第11章-量子力学基础

第十一章量子力学基础引言19世纪末，经典物理对物理现象本质的认识似乎已经完成。其三大支柱为：牛顿力学、麦克斯韦电磁理论、热学及经典统计力学。但在喜悦的气氛中，还有两朵小小的令人不安的乌云：

跳出传统的物理学框架！寻找以太的零结果热辐射的紫外灾难寻找以太的零结果相对论（高速）热辐射的紫外灾难量子论（微观）量子概念是1900年普朗克首先提出的。后经爱因斯坦、玻尔、德布罗意、玻恩、海森伯、薛定谔、狄拉克等物理大师的创新努力，20世纪30年代，建立了一套完整的量子力学理论。“量子”的含义量子物理学：作用或者改变以不连续的方式，一份一份地进行

经典物理学：作用或者改变以连续的方式（无限小）进行

→问题的处理方式是微分和积分。

→问题处理方式不是微积分，而是按个数处理。一、热辐射:1、热辐射:物体由于热运动而向外辐射电磁波的现象。③当电磁波辐射到物体表面时，表面对于辐射能一部分吸收，一部分反射。2、热辐射的实验结论：①任何物体在任何温度下都辐射电磁波；②辐射电磁波的能量及能量按波长的分布均与温度有关；随着温度的升高，热辐射峰值由红外→可见→紫外。实验表明：好的辐射体同时也是好的吸收体。§11-1黑体辐射普朗克量子假说3、描述热辐射的物理量：单色辐出度：物体在单位时间内由单位面积上辐射的单位波长间隔内的辐射能。(又称单色发射本领)单色吸收比：频率范围中所吸收的能量与入射能量之比。—称为黑体（BlackBody）4、基尔霍夫热辐射定律：

在相同温度下，任何物体的单色辐出度与单色吸收比总是成正比，比例系数是一个只取决于温度和波长的函数。对黑体单色辐出度的研究是热辐射研究的中心课题。与物体特性无关，是波长和温度的普适函数。注意：黑体并不“黑”。二、黑体辐射:用不透明的材料做一个空腔，开个小孔，小孔表面就是一个黑体的表面。实验表明∶黑体辐射的电磁波与组成黑体的材料无关，只与温度和波长有关。辐射总能量随温度增高而迅速增大。1700k1500k1300k黑体单色辐出度与波长的关系：瑞利和金斯经典电动力学和统计物理学此公式在长波部分与实验相符很好，但当时引起发散——“紫外灾难”。

