大学物理第二章气体动理论

第二章气体分子运动论

(Kinetictheoryofgases)§2.1理想气体的压强与温度§2.2温度的微观意义§2.3能量均分定理§2.4麦克斯韦速率分布律§2.5麦克斯韦速率分布律的实验验证（自学）§2.6玻耳兹曼分布律（自学）§2.7实际气体等温线（自学）§2.8范德瓦尔斯方程（自学）§2.9气体分子的平均自由程§2.10输运过程（自学）§2.1理想气体的压强与温度本节是典型的微观研究方法。

一般气体分子热运动的概念：分子的密度31019

个分子/cm3=3千亿个亿；分子之间有一定的间隙，有一定的作用力；分子热运动的平均速度约v=500m/s；

分子的平均碰撞次数约z=1010

次/秒。一.微观模型二．理想气体压强公式的推导三．理想气体的温度和分子平均平动动能1.对单个分子的力学性质的假设一.微观模型分子当作质点，不占体积；（因为分子的线度<<分子间的平均距离）分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力（忽略重力）弹性碰撞（动能不变）服从牛顿力学分子数目太多，无法解那么多的联立方程。即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万变，必须用统计的方法来研究。(理想气体的微观假设)定义:某一事件i发生的概率为Pi

Ni----事件i发生的次数

N----各种事件发生的总次数统计规律有以下几个特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).（3）总是伴随着涨落.NNPiNilim¥®=例:扔硬币2.对分子集体的统计假设什么是统计规律性大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。对大量分子组成的气体系统的统计假设：VNdVdNn==dV----体积元（宏观小，微观大）（1）分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；（2）平衡态时分子按位置的分布是均匀的，即分子数密度到处一样，不受重力影响；（3）平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的Axyz123lllimvixi分子与器壁碰撞一次获得的动量增量

2mvmvmvixixix=i分子一次碰撞给予器壁的冲量2mvix每1秒钟给予器壁的冲量等于i分子给器壁的冲力ixixixv21=2mvmv21ll碰撞一次所需时间:vix21lmvix二、压强公式的推导123llli分子给予器壁的冲力:N个分子给予器壁的压强=FSPFSv2=nmx（n：分子数密度）mvix21lmvixFΣ21=lmvixΣ221=3=lllmvixΣ213NNi=1N2lllN个分子的平均冲力：v=x222++vvvyz2可证明：x2vv=32由统计假设：222vvv==xyzv=12Pmn3=23n()2mv2压强公式：说明：1.压力公式是统计规律，不是经典力学规律。压强公式将宏观量P

和分子热运动平动动能（微观量）的统计平均值联系起来，从而说明了压强的微观本质。2.对于其它形状的容器，经过一定的推算，也能得出同一结论。3.分子热运动平均平动动能M=0mNmolmolPTR=VMM,=MmN,VTR0N()N玻尔兹曼恒量

kPTRV==MMmolk0==RN23×11.3810J.KRTV0NNmm=Pn=kTVTR0=N()N§2.2温度的微观意义比较这两式得：t=32kTT理想气体温标或热力学温标v2=33kTm=RTMmol=1.73RTMmolmv122=32kT方均根速率:温度的统计意义：温度（宏观量）是分子热运动平均平动动能大小的量度。温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规则运动的剧烈程度。t=32kT例.在0oC时，H2分子

smv/18361002.227331.8332==-O2分子

smv/461103227331.8332==-确定一质点在空间的位置需要三个坐标：M(x,y,z)确定一刚性杆子在空间位置需要六个坐标：约束条件：6个坐标中只有5个是独立的。12222111MM())(xxyyzz,,,,,2MM1l自由度:确定一物体在空间位置所需之独立坐标数。

1.质点及刚性杆子的自由度一、自由度y111=xzzxy()))((222222++l研究气体的能量时，气体分子不能再看成质点，微观模型要修改，因为分子有平动动能，还有转动动能，振动动能。§2.3能量均分定理GαβγxyzoPθG：x,y,zGP:αβγ,,绕GP转角：θ约束条件：αγβcoscoscos2221=++刚体自由度数6{平动自由度3个转动自由度3个

2.

刚体的自由度独立坐标数——6个飞机：自由度为3（经度、纬度、高度）火车：被限制在一曲线上运动，自由度为1；（经度、纬度）轮船：被限制在一曲面上运动，自由度为2，自由度转动平动双原子分子523三原子多原子分子633单原子分子3033.

