【高三理科数学第一轮复习】第十二章-第3节-数学归纳法及其应用

第3节数学归纳法及其应用最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知

识

梳

理1.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取___________________时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当____________时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.第一个值n0(n0∈N*)n＝k＋12.数学归纳法的框图表示[微点提醒]1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值n0不一定是1，要根据题目条件或具体问题确定初始值.2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则就不是数学归纳法.3.解“归纳——猜想——证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.基

础

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n＝1时结论成立.(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(

)(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(

)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(

)解析对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n＝1时结论成立，如证明凸n边形的内角和为(n－2)·180°，第一步要验证n＝3时结论成立，所以(1)不正确；对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.答案C

解析

易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.

答案

3

4

5

n＋1解析当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.答案C答案C6.(2019·安庆检测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是________________.

解析

当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，

当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，

所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3).

答案

(2k＋2)＋(2k＋3)考点一用数学归纳法证明等式(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立.规律方法

用数学归纳法证明等式的注意点(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.(3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)∴当n＝k＋1时结论仍然成立.由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).考点二利用数学归纳法证明不等式(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1，又ak＋2＋ak＋1＋1>0，所以ak＋1<ak＋2，即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立.综上，可知an<an＋1对任意n∈N*都成立.规律方法

用数学归纳法证明不等式的注意点(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立.考点三归纳——猜想——证明

多维探究角度1与函数有关的证明问题【例3－1】

(2019·梅州质检)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.下面用数学归纳法证明：由①②可知，结论对n∈N*成立.当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增.又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，当a>1时，对x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0.即当a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1].角度2与数列有关的证明问题【例3－2】

设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*).猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，猜想：an＝n.∵a2>0，∴a2＝2.(ⅱ)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0，∴ak＋1＝k＋1，即当n＝k＋1时也成立，∴an＝n(n≥2)，显然当n＝1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有an＝n.规律方法

(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明(1)中的猜想.(2)证明①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立.[思维升华]1.归纳假设的作用

在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点： (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设.2.利用归纳假设的技巧

在推证n