2020年中考数学一轮复习培优训练：《圆》

2020年中考数学一轮复习培优训练：如图，在AABC中，点0为BC边上一点，。0经过A、B两点，与BC边交于点E,点F为BE下方半圆弧上一点，FE丄AC,垂足为D，ZBEF=2ZF.求证：AC为00切线.若AB=5,DF=4,求00半径长.如图，A，B，C，D在00上，AB〃CD经过圆心0的线段EF丄AB于点F,与CD交于点E.如图1,当00半径为5,CD=4■-用，若EF=BF，求弦AB的长;(2)如图2,当00半径为叮祁，CD=2tE，若0B丄0C(2)如图2,当00半径为叮祁，CD=2tE，若0B丄0C,求弦AC的长.FBABOD£DCES1(1)已知等边AABC内接于00.点P为揺上的一个动点，连结PA、PB、PC.如图1,当线段PC经过点0时，试写出线段PA,PB,PC之间满足的等量关系，并说明理由；如图2,点P为应上的任意一点(点P不与点A、点B重合)，试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；如图3,在AABC中，AB=4,AC=7，ZBAC的外角平分线交AABC的外接圆于点P,PE丄AC于E,求AE的长．AAABCC@1AAABCC@1S4．感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角a与B满足a+2B=90。，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用如图1,在RtAABC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,BD是ZABC的平分线.证明AABD是“类直角三角形”试问在边AC上是否存在点E(异于点D),使得AABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在,请说明理由.类比拓展如图2,AABD内接于©O,直径AB=10,弦AD=6，点E是弧AD上一动点(包括端点A,D),延长BE至点C,连结AC,且ZCAD=ZAOD，当AABC是“类直角三角形”时，求AC的长.DCE\SAO3AEl02DCE\SAO3AEl02已知：AB是。0直径，点E、F是弦AD、CD延长线上的点，ZF=NBAD；求EF与AC的位置关系.(2)连接CE交。0于G,连接BD，若2ZCAE+ZDAG=ZABD，求证：AC=CE.(3)在(2)的条件下，延长AB、EF交于K,EK=2AC，AK=10，^AEK的面积=18，求线段EK的长度.如图，直线AB经过。0上的点C，直线A0与。0交于点E和点D,0B与。0交于点F连接DF、DC.已知0A=0B，CA=CB.求证：直线AB是00的切线；求证：ZFDC=ZEDC；已知：DE=10，DF=8，求CD的长.ACB(2019秋•如皋市期中)如图，AB是00的切线，切点为B，0A交00于点C，过点C的切线交AB于点D.若ZBA0=30°，CD=2.求00的半径；若点P在羽匸上运动，设点P到直线BC的距离为x,图中阴影部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．如图：已知AADC内接于©O,A0是。0的半径.点E是CD上一点，连接AE,ZDAE=ZCAO.求证:AE丄CD；如图2,延长AO交CD于点G,交于点B,过B作BF丄CD于F.求证：CF=DE；如图3,M是弧CD的中点，连接CM交AB于点H,连接AM交CD于点N,连接DM.若CN=DM,ADtanZCGB=才，求00的半径.CC2ASAOE£E图CC2ASAOE£E图1已知，如图△ABC中，AB=AC,D是边BC上一点，BDVDC,过点A、D、C三点的00交AB于点F,点E在虬上，连接DF、AE、DE、CE.求证：ABDF是等腰三角形；若DE=AC，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题.

如图1,在。0中，弦AB与半径0C交于点E,连接AC、0B,ZB0E=2Z0EB.求证：AC=EC；如图2,过点C作CD丄AB交。0于点D,垂足为M,连接CB,求证：CD=CB；如图3,在(2)的条件下，连接DO并延长DO交AB于点F,连接CF、BD,过点M作MP丄DB于点P,交DF于点Q,连接0P,若ZDFC=90°,Q0=1时，求线段OP的长度.AA■VCCD,C3BB(S1)EAA■VCCD,C3BB(S1)E團2)已知：如图，AB为00的直径，弦CD丄AB,点E为弧AC上一点，连接BE.如图1,求证：NCEB=ZDEB；如图2,若弦CD经过圆心0,过点A作AF丄AE交DE于，求证：CE=DF；如图3,在(2)的条件下，连接AC交ED、EB于点H、G,连接BF,若CG=2,AH=3,求BF的长.

