年高考第一轮复习数学.离散型随机变量的分布列

ikik※第十二章

概率与统计●网络体系览●考点目标位了解离散型机变量的义，会求某些简单的离散型随机变量的分布.了解离散型机变量的望值、方的意义，会根据离散型随机变量的布列求出望值、方.3.会用随机抽样、统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中取样本会用样本频分布估计体分布了解正态分的意义及要性质了解线性回的方法和单应用实习作业以样方法为容，培养生解决实际问题的能力●复习方略南在复习中，注意理解量的多样，深化函数的思想方法在实际问题的应用，分注意一概念的实际意，理解概中处理问的基本思想方法，掌握所学概率知的实际应1.把握基本题型应用本章知要解决的型主要分大类：一类是应用随机变量的概念特别是离型随机变分布列以及期与方差的础知识讨论机变量的取值范围取相应值的概及期望方差的解计算；另一类主要如何抽取本及如何样本去估计总体作为本章识的一个综合应用教材以实习作业为一节给出应给予足的重视.2.强化双基训练主要是培养实的基础识，迅捷确的运算能力，严谨的判断推理能.3.强化方法选择特别在教学要掌握思过程，引学生发现解决问题的方法，达到举反三的目，还要进题后反思，使生在大脑忆中构建好的数学认知结构，形成条理化、序化、网化的有机系.4.培养应用意识要挖掘知识间的内在系从式结构数特征图形图表的置特点等方进行联想试验，找到知识的结点再有是将实际题转化为数学问题行训练，以培养利用所学知识解决际问题的能力离散型随机变量的分列●知识梳理1.随机变量的概念如果随机试的结果可用一个变表示，那么这样的变量叫做随机变，它常用腊字母、等表示离散型随机量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定序一一列，那么这的随机变量叫做离型随机变.若是机变量，=ab其中a、是常数则也是随机变量.2.离散型随机变量分布列（1概率布（分布列）设离散随机变量可能取的值，，…x，…ξ取每一个值1i（i，2…）的率P（=）=p，则称表ii

iξ

…

…

p

p

…

p

i

…为随机变量的概率分，简称的分布列.（2项分如果在一试验中某事件发生的概是那么在n次独立重试验中这事件恰好发生次的概是P（）=Cp

qkkkkkk其中k，，…，n，－p于是到随机变量的概率分布下：

0

1

…

…

n

q

p

q

…

q

…

q我们称这样随机变量服从二项分，记作～（，），其中n、p为参数并记C（；n，p）

qb特别提示二项分布是种常用的散型随机量的分布.●点击双基1.抛掷两颗骰子，得点数之和为ξ那么表示的机试验结是一颗是点一颗是1点两颗都是点两颗都是点一颗是点一颗是点两颗都是点解析：对AB中表示的随试验的结，随机变均取值4，而D是=4代的所有验结果掌握随机变的取值与刻画的随试验的结果的对应关系是理解随机量概念的键答案：D2.下列表中能成为机变量的分布的是A.

－10B.

1

2

3－C.

－1

0

1D.

13解析：、D不满分布列的基本性质②，B不满足分布列的基本性质①答案：C3.已知随机变量的布列为（ξ=）=

，=1，2，…则（2<≤4）等于A.

B.

C.

D.

解析：Pξ≤4）（ξ）（ξ=4）=

316

.答案：4.某批数量较大的品的次品率为10%，中任意地续取出5件其中次品数的分布为解析：本题商品数量大，故从任意抽取件不放回）以看作是立重复试验=5，因而次品数服从二分布，即～（5）3312231k3312231kξ分布列如：

01×

2×

3×

4×

55.设随机变量～（2，p），～B（4，p），若（≥）

，则P（≥1）解析：P≥）－Pξ）－Cp·（－）2

，∴p

121665，（≥）（η=0）－C（）0（）－.38181答案：

●典例剖析【例1在件品中有2件次品连续抽次，每抽1件，求：不放回抽样，抽到次数ξ的分布列；放回抽样时抽到次品η的分布列剖析：随机量ξ可以取0，，，η也以取，1，2，，放回抽和不放回抽对随机变的取值和相应概率都产了变化，具体问题具体分析.解：（1）Pξ=0）=

C8C10

7CC7，（ξ=1）=，15C10（=2）=

C8C

C310

22

115

，所以的布列为

02（2Pη=k·（=0，1，），所以η分布列为

008

18

1·

2·

338评述：放回样时，抽的次品数独立重复试验事件，即～（3）特别提示求离散型随变量分布要注意两问题：一是求出随机变量所有可能值；二是出取每一值时的概率【例2一袋中装只，编号为1，2，，，5，在中同时取3只，以表示出的三只球中的最小号，写出随变量ξ的分布列剖析：因为编号为，2，3，，5的中，同时只所以小号可能是或或3即可以取1，2，3.解：随机变ξ的可能取值，，当=1时即取出的三球中最小码为，则其他只球只能在编号为25的四只中任取两只，故Pξ）

CC

2435

6；10533当=2时即取出的三球中最小码为2，则其两只球只能在编号为3，的只球中任取两只，故有（ξ=2）=

CC

35

310

；当=3时取出的只球中最号码为其两只球只能在编号为4的只球中取两只，故有P（=3）=

CC

25

110

.因此，的分布如下表所：

13评述：求随变量的分列，重要基础是概率的计算，如古典概率、斥事件的率、相互立事件同时发的概率、次立重复试有k次发的概率等.本题中本事件总数，即，取每一5个球的概率属古典概（等可能事件的概率）.【例3（2004年春安徽）已知盒中有10个灯泡，其中个正品个品需要中取出2个正品，每次出个取出后不放回，直到取个品为止设为取出的次，ξ的分布列及剖析：每次件品，∴至少需次，ξ最小为2，有2件次，当前次取得都是次时，，所ξ以取2，，4.解：P=2）=

728×=；945（=3）=

28714××+××=；81045（=4）=1－

－=15∴的布列如下

24=2×Pξ）×P（）+4×Pξ）

229

.评述：本题查离散型机变量的布列和数学期望的概念，考查运用率知识解实际问题能力.思考讨论1.

