电磁场课件3静电场环路定律、高斯定律、电极化

电磁场欢迎学习作业P19:1-2-1、1-2-3P67:1-4、1-5梯度散度旋度

矢量场标量场亥姆霍兹定理高斯定理斯托克斯定理

梯度、散度、旋度计算公式：库仑定律库仑定律是一个实验定律，也可以说是牛顿万有引力定律在电学和磁学中的“推论”。库仑定律：真空中两个静止的点电荷之间的作用力与这两个电荷所带电量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同名电荷相斥，异名电荷相吸。库仑定律是1784—1785年间库仑通过扭秤实验总结出来的。q1q2rF电场强度定义点电荷的电场强度带电体的电场强度推导库伦定律电场强度E的定义和计算电场强度E矢量场有什么特性呢？矢量恒等式直接微分得故静电场强度的旋场为零。

1.静电场的旋度1.1.1静电场的环路定律静止点电荷的电场强度两边取旋度可以证明，上述结论亦适用于点电荷群和连续分布带电体产生的电场。表明：静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即2.静电场的环路定律

在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。

电场力作功与路径无关，静电场是保守场。由斯托克斯定理，得电场力作功：a.b.L1L2在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地求得电场强度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)已知电荷分布，求电位：点电荷群连续分布电荷体1)电位的引出以点电荷为例推导电位：根据矢量恒等式1.1.2电位函数(ElectricPotential)3)E与的微分关系

在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：？()？()根据E与的微分关系，试问静电场中的某一点可以通过先求得电位，再来计算电场强度。标量电位函数的引入，把静电场矢量问题转化为标量场问题，给求解分析问题带来了很大方便。线积分式中设P0为电位参考点，即，则P点电位为所以4)

与E的积分关系5)

电位参考点的选择原则

场中任意两点的电位差与参考点无关。

同一个物理问题，只能选取一个参考点。

选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：表达式无意义电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。一般工程上，选大地或设备外壳为电位参考零点。电位计算——叠加积分法（1）点电荷的电势：点电荷系的电势：电势叠加原理（2）连续带电体的电势：+q.PrP注：电势是标量，积分是标量叠加，电势叠加比电场叠加要简便，一般通过先求电位再来求电场。取电荷元，则任意点P处的电势：例.计算均匀带电q的圆环轴线上任意一点P的电势。Rx解：先考虑环上电荷元dq在P点产生的电势，再对环电荷进行积分求总电势。讨论：(1)当x=0，(2)当x>>R，相当于点电荷(3)若是一带电圆盘？dq=2rdr.P6)

电场（力）线与等位线（面）E线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若dl是电场线的长度元，E

矢量将与dl

方向一致，电力线微分方程在直角坐标系中：微分方程的解即为电场线E的方程。当取不同的C值时，可得到不同的等位线（面）。

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:-++++++++++++++-------------

电场线的性质：

(1)电场线起自正电荷,止于负电荷，或延伸到无穷远处。

(2)电场线不形成闭合曲线。

(3)在没有电荷处,任两条电场线不会相交,也不会中断。平行电极板的电场正负点电荷的电场在球坐标系中：代入上式，得其中，表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。图1.2.2电偶极子r1r2例.画出电偶极子（正负电子对）的等位线和电力线。解：先分别考虑正负点电荷在P点产生的电势，再对正负电荷的电势进行叠加。因，则，。由电势求电场，得电偶极子产生的电场强度图1.2.2电偶极子r1r2求出电偶极子的等位线方程和电场线方程。电偶极子的电位和电场强度分别为：1）电场线微分方程（球坐标系）：将和分量代入上式，解得Ｅ线方程为2）等位线方程（球坐标系）：电力线与等位线（面）的性质：

E线不能相交;

E线起始于正电荷，终止于负电荷;

E线愈密处，场强愈大;

E线与等位线（面）处处正交；电偶极子的等位线和电力线

相邻两等位面之间的电位差相等；

等位面愈密处，电场强度愈大。•

对上式等号两端分别求散度，利用矢量计算性质，得1.1.3静电场的高斯定律1)静电场的散度——高斯定律的微分形式静止带电体产生的电场所以δ—单位冲激函数高斯定律微分形式：说明静电场是一个有源场，电荷就是场的散度源。物理意义:2)高斯定律的积分形式散度定理静电场中任何一闭合曲面