刚性分子的自由度iv2==zxyvv22kT1mvyzmvmv22211=x2kTkT22+++111222+xmvmvzy21mv===222221112kT能量按自由度均分原理：处于平衡态的气体kT21分子每一自由度所占有的能量都为

二、能量按自由度均分原理分子热运动的平均动能1mol理想气体的内能：==kTEiiNmol02RT2M

kg理想气体的内能：=MimolM2ERTε=2kTi

三、理想气体的内能理想气体内能：系统中所有分子热运动动能之总和。（不包括分子间相互作用的能量）可以证明，当讨论：1.内能是气体状态的单值函数理想气体：E=E(T)2.在实际上当TT=0E,0!量子力学=0时仍有零点能存在。§2.4麦克斯韦速率分布律单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变，不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就是分子按速率的分布。设总分子数N，速率区间v~v+dv，该区间内分子数dNv则dNvN=f(v)dv速率分布函数速率v附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。显然f(v)dv=1

0归一化条件钍方向选择φωωL速率选择器屏金属蒸汽vt=Lvφ12ωt=,L1vωφ=tt=令得：2通过改变ω可获得不同速率区间的分子。只有满足此条件的分子才能同时通过两缝。二、分子速率分布的测定——斯特恩实验分子实速验率数分据布的100~200速率区间百分数200~300300~400400~500500~600600~700700~800800~900900100＜＞20.6%1.4%8.1%16.5%21.4%15.1%9.2%4.8%2.0%0.9%(m/s)

1859年麦克斯韦从理论上得到速率分布定律。1920年斯特恩从实验上证实了速率分布定律。速率分布函数：dN=N1dv(v)vfo24mv=vπ()mπ32e2kT22kTNfv(v)=limΔΔΔ0NvΔΔvNN+vv的分子数占总分子数的百分比：ΔΔvvv+的分子数N：三、麦克斯韦分子速率分布定律图中小矩形面积f(v)=dvNdN(v)fvdvv归一化条件：物理意义：所有速率区间内分子数百分比之和应等于1。f(v)dv=dNdvdNN=dN.v的表示vvdv+速率区间内的分子数占总分子数的百分比。在vf(v)0m大m小四、三种速率

1.

平均速率v1NNNΣ1vv2=2=ΔΔΔ+++vvΔ...NNNNNii12表示vv的分子总数。vf(v)dvv12Nvf(v)0T小T大当ΔNi0时

2.方均根速率=23RTMmolvvNΣv=ΔNii8RTπMmolvf(v)dv=08=vf(v)dv

v22=80=3RTMmolv=vdNN=dNv()Ndvdv得：vvvvp2f(v)o由ef(v)=0evvp=2RTMmolvvv2＞＞p3.最可几速率f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2温度越高，速率大的分子数越多麦克斯韦速率分布函数f(v)=4

m2kT3/2v2e-mv/2kT2最概然速率vp不要问速率刚好等于某一值的分子数多少，没有意义。vp=2RTMmol例1.20个质点的速率如下：2个具有速率v0,3个具有速率2v0,5个具有速率3v0,4个具有速率4v0,3个具有速率5v0,2个具有速率6v0,1个具有速率7v0。试计算:(1)平均速率；(2)方均根速率；(3)最概然速率。NviΣ=iNv=v0++++++2v012v07v06v015v016v015v20=3.99v0=2v02+3(2v0)2+5(3v0)2+4(4v0)2+3(5v0)2+2(6v0)2+(7v0)220iv2NΣ=iNv2=vp3v0解：MH2=2×10-3kg/mol

MHg=0.20

kg/mol

TR3Mv2==v2=o23×

8.31×300

32×10-3

484m/s=v2=Hg3×

8.31×300

0.20193m/sMo2=32×10-3kg/mol

解：(1)=6.21×10-21JEk23==×1.38×10-23×300

kT23(2)平均平动动能=v2=H23×

8.31×300

2×10-3

1934m/s

例2.计算在300K温度下，氢、氧和水银蒸汽分子的方均根速率和平均平动动能。例3.设N个粒子的系统的速率分布函数为：>0，NVvkd()=vdv>k为常量()Nd=v0>Vv(1)画出分布函数图；(2)用N和V定出常量K；(3)用V表示出算术平均速率和方均根速率。=ò0ò0VNdvNkvdk=NvkNdvvdVvO==13v2ò0ò0VNdNkvdv221V==ò0ò0VNdNkvdvv2V(3)k=Ndvvd(2)解：(1)分布函数Nf(v)如图k=NV∴dNvN=f(v)dv§2.9气体分子的平均自由程气体分子自由程线度~10-8m一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程叫平均自由程一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率Z单位时间内分子经历的平均距离v，平均碰撞Z次

Zv=凡是分子中心位于管内的分子（例如B、C分子）都将与A分子进行碰撞。

一秒钟内分子将与分子中心位于管内的所有分子进行碰撞，所以平均碰撞次数为：（n：分子数密度）π2z=vnd以A分子运动路径（折线）为轴线，作一半径为d，总长度为v

的圆管。D2dvdAA平均碰撞频率ZBCEFG考虑到其它分子都在运动，经过精确计算得到分子平均碰撞次数为：nd2z=π2vPn=kTdλπkTnP2=π2=122d22nnddz=v==vvππ122λ平均自由程对空气分子

d~3.510-10mnd2z=π2v分子平均碰撞次数标准状态下

Z~6.5109，