313概率的基本性质课件（人教A版必修三）

概率第三章3.1随机事件的概率

第三章3.1.3概率的基本性质

互动课堂2随堂测评3课后精练4预习导学1预习导学●课标展示1．理解、掌握事件间的包含关系和相等关系．2．掌握事件的交、并运算，理解互斥事件和对立事件的概念及关系．3．掌握概率的性质，并能用之解决有关问题．●温故知新旧知再现1．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面朝上，就回答问题(1)；否则就回答问题(2)．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都会如实回答．如果被调查者中的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是(

)A．30

B．60

C．120

D．150[答案]

B2．2011年西安世园会前夕，质检部门对世园会所用某种产品进行抽检，得知其合格率为99%.若世园会所需该产品共有20000件，则其中的不合格产品约有________件．[答案]

200[解析]

根据题意，该产品的不合格率为1－99%＝1%，故20000件产品中，不合格产品大约为20000×1%＝200件．3．当几个集合是有限集时，常用列举法列出集合中的元素，求集合A∪B与A∩B中的元素个数．A∩B中的元素个数即为集合A与B中_______元素的个数；而当A∩B＝Ø时，A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数______；而当A∩B≠Ø时，A∪B中的元素个数即为A、B中元素个数之和_______A∩B中的元素个数．本节要学习的互斥事件和对立事件与集合之间的运算有着密切的联系，学习中要仔细揣摩、认真体会．公共之和减去新知导学1．事件的关系(1)包含关系．一般地，对于事件A与事件B，如果事件A_______，则事件B一定_______，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作_______(或A⊆B)．不可能事件记作______，任何事件都包含不可能事件，即__________.发生发生B⊇AØØ⊆A[拓展]类比集合，事件B包含事件A可用图表示，如图所示．(2)相等关系．一般地，若__________，且__________，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.[拓展]类比集合，事件A与事件B相等可用图表示，如图所示．B⊇AA⊇B2．事件的运算(1)并事件．若某事件C发生当且仅当事件A发生_____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的__________(或和事件)，记作C＝________(或C＝A＋B)．[拓展]类比集合的运算，事件A与事件B的并事件可用图表示，即如图所示的阴影部分．或并事件A∪B(2)交事件．若某事件C发生当且仅当事件A发生________事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝________(或C＝AB)．[拓展]类比集合，事件A与事件B的交事件可用图表示，即如图所示的阴影部分．且A∩B(3)互斥事件．若A______B为______________(A∩B＝Ø)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是，事件A与事件B在任何一次试验中__________发生．∩不可能事件不会同时[破疑点]

①事件A、事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，即事件A与B互不包容，A⃘B，B⃘A.②如果事件A与事件B是互斥事件，那么A与B这两个事件同时发生的概率为0.③与集合类比，可用图表示，如图所示．(4)对立事件．若A∩B为__________事件，A∪B为_______事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中__________一个发生．[破疑点]

①对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生；②对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．③从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．

不可能必然有且仅有对立事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．

其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件①首先G与H不能同时发生，即G与H互斥②然后G与H一定有一个会发生，这时说G与H对立进一步理解：对立事件一定是互斥的即C1,C2是互斥事件互斥事件与对立事件的区别与联系联系：都是两个事件的关系，区别：互斥事件是不可能同时发生的两个事件

对立事件除了要求这两个事件不同时发生之外要求二者之一必须有一个发生对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况但互斥事件不一定是对立事件①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言。②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生，因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件。③从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指这几个事件所包含的结果组成的集合的交集为空集；而事件A的对立事件是指A在全集中的补集。互斥事件与对立事件的区别：ABCABA、B、C彼此互斥但不独立A、B互斥且独立3．概率的几个性质(1)范围．任何事件的概率P(A)∈________．(2)必然事件的概率．必然事件的概率P(A)＝_______.(3)不可能事件的概率．不可能事件的概率P(A)＝______.(4)概率加法公式．如果事件A与事件B互斥，则有P(A∪B)＝____________．[0,1]10P(A)＋P(B)[破疑点]

①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和．③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．(5)对立事件的概率．若事件A与事件B互为对立事件，那么A∪B为必然事件，则有P(A∪B)＝_______＋______＝1.[破疑点]

①公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．②当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率．P(A)P(B)4．事件与集合之间的对应关系事件与集合之间的对应关系如下表：事件集合必然事件全集不可能事件(Ø)空集(Ø)事件B包含于事件A(B⊆A)集合B包含于集合A(B⊆A)事件B与事件A相等(B＝A)集合B与集合A相等(B＝A)事件B与事件A的并事件(B∪A)集合B与集合A的并集(B∪A)事件B与事件A的交事件(B∩A)集合B与集合A的交集(B∩A)事件B与事件A互斥(B∩A＝Ø)集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝Ø)事件A的对立事件集合A的补集(∁UA)●自我检测1．同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有(

)A．M⊆N

B．M⊇NC．M＝N D．M<N[答案]

A[解析]

事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生．则有M⊆N.2．抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝{向上的点数是1}，事件Q＝{向上的点数是3或4}，M＝{向上的点数是1或3}，则P∪Q＝________，M∩Q＝________.[答案]