蜃II圉2图3⑵已知，AABC内接于O,AB=AC，连接AO并延长交BC于点D.如图1,求证：AD丄BC；如图2,过点B作AC的垂线，交AD于点E,交。0于点F,垂足为点G,连接CF,求证：CF+FG=BG；如图3,在(2)的条件下，P为弧AC上一点，弧PF=弧CF,连接PA、PB、PC,PB交AD于点M,交AC于点N,若PB=16,PC=10,求AAMN的面积.AA.40FOAFGGEBCsBSi團2AA.40FOAFGGEBCsBSi團2S3如图，Rt^ABC中，ZABC=90°,ZA=30°,AC的垂直平分线交AC边于点D,交AB边于点0,以点0为圆心，0B的长为半径作圆，与AB边交于点E.求证：AC是。0的切线；若点P为。0上的动点(含点E,B),连接BD、BP、DP.①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC〃DP,求ZBDP的度数；

②若Q是BP的中点，当BE=4时，直接写出CQ长度的最小值.如图，AB是。0的直径，CE是00切线，C是切点，EA交弦BC于点D、交。0于点F,连接CF：如图1,求证：ZECB=ZF+90°；如图2,连接CD，延长BA交CE于点H，当0D丄BC、HA=HE时，求证：AB=CE；如图3,在(2)的条件K在EF上，EH=^^FK，求WE的长.T7CCCDlQO0图1T7CCCDlQO0图1EA如图，在00中，AB是00的直径，CD是00的弦且与AB交于点E(E不与0重合)，CE=DE,点F在弧AD上，连接AD、CF、DF,CF交AB于点H,交AD于点G.如图1,求证：ZCFD=2ZBAD；如图2,过点B作BN丄CF于点N,交00于点M,求证：FN=CN+DF；如图3,在(2)的条件下，延长CF至点Q,连接QA并延长交BM的延长线于点P,若ZQ=ZADF,1GHE=BE,AQ=2DG=10，求线段PN的长.ABBs图1图2图3参考答案1.(1)证明：连结OA,・・・ZA0E=2ZF,•・・ZBEF=2ZF,・・・ZA0E=ZBEF,・・・AO〃DF,•・・DF丄AC,・・・0A丄AC,・・・AC为OO切线；(2)解：连接OF,VZBEF=2ZF,・••设ZAFE=a，则ZBEF=2a,AZBAF=ZBEF=2a,ZB=ZAFE=a,.•・ZBA0=ZB=a,.\Z0AF=ZBA0=a,•OA=OF，・・・ZAF0=Z0AF=a,•••△AB0竺AAF0(AAS),・AB=AF=5，•DF=4，・・・AD='4f2_DF2=3,BE是O0的直径，・・・ZBAE=90°,/.ZBAE=ZFDA,•/ZB=ZAFD,•••△ABEs^DFA,

AB=BBDF=AF。0半径=芈2.解：（1）如图1中，连接OB,0C.设BF=EF=x,OF=y.••・ZCEFZCEF・.・AB〃CD,EF丄AB,・・・EF丄CD,.*.AF=BF=x,DE=EC=2.电[K2+y2=25根据勾股定理可得：‘—..-25fz=4fz=-3解得或（舍弃），・BF=4，AB=2BF=8.(2)如图2中，作CH丄AB于H.•・・0B丄OC,・・・ZA=g-ZB0C=45°,AH丄CH,•••△ACH是等腰直角三角形，•・・AC=_1CH,AB〃CD,EF丄AB,・・・EF丄CD,ZCEF=ZEFH=ZCHF=90°,・•・四边形EFHC是矩形，•CH=EF,在RtAOEC中，•EC=18,0C=E!：J,0E=m2—E严=口-舟=2匚気VZEOC+ZOCE=90°,ZEOC+ZFOB=90°,・・・ZF0B=ZEC0,•OB=OC,•••△OFB竺ACEO(AAS),・・・OF=EC=.禹，・・・CH=EF=3.•・AC=_2EF=6i3.3.解:(1)①PA+PB=PC，理由如下:•线段PC经过点0,・・・PC是00的直径，・・・ZPAC=ZPBC=90°,•••△ABC是等边三角形，/.ZABC=ZBAC=60o,.