导热数值解法

4.1导热问题数值求解的基本思想4.1.1基本思想4.1.2导热问题数值求解的基本步骤返回数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场分布4.1.1基本思想返回2xy4.1.2导热问题数值求解的基本步骤1.数学描述二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题)(

)(

0)(

00ffftthytWytthytytthxtHxttx-=¶¶-=-=¶¶-=-=¶¶-===lll网格划分： 用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域节点:网格线的交点，分内节点和外节点步长：相邻两节点间距离，在一个方向步长也可不均匀均分网格:2.区域离散化3.建立节点物理量的代数方程 关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立离散方程是数值求解过程中的重要环节，是本章的重点内容。返回4.设立温度场的迭代初值 节点代数方程组的求解一般采用迭代法，需要对被求解的温度场预先假定一个初始温度分布，称为初场5.求解代数方程组6.解的分析4.2内节点离散方程的建立方法4.2.1Taylor级数展开法包括Taylor级数展开法和热平衡法4.2.2热平衡法（热力学第一定律）返回两式相加得:4.2.1Taylor级数展开法对节点(m+1,n)和节点(m-1,n)分别写出t对节点(m,n)的Taylor级数展开:推导温度在x方向二阶导数的代数表达式略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:同理,得温度在y方向二阶导数的中心差分表达式:将差分表达式代入控制方程如果得:则有:在均分网格中，一、二阶导数常见的差分表达式如下表所示返回4.2.2热平衡法（热力学第一定律）news12(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xy

(m,n+1)稳态、无内热源时,从所有方向流入控制体的总热流量＝0控制容积(元体):节点代表的区域,由相邻两节点连线的中垂线构成二维常导热系数无内热源的稳态导热问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：从元体西界面导入的热量为:从元体东界面导入的热量为:从元体南界面导入的热量为:从元体北界面导入的热量为:将各表达式代入对元体(m,n)能量守恒方程得：整理得:采用热平衡法建立节点的离散方程，物理概念清晰，推导过程简单，并且对于建立边界节点的离散方程也能适用，需要掌握。返回基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。news(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xy

(m,n+1)4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解4.3.1边界节点离散方程的建立4.3.2处理不规则区域的阶梯型逼近法（不要求）4.3.3求解代数方程的迭代法返回边界节点的离散方程的形式与边界条件的类型有关一、第一类边界条件情形4.3.1边界节点离散方程的建立这种情形边界节点不需要离散方程。此时边界温度值未知，需建立边界节点温度的离散方程。设边界热流密度为qw，并且导热体内有内热源，采用元体能量平衡法来建立边界节点温度的离散方程。二、第二类边界条件情形如1、平直边界上的节点边界节点(m,n)代表的区域为半个普通大小元体。对该半个元体应用能量平衡，则有：xyqw2、边界上的外部角点边界节点D代表的区域为1/4个普通元体大小的面积。如，则有：xyqw3、边界上的内部角点边界节点F代表的区域为3/4个普通元体大小的面积。对该外部节点元体应用能量平衡如，则有：xyqw三、第三类边界条件情形将该热流密度的表达式代入第二类边界条件中，可得第三类边界条件下边界节点的离散方程。平直边界节点：内部角点：外部角点：返回例题讲解请列出下图所示直径为d的圆截面直肋的一维稳态、无内热源、常物性导热问题内节点2的离散方程式（导热系数为λ，肋高方向的步长为Δx）。

对节点2，列热平衡式：即：

22写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，n个代数方程式：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法4.3.3求解代数方程的迭代法23直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解：矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值下面以简单的三元方程组为例说明该方法的步骤：（1）将方程组改写成关于t1,t2,t3的显式形式，即迭代方程。1.高斯-赛德尔迭代法（2）假设一组解（即迭代初场），记为t1(0)、t2(0)、t3(0),由迭代公式逐一计算出改进值t1(1)、t2(1)、t3(1)。每次计算均用t的最新值代入。（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时称为已经达到迭代收敛，迭代计算终止。2.迭代过程是否已经收敛的判据判断迭代是否已经收敛的判据常用的有三种：允许的相对偏差ε之值一般在10-3—10-6之间，视具体情况而定3.迭代过程能否收敛的判据对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值之和，此时用迭代法求解代数方程一定收敛。该条件在数学上称为主对角线占优。返回4.4非稳态导热问题的数值解法4.4.1时间-空间区域的离散化相比稳态问题，在非稳态导热微分方程中多了非稳态项，因此需要学习非稳态项的离散方法。扩散项的离散方法与前者相同。4.4.2非稳态导热问题离散的显式格式4.4.3非稳态导热问题离散的隐式格式4.4.4边界节点的离散方程4.4.5非稳态导热显式格式离散方程组及稳定性分析返回以一维非稳态导热问题为例，介绍非稳态导热问题的离散化。在空间-时间坐标系中对所研究的空间区域和时间区域进行离散时间坐标

分成I-1等份，

为时间步长空间网格线与时间网格线的交点（n,i）代表了时间-空间区域中的一个节点位置tn(i)4.4.1时间-空间区域的离散化空间坐标x分成

N-1等份，

x为空间步长将温度t在节点（n,i+1）处对节点（n,i）处作泰勒展开，可得温度t在节点（n,i）处的非稳态项一阶导数的三种差分格式。向前差分向后差分中心差分上述三种非稳态项差分格式都有应用，本书主要以向前差分格式为主返回直角坐标系一维非稳态常物性无内热源第三类边界条件导热数学描述为：上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解方程组。这种离散方程的计算格式称为显式差分格式显式格式的优点是计算量小，但时间和空间步长不能太大，存在求解不稳定问题。4.4.2非稳态导热问题离散的显式格式非稳态项取向前差分格式进行离散，扩散项在i时刻采用中心差分格式，得：控制方程返回非稳态项取向前差分格式进行离散，项在i+1时刻采用中心差分格式，得：上述离散方程中在i时层各节点温度已知时，方程中有三个i+1时层上的位置温度，因此需联立求解方程组。这种离散方程的计算格式称为隐式差分格式隐式格式的缺点是计算工作量大，但它对时间和空间步长无限制，不存在求解不稳定问题4.4.3非稳态导热问题离散的隐式格式返回4.4.4边界节点的离散方程同稳态问题类似，非稳态导热问题的离散也可采用元体能量平衡法。下面以边界节点的离散方程为例介绍。一无限大平板的右边界部分为第三类边界条件，对边界节点N建立其离散方程。边界节点N代表宽度为x/2的元体，对该元体应用能量平衡进行分析整理得：引入特征数：由于上述特征数的特征尺度为网格宽度，故称网格傅里叶数和网格毕渥数边界节点的离散方程可以写成：内节点的显式离散方程可以写成：返回4.4.5非稳态导热显式格式离散方程组及稳定性分析无限大平板一维非稳态常物性无内热源第三类边界条件导热问题其数学描述为：右侧边界节点：左侧边界节点：初始条件：控制方程：数学描述的显式离散方程