函数的单调性

§2.3函数的单调性

下图是我市一天24小时内的气温变化图．气温θ是关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个气温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？2.我们用怎样的数学语言来刻画上述时间段内“随着时间的增大气温逐渐升高或减小”这一特征呢？问题1.讨论问题2：观察学生绘制的函数的图象（如图1、2、3，实际教学中可根据学生回答定），它们的图象有什么变化规律?指出图象变化的趋势。这反映了相应的函数值的哪些变化规律?提出问题、建构数学上升下降局部上升局部下降从上面的观察分析，能得出什么结论？函数的单调性问题从上面的观察分析可以看出：从左向又看，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势．不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性．2．单调函数的“直观定义”

在区间上，若函数的图象（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间上是增函数，区间称为函数的增区间；在区间上，若函数的图象（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间上是减函数，区间称为函数的减区间．函数的这种性质称为函数的单调性。．例：下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图像说出函数的单调区间以及每一单调区间上，它是增函数还是减函数？让学生寻找函数y＝x2与函数y=x3+x的单调区间Oxy单调函数的“描述性定义”能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy单调函数的“描述性定义”

函数图象呈上升趋势等价于函数值y随x的增大而增大。函数图象呈下降趋势＜＝＞函数值y随x的增大而减小函数的这种性质称为函数的单调性问题在区间I上，若随着自变量x增大，函数值y也增大，则称函数在区间I上是增函数；在区间I上，若随着自变量x增大，函数值y减少，则称函数在区间I上是减函数．因此函数y＝x2时，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，称函数在（-∞，0）是减函数，当x>0时，函数值y随x的增大而增大，在（0，+∞）是增函数。对区间D内

x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)区间D上图象从左到右逐渐上升？OxDy区间D内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN任意都探究1：

如果对于区间（a,b)上的任意一个x,都有f(x)>f(a)，则函数f(x)在区间(a,b)上单调递增。这个说法对吗？探究2：

函数f(x)在区间（a,b)上有两个确定量x1、x2,使得当x1<x2时，有f(x1)<f(x2),

能不能说函数f(x)在区间(a,b)上单调递增呢？探究3：

函数f(x)在区间（a,b)上有无数个量x1,x2,…,使得当a<x1<x2<…<b时，有f(a)<f(x1)<f(x2)<…<f(b),

能不能说函数f(x)在区间(a,b)上单调递增？问题4形成数学概念

定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I．如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1＜x2时，都有，y1＜y2,那么就说y=f(x)在区间上是单调增函数（increasinfunction），I称为y=f(x)的单调增区间（increasinginterval）．问题4：如何定义单调减函数呢？定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I．如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说y=f(x)在区间上是单调减函数（decreasingfunction），称为的单调减区间（decreasinginterval）．如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数y=f(x)的单调区间．判断题：（1）已知f(x)=1/x，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是增函数。（2）若函数f(x)满足f(2)<f(3),则函数f(x)在区间[2，3]

上为增函数。（3）因为函数f(x)=1/x在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，所以f(x)=1/x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。深入理解函数单调性的概念函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;

x1,x2取值的任意性24你能分析总结一下定义中增减函数的要点吗？思考讨论2（1）自变量具有任意性（3）自变量有大小，通常规定（2）自变量同属于一个区间（4）f(x)是增（减）函数则

(5)单调性是函数的局部性质应用概念证明：函数在区间[0，+∞)上是增函数，并由此总结证明函数是单调函数的一般步骤：（1）在给定的区间内任取两个自变量的值x1，x2，时规定x1＜x2；（2）判定f（x1）－f（x2）的符号在给定的区间内是否不变，并由此得出f（x1）与f（x2）的大小关系；（3）得出f（x）在给定的区间上为单调函数．让学生利用单调函数的定义证明函数y＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．例：证明函数在R上是增函数。证明：任取练习：证明函数在上是增函数．2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1<x2；第二步：比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再归纳结论.定义法的步骤可以总结为：设元、作差、变形、断号、定论通过本例向学生说明：判断函数单调性的主要方法：⑴观察法：画出函数图象来观察．⑵定义法：严格按照定义进行验证．⑶分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合．课堂小结:1.本节课学习了单调函数的概念，要求同学们掌握单调函数的定义，能利用定义判定函数的单调性，并掌握以下关系：f（x）在区间I上是增函数

f（x）的图象在区间I上是上升的在区间I自变量大函数值也大；形成增函数的的定义.f（x）在区间I上是减函数

f（x）的图象在区间I