\ZACP=ZBCP=30°,・・・PA=：\PC,PB=gpC,・・・PA+PB=PC；②PA+PB=PC,理由如下：在PC上截取PD=PA，连接AD,如图2所示：△ABC是等边三角形，.•.AB=AC,ZABC=ZBAC=60°,Z.ZAPD=ZABC=60°,•PD=PA,•••△APD是等边三角形，・・・AD=AP=PD,ZPAD=60°=ZBAC,・・ZDAC=ZPAB,AC=AB在AACD和AABP中，上D曙二ZPAB,•••△ACD竺AABP(SAS),・DC=PB,・PA+PB=PD+DC=PC；(2)在AC上截取ED=AE.连接PD并延长交圆0于G.连接CG,如图3所示:PE丄AC,DE=AE,・PA=PD，・・・ZPAD=ZPDA=ZCDG.VZPAD=ZG.・・・ZCDG=ZG,・CG=CD，又・・・PA平分ZFAC,/.ZBAC=180°-2ZPAD=180°-(ZPAD+ZPDA)=ZAPG.・•・・••肛HG,・・・AB=CG.AC-AB=AC-CD=AD=2AE，即2AE=AC-AB=7-4=3,4.(1)①证明：如图1中,•・・BD是NABC的角平分线，.\ZABC=2ZABD,VZC=90°,•ZA+ZABC=90°,.\ZA+2ZAB-D=90°,•••△ABD为“类直角三角形”②如图1中，假设在AC边设上存在点E(异于点D),使得AABE是“类直角三角形”在Rt^ABC中，・.・AB=5,BC=3,・・・AC=：■肘_阮—5=2=4,VZAEB=ZC+ZEBC>90°,・・・ZABE+2ZA=90°,VZABE+ZA+ZCBE=90°AZA=ZCBE,.•.△ABCsABEC,•胆=坐^CE=BC,9(2)TAB是直径，・・・ZADB=90°,•・・AD=6,AB=10,・・・BD=.乜澎皿酹=','1护-护=8,①如图2中，当ZABC+2ZC=90°时，作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB.则点F在00上,且ZDBF=ZDOA,VZDBF+ZDAF=180°,且ZCAD=ZAOD,Z.ZCAD+ZDAF=180°,・C,A,F共线,VZC+ZABC+ZABF=90°.*.ZC=ZABF,•••△FABsAFBC,

②如图3中，由①可知，点C,A,F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分ZFBC,・・・ZC+2ZABC=90°,VZCAD=ZCBF，ZC=ZC，.•.△DACs^FBC，・生=如肝亘=§=8，・・・CD=j(AC+6)，在RtAADC中，[亍(ac+6)]2+62=AC2,150・・・AC=或-6(舍弃)，14150综上所述，当AABC是“类直角三角形”时，AC的长叱或一厂.5•解：(1)如图1,延长FE,AC交于点H,连接BD,TAB是直径，・・.ZADB=90°,・・・ZDAB+ZABD=90°,•・•四边形ABDC是圆内接四边形，・・・ZHCD=ZABD,且ZF=ZBAD,AZHCD+ZF=90°,・・・ZH=90°,・・・AC丄EF；(2)如图2,延长FE,AC交于点H,连接BD,••四边形ABDC是圆内接四边形，・・・ZHCD=ZABD,V2ZCAE+ZDAG=ZABD,且zhcd=zcae+zadc,AZCAE+ZADC=2ZCAE+ZDAG,AZADC=ZCAE+ZDAG,且ZAGC=ZADC,且ZAGC=ZAEC+ZGAD,/.ZCAE+ZDAG=ZGAD+ZAEC,••・ZAEC=Z'CAE,・AC=CE；(3)如图3,过点K作KM丄AE,过点E作EN丄AK,过点A作AP丄CE,交EC的延长线于P,图r2222・・・EN=¥，AE=6,VZH=ZAMK=90°,ZAEH=ZMEF,・・・ZHAE=ZMKE,且ZHAE=ZCEA,.