【选修】5.3.1函数的单调性(1)(第二版)

5.3.1

函数的单调性(1)【选择性必修第二册】2学习目标1.理解可导函数的单调性与其导数的关系.重点：利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间.难点：证明不等式及逆向求参数问题.核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理.2.能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间.3.能够利用函数的单调性解决有关问题,如证明不等式、求参数范围等.4.体会求导法则判断函数的单调性的优越性.3复习回顾一、基本初等函数求导公式[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)二、函数积、商的求导法则[cf(x)]′=cf′(x)[f(x)g(x)]′=f′(x)

g(x)+f(x)

g′(x)yx′

=yu′·ux′三、复合函数导数的求法4

(1)从起跳到最高点,运动员重心处于上升状态,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)单调递增.相应地,v(t)=h′(t)>0.一、函数的单调性与导数的关系xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8图5.3-15

我们看到,函数h(t)的单调性与h′(t)的正负有内在联系.那么,我们能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？(1)当t∈(0,a)时,h′(t)>0,函数图象是“上升”的,函数h(t)在(0,a)上单调递增;这种情况是否具有一般性呢？对于高台跳水问题,可以发现：(2)当t∈(a,b)时,h′(t)<0,函数图象是“下降”的,函数h(t)在(a,b)上单调递减.(2)从最高点到入水,运动员重心处于下降状态,离水面的高度h随时间t的增加而减小,即h(t)单调递减.相应地,v(t)=h′(t)<0.xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8图5.3-16观察下面一些函数的图象(图5.3-2),探讨函数的单调性与导数的正负的关系.xyOy=xxyOy=x2xyOy=x3xyO

(1)(2)(3)(4)y′=1>0导数为正单调递增y′=2x导数不定有增有减y′=3x2≥0导数非负单调递增y′=-

<0导数为负在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减7在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;一般地,函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)上,如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.如图5.3-3,导数f′(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,可以发现：在x=x0处,f′(x0)>0,切线是“左下右上”的上升式,函数f(x)的图象也是上升的,函数f(x)在x=x0附近单调递增;在x=x1处,f′(x1)<0,切线是“左上右下”的下降式,函数f(x)的图象也是下降的,函数f(x)在x=x1附近单调递减.xyOf(x)=x2图5.3-3(x0,f(x0))(x1,f(x1))(1)在某个区间内,f

′(x)>0(f

′(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件,而不是必要条件.例如f(x)=x3在定义域(-∞,∞)上单调递增,但f

′(x)=3x2≥0.8(2)函数f(x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f

′(x)≥0(f

′(x)≤0)在(a,b)内恒成立,且f

′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,在区间的个别点处有f

′(x)=0并不影响函数f(x)在该区间的单调性.

在某个区间内恒有f

′(x)=0,那么函数f(x)为常数函数;

如果在某个区间上恒有f

′(x)=0,那么函数f(x)有什么特性？

但是如果在某个区间内仅有有限个点所对应的函数值为0,则不能判定f(x)为常数函数.9解:(1)因为f(x)=

x3+3x,所以f′(x)=cosx-1<0.例1

利用导数判断下列函数的单调性：所以,函数f(x)=sinx-x在(0,π)上单调递减,如图5.3-4(2)所示.(2)因为f(x)=sinx-x,x∈(0,π),所以所以,函数f(x)=x3+3x在R上单调递增,如图5.3-4(1)所示.f′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.

xyO图5.3-4(1)f(x)=x3+3xxyO图5.3-4(2)f(x)=sinx-xπ-π102.注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义域的间断点.利用导数解决函数单调性问题需要注意：1.定义域优先原则：一定要在定义域范围内,通过讨论导数符号来判断函数的单调性(单调区间).例1

利用导数判断下列函数的单调性：

注:不能写成函数在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递增.111.

判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.解：(1)

f′(x)=2x-2,当f′(x)>0,即x>1时,函数单调递增;当f′(x)<0,即x<1时,函数单调递减.(2)f′(x)=ex-1,所以函数f(x)=ex-x的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).所以函数f(x)=x2-2x+4的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(-∞,1).当f′(x)>0,即x>0时,函数单调递增;当f′(x)<0,即x<0时,函数单调递减.xyOf(x)=x2-2x+41xyOf(x)=ex-x12解：当1<x<4时,f

′(x)>0,可知f(x)在区间(1,4)上单调递增;例2已知导函数f

′(x)的下列信息：综上,函数f(x)图象的大致形状如图5.3-5所示.当x=1,或x=4时,f

′(x)=0,这两点比较特殊,我们称它们为“临界点”.当x<1,或x>4时,f

′(x)<0,可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)上单调递减;当1<x<4时,f

′(x)>0;当x<1,或x>4时,f

′(x)<0;当x=1,或x=4时,f

′(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.xyO14图5.3-513

请同学们回顾一下函数单调性的定义,并思考在某个区间上单调的函数f(x)的平均变化率的几何意义与f′(x)的正负的关系.设函数的定义域为I,区间D∈I,如果x1,x2∈D,

(1)都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D上是增函数；(2)都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D上是减函数.当x1＜x2时:

若f(x)在D上是增函数或减函数,则f(x)在D上具有严格的单调性,称D为单调区间.若f(x)在(a,b)内单调递增,则直线AB的斜率为正,f

′(x)>0;若f(x)在(a,b)内单调递减,则直线AB的斜率为负,f

′(x)<0.142.

利用导数讨论二次函数f(x)=ax2+bx+c的单调区间.解:f′(x)=2ax+b.153.函数y=f(x)的图象如图所示,试画出函数f′(x)图象的大致形状.解：在(0,a)和(b,c)上函数不增不减,所以f′(x)=0;在(a,b)上函数单调递减,且减小得越来越快,所以f

′(x)<0,且f′(x)减小的速度也快.求函数的单调区间的步骤：(1)求导数;(2)判断f

′(x)的符号(含有参数时需分类讨论);(3)得出结论.yy=f(x)xOabcy=f′(x)xOabcy函数的图象看升降导函数的图象看正负16在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;一般地,函数f(x)的单调性与导函数f′(x)