【公开课课件】直线与平面垂直的判定（公开课）

2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标1.了解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理解决问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面α内的

直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法_______有关概念直线l叫做平面α的

，平面α叫做直线l的

，它们唯一的公共点P叫做______任意一条l⊥α垂线垂面垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).如图，观察折痕AD与桌面的位置关系.答案不一定.思考1

折痕AD与桌面一定垂直吗？思考2

当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.梳理文字语言一条直线与一个平面内的

都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，

＝P⇒l⊥α图形语言两条相交直线a∩b1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.(

)2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(

)3.若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(

)[思考辨析判断正误]×××题型探究例1

下列命题中，正确的序号是________.①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.类型一线面垂直的定义及判定定理的理解解析答案④⑤解析当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.反思与感悟(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.跟踪训练1

(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于A.平面OAB

B.平面OACC.平面OBC

D.平面ABC答案√解析∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.解析(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)答案①③④解析根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.解析例2

如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；证明因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.类型二线面垂直的判定证明(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明

因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.证明反思与感悟(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2

如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点.求证：(1)CD⊥AA1；证明由题意知AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.证明(2)AB1⊥平面CED.证明

因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A⊂平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CED，所以AB1⊥平面CED.证明达标检测1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是A.平行

B.垂直C.相交

D.不确定答案√解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.解析2.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是A.α∥β，且m⊂α

B.m∥n，且n⊥βC.m⊥n，且n⊂β

D.m⊥n，且n∥β解析A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.解析答案√3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝

，E，F分别是AD，PC的中点.证明：PC⊥平面BEF.证明证明如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中点，所以EF⊥PC.F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，