•・ZCEA=ZMKE,•・・PA丄AE,ZHAE=ZCEA,・・・ZCPA=ZCAP,・・・PC=AC,且AC=CE,・・・PE=2AC，且EK=2AC,・・・PE=EK，且ZPAE=ZKME=90°,ZCEA=ZMKE,/.△PAE^^EMK(AAS)・AE=MK,*.*AK=10,^AEK的面积=18,324=_2i苗=5・・・KN=AK-AN=6.(1)证明：连接OC.cMS・・・£aKxEN324=_2i苗=5・・・KN=AK-AN=6.(1)证明：连接OC.cMS•・・OA=OB,AC=CB,・・・0C丄AB,••点C在。0上，・・・AB是OO切线.证明:VOA=OB,AC=CB,/.ZAOC=ZBOC,•OD=OF,・・・ZODF=ZOFD,•・・ZAOB=ZODF+ZOFD=ZAOC+ZBOC,.\ZBOC=ZOFD,・・・OC〃DF,.\ZCDF=ZOCD,•OD=OC,.\ZODC=ZOCD,・・・ZADC=ZCDF.解：作ON丄DF于N,延长DF交AB于M.•ON丄DF,・DN=NF=4,在RtAODN中，・.・ZOND=9O°,OD=5,DN=4,・・・00［〔|朋-0护=3,VZOCM+ZCMN=18O°,ZOCM=9O°,/.ZOCM=ZCMN=ZMNO=9O°,・・・四边形OCMN是矩形，・ON=CM=3,MN=OC=5,在RTACDM中，・.・ZDMC=90°,CM=3,DM=DN+MN=9,・・・CD=4涉吃m'=：/+3_310.解:(1)连结OB,如图,TAB、CD是00的切线，.•・DB=DC=2,0B丄AB,CD丄OA,・・・ZAB0=ZACD=90°,VZBAO=30°,AD=2CD=2BD,・AD=4,AB=AD+BD=6,・・・0B=W^AB=2辽，即00的半径为2辽；(2)・.・ZBA0=30°,・・・ZB0C=60°,・•点P到直线BC的距离为x,.•.△PBC的面积为j-X2工金Xx=3x,弓形BC的面积=扇形C0B的面积-△C0B的面积=2兀一E、:3,.•・y=ijx+2兀-S3,当点P到BC的垂线经过圆心0时，其值最大，即2厲+3,・•・自变量x的取值范围是0WxW2，E+3.(1)证明：如图1中，延长A0交00于M,连接CM.TAM是直径，・・・ZACM=90°,・・.ZCAM+ZM=90°,TZCAO=ZDAE,ZD=ZM,・・・ZDAE+ZD=90°,・・・ZAED=90°,・・・AE丄CD.(2)证明：如图2中，连接BC,延长AE交。O于H,连接DH.•・・ZCAO=ZDAE,・•・DH=EC,・DH=BC,•・・BF丄CD,・・・ZBFC=90°=ZACB,AZACD+ZBCF=90°,ZBCF+ZCBF=90°,/.ZACD=ZCBF,•・・ZH=ZACD,・・・ZH=ZCBF,

•・・ZDEH=ZBFC=90°,•••△BFC今AHED(AAS),・・・CF=DE.(3)解：如图3中，作GM丄AD于M,作町丄AB于J,连接BC.S3•/ZCGB=ZAGE,AE丄CD,AB4/.tanZCGB=tanZAGE=”'="孑，设AE=4k,EG=3k，则AG=5k,•・•DM=CM,.\DM=CM,ZDAM=ZMAC,VCN=DM,ZACN=ZAMD,•••△ACN竺AAMD(AAS),・・・AN=AD,・.・AE丄DN,・•・DE=EN,ZDAE=ZNAE=ZCAB=ZMAB,•••NEIAE,町丄AB,・NE=NJ，△AEN-EM反"也怔4・saangGM-y-AG-NJ帕b'・・厠=-裁=去，・・・DN=〒k・・・DN=〒k,DG=*k,••右・AD・GM=£・DG・AE,':乙GAM=ZCAE,ZAMG=Z':乙GAM=ZCAE,ZAMG=ZAEC=90°,•'•△AECsAAMG,•.'△ACBsAAED,•坐=星••而=盒・・・AB=10,・・・。0的半径为5.