxyvxy)都在点xy第对章
和yzf(u,v)在对应点(u,v)多函 zf[(x,y),(x,函的的zzzuzvuvzzuzuv-5第三 多元函数的微分z zvyvy函 zzuzv函 数微 zzuzv微 法-6第三 多元函数的微分类似地再推广设u(x, v(x,
ww(x,都在点xy)具有对x和y的偏导数,f(u,vw)点(u,vw)八 zf[(x,y),(x,y),w(x,在对应点xy)元函u zzuzvzu微 u v w 微 法 法
zu
zv
z w u v w-7第三 多元函数的微分特殊地zf(ux, zf[(x,y),x,
ux令v w八 v 八
v w f多数 f多数 把复合函数zf把复合函数zf[x,yx,y看作不变而对x的偏导数
ffu 把zf(把zf(ux,中的uy看作不变而对x-8第三 多元函数的微分1设zeusinv,而uxy,vxy,求 x和y第章 章解
z
z 函 eusinvyeucosv1eu(ysinvcosv),函的 的分 分 法eusinvxeucosv1eu(xsinvcosv).-9第三 多元函数的微分2设zuvsint,而uet,vcost 求全导数dz 章 dzzduzdv 微微
v u(sint)cos 法
cost
sintcoset(costsint)cost.-10第三 多元函数的微分 z(1xy)xy z 令u1xy,vx第
则z章 z章
z u函 vuv1函数
vuvlnu
(xy)y(1xy)x
(1xy)xyln(1y
(xy)x(1xy)x
(1xy)xyln(1-11第三 多元函数的微分 设zf(x
y,x2
2z计算xy
其中 二八第 八章
uxy,vx2y
f1
f(u,v)多
2f(u,v),同理有f2,f11,f22, 函的 zfu的
f
f12xy u v分 一谈.
-12第三 多元函数的微分3)在计算高阶偏导数时,要注意复合关系.
f1,f2f 2z
[
2
]
f2章 章
2
2xy f1f1uf1v函 u v 函
x2微 f2f2uf2v微 u v
21x2法 f11x2法
2
2xy(f21x2 2xf2f11(x2
2xy) 2x3 -13第三 多元函数的微分
zxf(
y),
2z 2z
f x2,xy第 zfxffx(fyf fxfy
2zf
xf1y y数 数
x fyffx( y )yx x分
y( y 2f1xf11 f12-14
第三 多元函数的微分zfxfy 2
y x
f2 章八章
xyxf2 x元 y元
f2x
f12
2z数f
zx2f 的例6分
f
xyu(y法
的一元函数.z2xfx2
2xfx2(y)f -15第三 多元函数的微分2xfyf2z
2x f 八
y 2多
ff y
f函 f f函 -16第三 多元函数的微分 设zf(t,u,v),ulnt,vln其中f(tu,v)
t1,求d2 dzf1
2lnt
d2z元 元
1
2lnt
t 1( 1
2lnt
)2(1lnt)t t的
t 微 2ln
(f31t
2lnt
f33 2
4lnt
1 1
t t -17第三 多元函数的微分例 设wf(xyz,xyz),f具有二阶连续偏 2w第
x和xz解解多2w
yzf2 数 (f1yzf2) 1yf2yz 数函
微 f1微
xy
21xyff11 yf2yz(f21xyf22f11y(xz)f12xy2zf22yf2-18第三 多元函数的微分例 设zxf(y),x第22zx第
y22z其中f 解 z解元 元
x
y)f
fyfx 2z
( (
x2)f
f
x(x2) f分 zx1分
f
2z f f22zx
y22z
y2
fx
f-19第三 多元函数的微分 设函数zf(u,v)u,v第 dz
zdu
z 元uxy)vxy)元
zuzv的 dz dx 的
微
u x
zuzvzudxudy zvdxvdyzduzv
-20
第三 多元函数的微分无论z是自变量u、vu、dzzdzzduz章 数-21第三 多元函数的微分一阶(偏)导数.八 八
设zf(x,y,u, ug(x,y),wh(x,y,章求多