{向上的点数是1或3或4}

{向上的点数是3}3．在30件产品中有28件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是________．[答案]

至少有一件是二级品4．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于(

)A．0.4 B．0.5C．0.6 D．1[答案]

A[解析]

P(B)＝1－P(A)＝0.4.5．已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，且A与B是互斥事件，则P(A∪B)＝________.[答案]

0.3[解析]

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.互动课堂事件关系的判断

●典例探究

判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)事件A与B；(2)事件A与C；(3)事件C与D.[解析]

(1)不是互斥事件，更不可能是对立事件．理由：事件A：命中的环数大于7环，包含事件B：命中环数为10环，二者能够同时发生，即A∩B＝{命中环数为10环}．(2)是互斥事件，但不是对立事件．理由：事件A：命中的环数大于7环，与事件C：命中的环数小于6环不可能同时发生，但A∪C＝{命中环数为1、2、3、4、5、8、9、10环}≠I(I为全集)．(3)是互斥事件，也是对立事件．理由：事件C：命中的环数小于6环，与事件D：命中的环数为6、7、8、9、10环不可能同时发生，且C∪D＝{命中环数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10环}＝I(I为全集)．例2．（1）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）（A）至多有一次中靶 （B）两次都中靶（C）两次都不中靶 （D）只有一次中靶分析：某战士打靶两次，出现四个结果，分别记为{中靶，中靶}{中靶，脱靶}{脱靶，中靶}{脱靶，脱靶}C点评：根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系。至少有一次中靶例2、把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是（）

（A）互斥但非对立事件（B）对立事件

（C）相互独立事件（D）以上都不对点评：一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。A分析：事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”不能同时发生，故这两个事件是互斥事件，但这两个事件不是对立事件。1、某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有一名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．不互斥三.练习互斥不对立不互斥互斥且对立分析：从中任选2名同学参加比赛，可能出现以下三种情形：{男，男}{男，女}{女，女}ABCABA、B、C彼此互斥但不独立A、B互斥且独立2、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，是对立事件的为()①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．

A．①B．②C．③D．④B分析：从袋中任取3球，可分为四种情形：{三个白球}{两白一黑}{两黑一白}{三个黑球}3.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么，互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球C三.练习

规律总结：互斥事件与对立事件的判断方法：(1)利用基本概念：判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生，若不同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生，如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．两个事件是对立事件的前提是互斥事件．(2)利用集合的观点：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝Ø；②事件A与B对立，即集合A∩B＝Ø，且A∪B＝I(I为全集)，也即．A＝∁IB或B＝∁IA.[特别提醒]对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件则可以是多个事件间的关系．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[解析]

(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．概率加法公式的应用

[解析]

(1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[易错警示]

不能由于只有四种血型就简单地认为四种情况的概率都是0.25.本题中某种血型的人所占的比例其实就是任代一人，他是该血型的概率．

规律总结：解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．[解析]

设A、B、C、D，分别表示等候人数为0、1、4，大于等于5的事件，则A、B、C、D互斥．(1)设E表示事件“等候人数不超过1”，则E＝A∪B，故P(E)＝P(A)＋P(B)＝0.05＋0.14＝0.19，即等候人数不超过1的概率为0.19.(2)设F表示事件“等候人数大于等于4”，则F＝C∪D.故P(F)＝P(C)＋P(D)＝0.10＋0.06＝0.16，即等候人数大于等于4的概率为0.16.对立事件概率公式的应用

[分析]

构造对立事件→灵活运用概率加法公式→求概率

规律总结：求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化面几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类大多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．

在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，全是白球的概率为0.3，求所取出的2个球中至少有1个红球的概率．[分析]

判断事件间的关系→利用对立事件的概率公式求解[解析]

记事件A表示“取出的2个球中至少有1个红球”，事件B表示“取出的2个球全是白球”，则事件A与事件B互为对立事件，而事件B发生的概率为P(B)＝0.3，所以事件A发生的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－0.3＝0.7.[错因分析]

错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．某战士射击一次，击中环数大于7的概率是0.6，击中环数是6或7或8的概率相等，且和为0.3，求该战士射击一次击中环数大于5的概率．[错解]

该战士击中环数大于5的概率是0.6＋0.3＝0.9.[正解]

记“击中6环”为事件A，“击中7环”为事件B，“击中7环以上”为事件C，事件A、B、C，彼此互斥，且易知P(A)＝0.1，P(B)＝0.1，P(C)＝0.6.记“击中5环以上”为事件D，则P(D)＝P(A∪B∪C)＝0.1＋0.1＋0.6＝0.8.[错因分析]

该战士“击中7环以上”与“击中环数为6或7或8”不是互斥事件，所以不能直接用互斥事件的概率加法公式计算．[总结]

在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件．实际上，对于事件A，B，有P(A∪B)≤P(A)＋P(B)，只有当事件A，B互斥时，等号才成立．随堂测评1．下列各组事件中，不是互斥事件的是(

)A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%[答案]

B[解析]

对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．2．(2013～2014·北京市东城区模拟)从装有数十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(

)A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球[答案]

B[解析]

对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．3．(2013～2014·陕西省宝鸡市金台区检测)