解:(1)・・・AB=AC,zb=zc,・・•四边形afdc是圆内接四边形,•ZAFD+ZC=ZBFD+ZAFD=180°,・・・ZBFD=ZC,•ZBFD=ZB,・BD=DF,•△bdF是等腰三角形;(2)如图，已知AB=DE,ZB=ZE,则四边形ABDE是平行四边形是假命题;・DE=AC,・AB=AC,・AB=DE,•・・AB=AC,.*.ZB=ZC,VZC=ZE,・・・ZB=ZE,AC-CE=連-CE,・AE=O.•.AE=CD>BD,但四边形ABDE不是平行四边形，・“一组对边相等,且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题(1)证明：如图1中，延长CO交。0于T,连接BT.•OT=OB,/.ZT=Z0BT,VZE0B=ZT+Z0BT=2ZT,ZE0B=2Z0EB=2ZAEC,・・・ZT=ZAEC,VZA=ZT,/.ZA=ZAEC,・CA=CE.(2)证明：如图2中，作OH丄BC于H,OF丄CD于F.•・・OC=OB,OH丄BC,・・・ZC0H=ZB0H,ZE0B=2Z0EB=2ZCEM,・・・ZC0H=ZCEM,Z.ZCEM+ZOCF=90°,ZOCH+ZOCH=90°,・・・Z0CH=Z0CF,OF丄CD,OH丄CB,・・・0F=0H,・・・0C=0C,Z0FC=Z0HC=90°,.•.RtACOF竺RtACOH(HL),・CF=CH，•DF=CF，CH=BH，・CD=CB．(3)延长CO交BD于T,连接TF,TM.BCIS泌•CD=CB,ZDC0=ZBCO,・・・CT丄BD,DT=BT,•OC=OD,ZFDC=ZTCD,・.・ZDFC=ZCTD=90°,cd=dc,△CDT^ADCF(AAS),.DT=CF,ZTDC=ZFCD,DF=CT,ZTDF=ZFCT,•△TDF^^FCT(SAS),ZDFT=ZCTF,-ZDOC=ZFOT,ZOCD=ZOTF,・CD〃TF,ZBTF=ZBDC=ZFCM,•CF=BT,ZCMF=ZTFB,.△CMF^^TFB(AAS),FT=CM，•四边形FTMC是平行四边形,TE=ECEM=EFDF=CTOD=OCOT=OFZOTF=ZOFT,•Z0TF+ZFET=90°,ZOFT+ZOFE=9O°,・ZOEF=ZOFE,OE=OF=OTOE〃MOEF=EMOQ=OF=1ET=EC=2OD=OC=3DQ=2QP〃OT坐=匹=匹斎=而=莎

2_・・・DP=2_・・・DP=32・・・PT=DT-DP=2运-皿'忑11．解：(1)如图1中，•••CD丄AB,AB是直径,・•・EC=ED,ZCEB=ZDEB.(2)如图2中，连接AC、AD,AB丄CD，OC=OD,・・AC=AD,CD是直径，・・・ZCAD=90°,・・x=1，・・x=1，TAE丄AF,ZEAF=*ZA0D=45°,・・.ZEAF=90°,AE=AF,.•・ZEAF=ZCAD,・・・ZEAC=ZFAD,•••△ACE竺AADF(SAS),・CE=DF．(3)过点A作AS丄CE交CE的延长线于S,AT丄ED于T,过点E作EN丄AC于N.TAB是直径，・・・ZAEB=90°,ZAED+ZDEG=90°,ZSEA+ZCEB=90°,•・・ZCEG=ZDEG,・・・ZAES=ZAED,AS丄ES,AT丄ET,・AS=AT，陆―冷网左ECWAC=ECAH=EH，同法可证鈴CGAC=ECAH=EH，同法可证鈴CGGHCGCA•M—••设HG=x,誓・・CB=CP=10,.*.AC=6,tanZECA=*,tanZEAC=寺，AE=^,EF=,BE=^ZBF===¥12．解：（1）如图1中，•・・AB=AC,・°・AR=AC,•AD经过圆心0,・・・AD丄BC.