【课件】4.5.1函数的零点和方程的解教学课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5函数的应用(二)4.5.1函数和零点和方程的解引入

在前面，我们通过一些实例，初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律基本方法.在本节中，我们将先学习运用函数的性质求方程近似解的方法，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，用模型思想发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的方法。

那么，我们为什么要学习运用函数的性质来求方程近似解呢(注意:不是”准确解”)?主要有以下几个方面的原因：1.用数学解决实际问题时，经常需要解方程，这没办法回避；

2.从现实生活中抽象出的方程往往是很难得出准确解的;事实上，就整式方程而言，五次及五次以上方程就没有一般解法了(在19世纪挪威数学家阿贝尔已经证明)，更不要说指数方程、对数方程等超越方程.3.从实用的角度来看，一定精度的解也是完全可以满足需要的.知识探究

我们已经学习过用二次函数的观点来认识一元二次方程和不等式，知道一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是对应二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.

问题1:

完成下列表格.

验证方程的根，对应函数的零点，以及函数图象与x轴的交点的关系，并说说什么是函数的零点？一元二次方程方程

x2－2x－3=0x2－2x+1=0x2－2x+3=0

方程的根二次函数函数的零点函数的图象以及与x轴的公共点x1=-1,x2=3x1=x2=1没有实数解y=x2－2x－3y=x2－2x+1y=x2－2x+3-1,31没有零点(-1,0)(3,0)(1,0)

问题2:

类比二次函数的零点，对于一般函数y=f(x)，你能说说什么是函数y=f(x)的零点吗？函数的零点

对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0的实数解函数y=f(x)的零点方程f(x)=0的实数根数形同有无，值相等，个相同。2.函数的零点与方程的根，函数图象与轴公共点的横坐标的关系：1.概念：返回例析（1）由f(x)=0得lgx-2=0,即lgx=2解得x=100∴函数的零点为100.（2）由f(x)=0得ex-1=0,即ex=1解得x=0∴函数的零点为0.（3）由f(x)=0得-2|x|+6=0,解得x=-3或3∴函数的零点为-3和3.（4)由f(x)=0得x2-4x-12=0,

即(x-6)(X+2)=0解得x=6或x=-2∴函数的零点为-2和6.解:

思考4:

结合函数零点的几何意义，你还能想用别的方法来求零点吗？

根据函数

f(x)的的图象和性质，得出

f(x)的图象与x轴交点的横坐标。1.写出下列函数的零点：-1，3练习

问题3:

由以上可知，当我们无法用公式解方程f(x)=0时，我们可以用怎样的方法来求其实数解？

利用函数y=f(x)的性质和图象，找出函数的零点，从而得到方程的解。

问题4:

对于二次函数

f(x)=x2-2x-3

，观察它的图象，发现它在区间[2,4]和[-2,0]各有一个零点.(1)这时，函数图象与x轴有什么关系？

(2)你认为应如何利用函数

f(x)的取值规律来刻画这种关系？①在零点及其附近，函数图象连续不断；②函数图象在零点处穿过了x轴。

函数图象在区间(2,4)上，函数图象从下到上穿过了x轴，即f(2)<0

，f(4)>0，∴f(2)f(4)<0.

在区间(-2,0)上，函数图象从上到下穿过了x轴，即f(-2)>0

，f(0)<0

，∴

f(-2)f(0)<0.

(3)再任意画几个函数图象，观察零点所在的区间，以及在这这一区间上函数图象与x轴的关系.类似地，你得到用函数

f(x)的取值规律的方法吗？

函数图象在区间[1,3]上连续不断；并在(1,3)上从上到下穿过了x轴。

函数图象在区间[2,4]上连续不断；并在(2,4)上从下到上穿过了x轴。

函数图象在区间[0,2]上连续不断；并在(0,2)上从下到上穿过了x轴。

问题5:

由以上的分析，你能说说在区间(a,b)上，y=f(x)在什么样的情况下一定有零点？

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有

f(a)f(b)<0，那么

函数y=f(x)在区间(a,b)

内有零点，

即

存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.函数零点存在性定理

问题6：(1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有

f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？

“在区间[a,b]上图象连续不断”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可。

(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？(4)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0

