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第四讲数学归纳法证明不等式一.

数学归纳法在数学研究中，人们会遇到这样的情况，对于任意正整数n或不小于某个数的任意正整数，都有某种不等关系成立，为表达这样的关系，就出现了一些与无限多个正整数相关的命题,当这些无限多个正整数相关的命题，不易用以前学习过的方法证明,我们将使用一种重要的数学推理方法——数学归纳法，用数学归纳法会收到较好的效果.一.

数学归纳法通过分析这个问题的特点可以知道，由于正整数有无限多个，故我们无法对它们一一验证，要证明这个问题，必须寻找一种用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法由此猜想我们先从多米诺骨牌游戏说起，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下，而第二块骨牌倒下一定导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都会倒下，可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下（即第k块倒下相邻的第k+1块也倒下）类似多米诺骨牌游戏，我们设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长的一对，可以验证，（1）当n=1时，等式☆的左右两边都等于-1，此时的等式☆成立。（2）若从当n=k时等式☆成立能推出n=k+1是等式☆成立，则可证明上述问题。证明：左边=所以当n=k+1时等式成立。由（1）（2）可知，原式成立。

1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的n的值，如n0＝1)(归纳奠基）

；

2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.数学归纳法：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！用上假设，递推才真注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.（1）验证：n=n0（n0∈N+）时命题成立。（2）证明：假设n=k（k≥n0）时命题成立，则n=k+1时命题也成立。对所有的n

（n0∈N+，n≥n0）命题成立奠基假设与递推下面的图框表示了数学归纳法的基本步骤特别提示:数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.课堂练习:CBBCBD利用数学归纳法也证明几何问题特别提示:用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第

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