专题11 圆锥曲线的切线问题(解析版)

结论十一：圆锥曲线的切线问题结论过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)二R2.0000过椭圆灯+凸=1上一点P(x,y)的切线方程为恥+注-1.a2b2 00 a2b2已知点M(x,y),抛物线C:y2=2px(p^0)和直线l:yy=p(x+x).0000当点M在抛物线C上时，直线l与抛物线C相切，其中M为切点，丨为切线.当点M在抛物线C外时，直线l与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.当点M在抛物线C内时，直线l与抛物线C相离.解读在以上的结论中，我们可以用类比的方法，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果。典例过双曲线C:匚-壬-=l(a>0,b>0)上一点p作双曲线C的切线l,若直线OP与直线l的斜率均a2b2存在，且斜率之积为5，则双曲线c的离心率为( )A.迺 B.迈 C.逅 D.迈5 3 5 5解析【答案】C【详解】设P(xo,yo),由于双曲线C在点P(xo,y丿处的切线方程为一卡齐二1，故切线l的斜00 00 a2 b2,b2x rr 2 b2xy2 b22率k二一；因为k-k=~，则一，则一—二，即双曲线C的离心率a2y OP5 a2yx5 a25000e—岸-原V5 5反思本题先设P(x,y)，则可得切线1为一°——1，从而可求出直线1的斜率k-—，再由题00 a2b2 a2y0b2xy2 b22意可得一一c，则得一—二，进而可求出双曲线的离心率。本题考查双曲线的方程与性质，a2yx5 a2500考查考生直观想象、数学运算的核心素养，解题的关键是求出双曲线c在点P(x0，y0)处的切线方xxyy- 了b2x程为0-0二1，则有切线l的斜率k= 0，再结题意可得答案，属于中档题a2 b2 a2y针对训练*举一反三1.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为—+—=l(a>b>0)，则椭圆在其上一点A(x,y)a2b2 00处的切线方程为芳+计=1，试运用该性质解决以下问题；椭圆c1：宁+y2=1，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C］的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点，则"CD面积的最小值为()A.1c.D.2xx [xx [T+y1y=1，令【答案】C【详解】设B(x1,y1),(x1>0,y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为:1X—1X—2xi211X二yxy1112y=0，可得c(一,0)，令x=0x1

1可得D(°,)，所以^OCD面积S=y1又点B在椭圆上，所以亍+人2=1所以S=丄x1y1x2+y21xy11亠+竹＞2：厶丄=迈2y1x1 2y1x1当且仅当赤=，即x1=1,丁弓时等号成立，所以“cd面积的最小值为112.过点P(3,4)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，则AB=【答案】D【解析】设A(x1，人),B(x2,y2)，则直线皿的方程为x1x+y1y=4，直线刖的方程为x2x+y2y=4点(3,4)均在两直线上，故3x1+4y1=4,3x?+4y?=4，直线AB的方程为3x+4y=4.点(0,0)到直线AB的距离d=4，贝到直线AB的距离d=4，贝卅AB=2J4-二5 V2525=w•本题选择D选项.).A.1B.2C.1或2D.-1或23.过点M（2,—2p）作抛物线x2=2py（p>0）的两条切线，切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则p的值是（【解析】由题意得y【解析】由题意得y=2pxx xxy=7-y1，y=方-y2,y'=，设切点分别为A（x，y），Bxx xxy=7-y1，y=方-y2y-y1=予X-Py-y2=咛X-X2)2x变形为由于两条切线都这M点，所以过A,B两点的直线方程为-2p= -儿变形p2x_y=弐+2p，与抛物线组方程组<py= +y=弐+2p，与抛物线组方程组<pP ，消去x得x2=2py4p2+8py2-4p2y-8y+4p3=0,y+y= =12，解得p=1或p=2，选c.1 2p已知过圆锥曲线F+21=1上一点P（x,y）的切线方程为F+寻=1.过椭圆乞+兰=1上的点mn oo mn 12 4A（3,-1）作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（）A.x-y-3=0 B.x+y-2=0C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0【答案】B【详解】过椭圆 + =1上的点A（3，-1）的切线1的方程为 + =1，即x-y-4=0，切线112 4 12 4的斜率为1.与直线1垂直的直线的斜率为-1，过A点且与直线1垂直的直线方程为y+1=-（x-3）,即x+y—2=0.过圆x2+y2=r2上一定点P（x,y）的圆的切线方程为ooxx+yy二r2.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆—+兰=1上的点A(3,-1)作椭圆的切线l.则过A0 o 12 4点且与直线l垂直的直线方程为()A.x+y—2=0? B.x—y—3=0C.2x+3y—3—0 D.3x—y—10—0【答案】A【详解】过椭圆兰+兰—1上的点A(3,—1)的切线l的方程为琴+¥—1,即x—y—4—0，切线lTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"12 4 12 4的斜率为1,与直线l垂直的直线的斜率为-1，过A点且与直线l垂直的，直线方程为y+1——(x一3)即x+y—2—0.关于椭圆的切线由下列结论：若P(x,y)是椭圆兰+兰—1(a>b>0)上的一点，则过点p11 a2 b2的椭圆的切线方程为辛+学—1.已知椭圆C:兰+兰—1•利用上述结论，则过椭圆C上的点a2 b2 4 3P(1,n)(n>0)的切线方程为 .【答案]x+2y—4—0x2y2 3 3【解析】由题意，将x—1代入椭圆方程C:—+[—1，得y—，所以P(1，T，所以过椭圆C上的点4 3 2 23 3yp(i，2)的切线方程为兰+卍—1，即x+2y—4—0.2 4丁—已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB，其中A,B为切点，当点P(x0,y°)为直线l上的定点时,则直线AB的方禾 .【答案】y=xxx-y.200【解析】联立方程得：2二；=°消去y,整理得x2-4x+8=0