，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但是否只有一个零点呢？

“在区间[a,b]上图象连续不断”和“f(a)f(b)<0”是函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。

即此定理不可逆。

函数零点存在定理可以判定函数有零点，但不能判定零点的个数。(5)如何理解函数零点存在定理？如果函数y=f(x)在区间[a,b]具有单调性呢？

若函数又同时具有单调性，则可以判定函数只有一个有零点。

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有

f(a)f(b)<0，那么

函数y=f(x)在区间(a,b)

内有零点，

即

存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.函数零点存在性定理

理解此定理时应注意以下几个问题：

(1)此定理不可逆.即

若函数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但有零点，却不一定满足上述两个条件.

因此

，上述两个条件是函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点的充分不必要条件。

(2)此定理不能确定零点的个数.即

若函数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但零点不一定只有一个。

但若函数y=f(x)在区间(a,b)内还同时具有单调性，则函数在这区间(a,b)上只有一个零点.返回练习

下列三图分别是同一个函数在不同范围的图象，你能仅根据其中的某一图象，得出函数在某一个区间上只有一个零点的判断？为什么？(教材P144练习第1题)

不能。

因为当自变量在不同的范围内取值时，图象呈现的细节有可能不相同。

在本题中，当x∈(-200,200),x∈(-20,20),x∈(-2,2)时，看到的零点个数是不同的。所以确定函数的零点往往需要函数的了解函数的性质，并借助相关的定理例2.求方程lnx+2x－6=0实数解的个数例析解：

设函数f(x)=lnx+2x－6，则f(x)的定义域为(0,+∞)

列表，并作出f(x)的图象x1

2

3456789f(x)

-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972f(2)<0,f(3)>0，即

f(2)f(3)<0.由函数零点存在定理，f(x)在(2,3)内至少有一个零点.又∵f(x)=lnx+2x－6是增函数,∴f(x)是只有一个零点,方程lnx+2x－6=0有1个实数解.由表和图象得f(x)=lnx+2x－6

思考1：以上解法中，列表和作图都借助了工具。事实上，本题还可以先判定函数是增函数，再让x在定义域内取值，由f(x)的符号来得出零点的个数。除此之外，你还有别的解法吗？例2.求方程lnx+2x－6=0实数解的个数另解：

由lnx+2x－6=0得lnx=-2x+6

设f(x)=lnx,g(x)=-2x+6.

作出函数

f(x)和g(x)的图象，如右.

由图知，

函数f(x)和g(x)的图象只有一个公共点P(x0,y0)，其中x0∈(2,3)∴方程lnx=-2x+6只有一个解,

即lnx+2x－6=0有1个实数解.f(x)=lnxg(x)=-2x+6减函数增函数思考2：如何判定函数y=f(x)零点(或方程f(x)=0的解)的个数？思路1.解方程法：思路2.性质法：一是直接解方程f(x)=0或判断方程解的个数;根据函数f(x)的性质和零点存在定理进行判断

二是利用函数图象.由函数f(x)=0得g(x)=h(x)，再分别作出g(x)和h(x)的图象，则两图象的交点个数得出结论例3.判断函数

f(x)=4-3x+log2x有多少个零点？解：

思考1：若不借助计算工具和软件，函数

f(x)=4-3x+log2x图象容易作出吗？

若不易作出，有哪一些思路？思路2：转化判断方程4-3x+log2x=0根的个数.思路1：在定义域内，让x取一些值，由f(x)的正负来判断；另解：

由

f(x)=4-3x+log2x=0得log2x=3x-4

设f(x)=log2x,g(x)=3x-4

作出f(x)和g(x)的图象

由图可得

函数f(x)和g(x)的图象有两个公共点。

∴方程4-3x+log2x=0有两个实数解，即

f(x)=4-3x+log2x有2个零点。g(x)=3x-4f(x)=log2x例3.判断函数

f(x)=4-3x+log2x有多少个零点？思考2：这种解法好不好，为什么？若

f(x)=4+3x+log2x呢？

不好。

一是事先并不知道各个零点所在的大致区间，二是x取哪一些值不好把握。

但若如例2中，函数是增函数或减函数，则这种方法则比较方便。

思考3：你能用例2的方法来判断方程4-3x+log2x=0