有哪些况?2.本题若改为取出放回，如何求解●闯关训练夯实基础1.袋中有大小相同5个，分别标有，2，3，5五个号码现在在有回抽取的件下依次取出两个球设两个球码之和为机变量，则所有可能取值的个数是解析：号码和可能为23，5，，，8，9，，共种答案：2.一袋中有个球3个红球现从袋中外取球，次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时止，设停时共取了次，则（ξ=12）于k404343k404343

（

）·（）

（

53）9（）·8

（

53）·）88

（

5）·（）8解析：P（）表示第12次为红球，前11中有9次红球，从而（ξ）

（

）9

（

5）×88答案：3.现有一大批种子其中优质良种占30%，从中任粒，记为5粒中优质良种数，则ξ分布列是_解析：～B，），的分列是（ξ=）=，k=0，1…，5.答案：P）

k

，=0，，…，54.袋中有只球只球，从袋任取只，取到1只红球得分，取黑球得分设得分为随机量ξ，则P（ξ≤6=________.解析：取出4只球中球个数可为，，，1个，黑球相个数为0，，个其分值为ξ，，8，分.（≤）=（=4）（ξ=6）=

CC4C7

CC4C7

1335

.答案：

13355.（年天，理）从名生和2名女生任选人参加讲比赛设随机量表示所选3人中女生的数求的布列；求的学期望；求“所选人女生人数≤1”的率解：（1）的可能取为0，，（）

C

k2

C6

，，，∴的布列为P（2由（），可知

02=0×

31×+2×5（3“所人女生人数≤1的概率（≤）=（ξ=0）+（）

.培养能力6.（年高考·新程）A两个代表进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队员是、1、A，B队队员是B、、B，按以多次比赛的统计，对阵员之间胜概率如下2323对阵队员

队员胜的概率

队员负的概率kk对对对现按表中对方式出场每场胜队1分，队得分设队队最所得总分分别为ξ（1求、的概率分布；（2求ξ.分析：本题查离散型机变量分列和数学期望等概念，考查运用概知识解决际问题的力解：（1）、的能取值分别为32，，（=3）=（=2）=（=1）=（=0）=

228××，323123228××××+××，35337523132××××+××，35353533××；25根据题意知=3，所以（=0）=（=3）（=1）=（=2）

8752875

，，（=2）=（=1）

25

，（=3）=（=0）

325

.（2E=3×

8322××+0×；752515因为=3，所以=3－E

2315

.7.金工车间有台同型的机床每台机床备的电动机功率为

10，已知每机床工作时，平均每小时际开动12min，且开动与否相互独立的.现因当地力供应紧张，供电部门只提供50kW的电力这10台机床够正常工作的概率为多大?在一个工作的8内，不能正工作的时大约是多少分析：由实问题确定机变量的值，由独立重复试验求概率值.解设台机床中实开动的机床为随机变ξ由于机床类型同且床的开动否相互独立，因此ξ～（，p）其p是每台机开动的概，由题意=

121从而（）=C（）60

（

）k=0，1，，…，10.50kW电力时供给台床开动，因而台机床同时动的台数不超过台都可以常工作这一事件的率为P（≤），131010()20C)20131010()20C)20（）（

4141）10··（9（）·）8（（（）5555·（

44）（·（≈.55因此，在电供应为kW的条件，机床不正常工作概率仅约，从而在个工作班的内，不能正工作的时只有大约×60×（），这说明台床的工作基上不受电供应紧张的影响评述：分布的实际应，应结合意给出答案.8.一袋中装有5只球，号为123，在袋中时取只以表示取出的3只球中最大号，写出随变量的布列.解：根据题可知随机量的取值为，45.当ξ时即取出的只球中最号码为

3，其他球的编号只是

1，2，故有（ξ）

CC

25

110

.当=4时即取出的三球中最大码为4，则其两球只能在编号为，，3的球取个故（）

CC

35

310

.（=5）=

CC

2435

610

.可得的布列为ξ探究创新9.如果～（，

35），则使P（）取大值的k的是解析：=)

C

2kk2kk

201×≥，k得≤所以当≤6时，P（=k+1）（ξ），当＞0时，P（+1）（k），其中k，P）=（ξ=）从而k时（）取得最大.答案：6或7●思悟小结1.离散型随机变量概率分布的两个本质特征：p（i=1，2…，n与p是确定分列中iii参数值的依2.求离散型随机变的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合概率知识求出取个值的概.3313333133离散型随机量在某一围内取值概率等于它取这个范围内各个值的率之和.处理有关离型随机变的应用问，关键在于根据实际问题确定恰当随机变量●教师下载心教点离散型随机量在某一围内取值概率等于它取这个范围内各个值的率和.求离散型随变量的分列必须解好两个问题，一是求出的所有取值二是求出ξ每一个值时的概率求一些离散随机变量分布列，某种程度上就是正确地求出相应的件个数，相应的排组合数，所以好排列组是学好分列的基础与前提拓题【例题】盒中装有打（个）乒乓球其中个新的3个旧（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使，用