S的电通量E，等于该曲面所包围内的电荷的代数和的0

分之一倍。SE+q例证：点电荷电场的高斯面积分高斯定理的应用：①当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。②当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域的电荷。高斯定理的意义：2.正负电荷就是场源电场线穿出电场线穿入无净电场线穿出①定理中E是所取的封闭面S（高斯面）上的场强，它是由S面内的电荷产生的场强。②

E只决定于S面包围的电荷，S面外的电荷对E无贡献。说明：1.用电通量方程表示电场与场源电荷之间的关系。3)利用高斯定理求电场强度当场源电荷分布具有某种对称性时，应用高斯定理，选取适当的高斯面，使面积分中的E能以标量形式提出来，即可求出场强。均匀带电球壳无限大均匀带电平面均匀带电细棒S

常见的电量分布的对称性有：无限长例.

用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱棒的电场分布,已知线电荷密度。解：取以棒为轴，r为半径，高为h的圆筒形封闭面为高斯面S(高斯柱面)。通过该面的电通量：00hr该电场分布具有轴对称性。此闭合面包含的电荷总量:1.2.1导体和电介质1物体静电表现•

导体:内部含有大量的自由电子，在电场作用下可以定向移动。•

电介质：电子被原子核所束缚而不能自由移动，形成束缚电荷。2静电场中导体性质（静电平衡）3.导体表面电场强度垂直于导体切面；2.导体是等位体，导体表面为等位面；1.导体内部电场强度E为零，静电平衡；Eo

导体内部的场强:=0导体的静电平衡状态——导体内部和表面都没有自由电荷作宏观定向运动的状态。4.电荷分布在导体的外表面。电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列的电偶极子，并在电介质内部和表面形成极化电荷。式中，为体积元内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。无极性分子有极性分子电介质的极化用极化强度P

表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度1.2.2静电场中的电介质实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中，电极化强度P与电场强度E

成正比，即均匀：媒质参数不随空间位置不同而变化。各向同性：媒质的特性不随空间方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的强度而变化；—电介质的极化率—相对介电常数极化强度的计算极化电荷和自由电荷一样，都会产生电场。P+q-q采用电位梯度法求电场，先考虑一个电偶极子产生的电位，再对所有极化电荷求积分获得总电位。极化强度P是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：体积V内电偶极矩产生的电位电介质极化电荷产生的电位和电场式中而矢量恒等式：体积V内电偶极矩产生的电位散度定理令为极化电荷体密度为极化电荷面密度有电介质和自由电荷存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为电介质极化后，由极化面电荷和极化体电荷共同作用产生电位。极化电荷体密度极化电荷面密度

根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和为零。1.2.3电介质中的静电场电介质中的高斯定理应写为：自由电荷极化电荷真空中的高斯定理为：当有电介质存在时，电场可看成是自由电荷和极化电荷共同在真空中引起的。+SEqqP自由电荷：极化电荷：代入整理，得引入：定义D

为电通量密度，或电位移矢量，则高斯定律一般形式为电介质中的高斯定律应用散度定理因此，微分式有这是高斯定律的微分形式，它表明静电场中任一点上电通量密度(电位移矢量)D的散度等于该点的自由电荷体密度。高斯定理积分式关于介质中的高斯定理的辨析：1.介质中的高斯定理，方程右边只含自由电荷电量q的代数和，不包含极化电荷的电量。2.高斯定理左边的电位移矢量是高斯面内自由电荷和极化电荷产生的矢量和，而不仅仅只是自由电荷、极化电荷单独产生的电位移矢量。上式为电介质的构成方程，表明电介质中电通量密度（电位移矢量）与电场强度之间的关系，其中ε

为介电常数。

在各向同性介质中通常，先由高斯定理求出电通量密度D，再由构成方程求得电场强度E。关于电位移矢量说明：1.电位移矢量没有明确的物理意义，只是一个中间代换量。2.电位移矢量也可以用电位移矢量力线加以形象表述，但不一定与电力线方向一致。例：平板电容器中有一块介质,画出D、E

和P线分布。D、E与P

三者之间的关系D线E线P线D

线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E

线由正电荷出发，终止于负电荷；P

线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。例：已知导体球(R1,Q),均匀电介质同心球壳(r,

R2,R