高考模拟考试数学试题

高考模拟考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为A．B．C．D．3．已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是A．若，则必有B．若，则必有C．若，则必有D．若，则必有4．使得（）的展开式中含有常数项的最小的为A．B． C． D．5．记为数列的前项和．“任意正整数，均有”是“为递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（第7题图）6．已知实数，满足不等式组，则的最大值为（第7题图）A.0B.2C.4D.87．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A．种B．种C．种D．种8．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，若，则与的面积之比A．B．C．D．9．已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是A.B.C.D.10．已知均为非负实数，且，则的取值范围为A.B．C．D．二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．双曲线的离心率是，渐近线方程为．（第14题图）12．已知直线．若直线与直线平行，则的值为；动直线被圆截得弦长的最小值为．（第14题图）13．已知随机变量的分布列如下表：若，则；．14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为，该三棱锥的外接球体积为．15．已知数列与均为等差数列（），且，则．（第17题图）16．已知实数满足：，.则的最小值为．（第17题图）17．已知棱长为的正方体中，为侧面中心，在棱上运动，正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，若满足，，且是的中点，是直线上的动点，求的最小值．19．（本题满分15分）如图，四边形为梯形，点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得．（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）求直线与面所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数，其中为实常数．（Ｉ）若是的极大值点，求的极小值；（Ⅱ）若不等式对任意，恒成立，求的最小值．21．（本题满分15分）如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当恰好为线段的中点时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的最小值．22.（本题满分15分）三个数列，满足，，，，．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）是否存在集合，使得对任意成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：．宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D2．C3．C4．B5．A6．C7．C8．D9．D10．A9．关于直线对称，且在上为增函数．所以．因为，．所以．10．简解：，则试题等价于，满足，求的取值范围．设点，，，点可视为长方体的一个三角截面上的一个点，则，于是问题可以转化为的取值范围．显然，的最小值为到平面的距离，可以利用等积法计算．因为，于是可以得到．所以，即．另解：因为，所以令，则．．当且，即或时取等号；另一方面，当时取等号．所以．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．，12．，13．；14．，15．16．17．16．简解：不妨设是中的最小者，即，由题设知，且，.于是是一元二次方程的两实根，，，,所以.又当,时，满足题意.故中最小者的最大值为.因为，所以为全小于0或一负二正.若为全小于0，则由（1）知，中的最小者不大于，这与矛盾.2）若为一负二正，设，则当,时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故的最小值为6.17．答：．构成的图形，如图所示．记中点为，所求图形为直角梯形、、．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）解答：（Ⅰ）……4分由于，所以增区间为．……6分（Ⅱ）由得，所以.…………8分作关于的对称点,连，……12分……14分19．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）方法一：连交于，由条件易算∴··········2分又∴··········4分从而所以··········6分∴··········7分（第1（第19题图）方法二：由，得,故，又，所以，……2分所以，……3分可得，计算得,从而,……5分平面，所以.……7分（Ⅱ）方法一：设直线与面所成角为，则，其中为到的距离.…9分∵∴到的距离即到的距离.由．…12分所以∴.……………15分方法二：由，如图建系，则设平面的法向量为，由，可取，…………12分．.………15分20．（本题满分15分）解答：（Ｉ），因为．由，得，所以,…………3分此时．则．所以在上为减函数，在上为增函数．…………5分所以为极小值点，极小值．.…………6分（Ⅱ）不等式即为．所以．……………8分ⅰ）若，则，．当时取等号；……………10分ⅱ）若，则，．由（Ｉ）可知在上为减函数．所以当时，．……13分因为．所以于是．……15分21．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）由题意设，…2分（第21题图）即椭圆（第21题图）设由作差得，又∵,即，∴斜率．…………4分由．消得，．则．解得，于是椭圆的方程为：．…6分（Ⅱ）设直线,由消得，．于是．………………8分∵．…13分同理可得．∴，,当时取等号．综上，的最小值为．…15分22.（本题满分15分）解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当时，．ⅰ）当时，由，，得，显然成立；ⅱ）假设时命题成立，即．则时，．于是．因为．所以，这就是说时命题成立．由ⅰ）ⅱ）可知，当时，．…3