,y dzf1dxf2dyf3du函 f1dx f3(g1dx的分 (1x分 f1dxf2dyf3(g1dxf4(h1dxh2dyh3(g1dx-22第三 多元函数的微分f1dxf2dyf3(g1dxf4(h1dxh2dyh3(g1dx (f1f3g1f4h1f4h3g1元 (f2f3g2f4h2f4h3g2元 ffgfhfh微 微 z
2 ff3g2f4h2f4h32.-23第三 多元函数的微分 隐函数的微分八 1)F(x,y)八 设函数F(x,y)在点P(
,y0多的某一邻域内具有连续的偏导数,且
F(x0,y0)函元Fyx0y0函
Fxy0在点Px0y0dy数一邻 dy的微的函数yfx),它满足条件y0fx0Fx,fx分-24x2y2第三 多元函x2y2例 已知
arctany,求dy解法 令F(x,y) x
x2x2xy则章 Fx(x,y)则章
x2y2
Fy(x,y)
x2y2元 dyFxxy元
y数 视方程中y为x函数方程两边对x求微 xy 2x22(x2y2
1 y1
y
xyy-25第三 多元函数的微分例12验证方程x2y210在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x0y1的隐函数yfx),并求这函数的一阶和二阶导数在x0的值.第 F(x,y)章
y2 Fx2元 F(0,1)数
Fy2Fy(0,1)2微 依定理知方程x2y210在点(0,1)的某邻域内能微分法一确定一个单值可导、且x0y1yfx).-26第三 多元函数的微分dy
x
d2yyxy
y
xd2y1 d2-27第三 F(x,y,z)
多元函数的微分 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0 第
F(x0,y0,z0)章 则方程F(x,y,z)0在点P(x0,y0,z0章的某一邻 元导数的函数
zfxy),它满足条件
f(
,
),zzzz微-28第三 多元函数的微分例 已知e
2zez0z和z,dz 视方程exy2zez0中z x,第八的函数,方程两边分别关于xy章 yexy2 ez
z
ye 函
ez数
exy2
ez
z
xedz
ye
dx
xe
ez(ez (ez-29第三 多元函数的微分 ∵d(exy2zez)八 exyd(xy)2dzezdz八章(ez2)dzexy(xdy多dz dz dx 的 (ez (ez的微
ye
zxe x
2
2-30
第三 多元函数的微分-31第三 多元函数的微分例 设x2y2z
4z0,求2zx
F(x,y,z)x2y2z2第
2x,
2z
z
2元 2元 数数
(2z) (2(2z)2x2.(2z)3
(2z)x (2
2-32第三 多元函数的微分 视方程x2y2z24z0中的z为xy的函数方程两边对x 2
4
z
2章 对关系式2
z4
两边关于x元一次偏导数数 zz 2z数
2z微 22x 微
4 2分2 2
z1(x
z
(2z)2x2.(2z)3
-33
2第三 多元函数的微分 例 设zf(xy xyz),求x,y,z 思路:把z看成x,y的函数对x求偏导数得z章 章元 x看成z,元函数
求偏导数得 把y看成x,z的函数对z求偏导数 分 uxy v zf(u,v),-34第三 多元函数的微分zf(xyz,把z看成x,y的函数对x求偏导数得八 八
(1
z)fv(yz
函 整理得函数
fuyzfv 1fuxyfv微 把x看成z,y的函数对y求偏导数微
u(
fv(xz
y
xfuxzfv fu-35第三 多元函数的微分zf(xyz, 把y看成x,z的函数对z求偏导数八多 1f(y1)f(xyxzy多 元
y1fuxyfv fu-36第三 多元函数的微分 第以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即八 F(x,y,u,v) G(x,y,u,v)元
uu(x,vv(x,函由FG数的 J
(F,G)(u,v)
称为F,G的雅可比Jacobi)行列式-37第三 多元函数的微分定理3Fxyu,v),Gxyu,v)满足:Px0y0u0,v0的某一邻域内具有连续偏八第八 ②F(
,
,
,v0
)0,
G(
,
,
,v0
)多 ③
(F (u,v) 微Fxyuv)0,Gx
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