(2)如图2中，设BF交AD于H,连接CH.AB=AC,AD丄BC,・BD=DC,・HB=HC,BF丄AC,AZAGH=ZBDH=90°,AZHAG+ZAHG=90°,ZDBH^ZBHD=90°,•・・ZAHG=ZBHD,・・・ZHAG=ZDBH,•・・ZGAF=ZDBH,・・・ZGAF=ZGAH,■VZGAH+ZAHG=90°,ZGAF+ZAFG=90°,・・・ZAHG=ZAFG,・AH=AF,•AC丄FH,・GH=FG,・CH=CF=BH,・BG=BH+GH=CF+FG．(3)如图3中，作MK丄AB于K,MJ丄AC于J.•・•FF=CF,・・・ZPBF=ZCBF,・・・ZPBC=2ZPBF=2ZCAD,•AB=AC,AD丄BC,AZBAC=2ZCAD,VZBPC=ZBAC,.\ZBPC=2ZDAC,・・・ZCBP=ZCPB,•・・ZBCN=ZCBA=ZCBN+ZABN,ZCNB=ZABN+ZBAN,ZBAN=ZCBN,・・・ZBCN=ZBNC,・・・BN=BC=10,・・・PB=16,・・・PN=16-10=6,•*ZBCN=ZBCA,ZCBN=ZCAB,•••△CBNsMAB,•看=H，设CN=x，艺=厶CA=W•/ZABN=ZPCN,ZANB=ZPNC,•••△ANBsAPNC,可得AN・NC=BN・PN,・・・（^^-x）=10X6,・・・x=2•厂也（负根已经舍弃），・・・CN=2;T0,AC=AB=5j10,AN=3i10,在RtAADC中，AD='.乜严_cd'=泸-5'=15,・・S=-£・AD・BC=75,△ABC-VAN：CN=3：2,・・・S~X75=45,△ABN5VMJ丄AC,MK丄AB,ZMAB=ZMAC,・MJ=MK，見帕巩豆•出哪K捉§saamnMN丄価哪］PE313．（1）证明：如图1中,连接OC．②解：如图②解：如图2中，连接OP,取OB的中点J,连接JQ.②解：如图②解：如图2中，连接OP,取OB的中点J,连接JQ.・・・ZACB=60°,•・・0D垂直平分线段AC,・・OA=OC,・・・ZA=Z0CA=30°,・・・Z0CB=Z0CD=30°,VZODC=ZOBC=9O°,OC=OC,•••△ODC竺AOBC(AAS),・OD=OB，•AC是OO的切线.(2)①解：如图1中,・・・DP〃BC,・・・ZPDB=ZDBC,•ZABC=90°,AD=DC,・BD=DC=AD，•・・ZDCB=60°,•••△BDC是等边三角形，・・・ZDBC=60°,・・・ZBDP=60°.TTBD=CD•・・BE=4,・・・0B=0E=0D=0P=2,JO=JB=1,•・・Z0BC=90°,Z0CB=30°,・・BC=_iOB=2一g,・・・JC='；bF+BJ'=(0.,乜)13•QP=QB,JO=JB,.*.JQ^yOP=1,•••CQMJC-JQ,・・・CQ的最小值为••壬-1.14.解:(1)证明：如图1,连接OC,・・・OB=OCAZOCB=ZB・阮=AC・・・ZF=ZB・・・ZOCB=ZF•・・CE是OO切线，・・・OC±CE・・・ZOCE=9O°VZECB=ZOCB+ZOCEAZECB=ZF+90°；证明：如图2,过点C作CG丄EF于G,连接BF,贝则ZCGE=ZCGD=90°TAB是。0的直径，.\ZAFB=90°=ZCGE=ZCGDTOD丄BC・・・BD=CD在ABDF和ACDG中，；ZAF&=ZCGDJZBDF=ZCDGlBD=CD•••△BDF竺ACDG(AAS)・BF=CGTHA=HE.\ZEAH=ZE•/ZBAF=ZEAH.\ZBAF=ZE在AABF和AECG中，rZBAF=ZEJZAFB^Z.EGCM■霸/.△ABF^AECG(AAS)・AB=CE；如图3,过点C作CG丄EF于G,连接AC,OC,OF,BF,由(2)知：AB=CE,ZBAF=ZETOA=OC/.Z0CA=Z0ACTAB是OO的直径，CE是。0切线，.\ZACB=ZEC0=90°，即ZECA+ZOCA=ZABC+ZOACZ.ZECA=ZABC•••△ABD竺AECA(ASA)・BD=AC・AC=CD

••△ACD为等腰直角三角形•・ZADC=45°•・ZEDF=45°••△DEF是等