三、经典物理遇到的困难：实验瑞利-金斯短波长波0普朗克根据实验数据和数学插值法找到了一个经验公式：四、普朗克能量子假说：实验T=1646k瑞利-金斯普朗克理论值

为解释他提出的经验公式，普朗克提出了：电磁辐射的能量不能取连续变化的值，每次辐射的能量正比于频率E

∝υ。普朗克能量子假说∶3、谐振子辐射或吸收电磁波的能量也是不连续的，只能一份一份地进行，每份能量是hv。2、谐振子的能量是不连续的，只能取某一最小值ε0=hv的整数倍1、黑体中的分子、原子视为带电谐振子，它辐射或吸收电磁波核心思想：电磁波和物质相互作用是以不连续的方式、一份一份地进行的，每份能量和其它份能量都是独立的，具有粒子的属性，可称为“能量子”。课前作业33：2、什么叫光电效应的截止频率和遏止电压？为什么经典电磁理论无法解释光电效应？光电效应发生的图景该是什么样子？3、什么叫X射线散射的康普顿效应？为什么会有这种效应？如果用可见光做康普顿效应，会有什么不同？1、普朗克早年幸福美满，后半生惨痛坎坷。了解普朗克的生平，他的经历会给你哪些感悟？5、α粒子的大角度散射实验证实了原子的核式结构，但按经典电磁理论，这样的核式结构原子是不稳定的，它会很快塌缩到原子核上，原子的发射光谱也不是线状光谱，而是连续光谱。面对这样的矛盾，你该如何抉择？4、氢原子的发射光谱是线状光谱。里德伯将氢原子发射光谱的巴尔末公式修改为波数的形式，这种修改只是改变了公式的表面形式，内容不变，但却有非常重要的意义，为什么？普朗克：德国物理学家。大学听过亥姆霍兹的讲课：“他上课从来不好好准备，讲课时断时续，经常出现计算错误，让学生们觉得上课很无聊。”这从一个侧面反映了一个优秀科学家的工作方式和他对这种工作方式的认同（认为学生们也应该熟悉、适应这种方式）：天马行空，不求严谨，活泼敏锐，疏忽细节。绝对的严谨意味着束缚在现有的知识体系中，是不能产生创造性思想的。普朗克花了很多年的时间想将量子论纳入经典物理的体系，以致他对后来量子力学的发展没有做出一点贡献。——思想方式对一个人成功的重要性。科学的真理并不会因为他的想法而改变。就像他年轻时所说：“要接受一个新的科学真理，并不需要说服他的反对者，而是等到反对者都相继死去，新的一代从一开始便清楚地明白这一真理”。——三省吾身，从善如流。普朗克经历两次世界大战，都在战争漩涡的中心，这使他经受了巨大的苦难。1942年他写道：“我突然萌发了这样的念头，要度过危机，一直活到重新崛起的转折点那天”。二战后一直坚持巡回演讲，鼓舞德国人民重新站起来，充满信心的生活。德国曾发行印有普朗克头像的马克硬币。无论生死荣辱，幸福悲哀，普朗克都能平静面对，不失谦逊，也不失对未来的希望，永远对生活充满信心，在生命的最后岁月依然为在悲观失望中的人们中间传播文明和希望坚持工作。普朗克的经历告诉我们：无论地位和财富如何，在社会大动荡面前，每个人的命运都是微不足道的。不要怨恨命运的不公，我们能够做的就是珍惜人生，力所能及地帮助身边能够帮助到的人们，并永远对生活充满信心和希望。§11-2光电效应爱因斯坦光子理论一、光电效应：金属表面被照射后释放电子的现象。逸出的电子叫光电子。实验装置：A─阳极K─阴极G─电流计U─电压表UG光电效应的实验规律：对于某种金属，只有当入射光的频率ν大于一定的频率ν0时，才会产生光电效应。频率ν0

称为该金属的截止频率。截止频率与材料有关，与光强无关

。1、截止频率：金属截止频率4.5455.508.06511.53铯钠锌铱铂19.29当ν>ν0

时，光电流随加速电压的增大而增大，最后趋于饱和。2、饱和电流:伏安特性曲线饱和光电流Is

与入射光强成正比。当反向电压大到一定数值Ua时，光电流减少至零，该电压叫做遏止电压。实验表明：遏止电压与光强无关，只与频率有关。3、遏止电压4、瞬时性：光电流是瞬时产生的。当入射光频率时，照射到光电阴极上时，无论光强怎样微弱，电流几乎同时发生。当入射光频率时，根据功能原理：→光电子的最大初动能和光的频率成正比，与光强无关。到此二、经典理论存在的困难1、经典物理解释：光电子的初动能应与入射光强成正比；实验结果：最大初动能（或者遏止电压）与光强无关。2、经典物理解释：只要光强足够大，电子就可获得足够的能量而逸出金属表面，不存在截止频率；实验结果：存在截止频率。3、经典物理解释：当光强很弱时，电子需要经一定的时间积累能量。因此，光照射后应隔一定的时间才有光电子逸出；实验结果：光电子的逸出几乎是瞬时的。实验暗示电子吸收光的能量是断续发生的，没有累积效应。三、光电效应的量子解释：光就是由这些光子组成的粒子流。每个光子的能量正比于光的频率：电子一次只吸收一个光子，获得光子的能量后，克服正离子引力而做功─逸出功A(束缚能)

，剩下的能量转化为电子逸出表面时的动能：光电效应的实质：光在空间的传播是间断的、一份一份进行的，每份之间有一定的空间距离，每份可以看做是一个独立、完整的个体，称为光量子（光子）。具体解释：①截止频率满足：④光的能量集中在每一个光子上，光子与电子相互作用时，把能量一次全部传递给电子，不需要时间积累。当ν<ν0时，能量hν<hν0=A，电子不能从表面逸出，不产生光电效应。不同金属，逸出功A不同，故ν0也不同。②光强越大，含光子数越多，从金属表面逸出的光电子越多，饱和光电流Is越大。③电子一次只吸收与它碰撞的一个光子的能量，所以光电子的最大初动能只与hν和逸出功A有关，与光强无关。§11-3康普顿效应一、康普顿效应：1、康普顿散射实验装置：X射线源探测器光阑散射体2、实验结果∶散射体入射光散射光1)φ=0时，仅有λ0的成分，波长无改变。2)φ≠0时，除λ0外，还有λ>λ0的波长存在。3)△λ与φ角有关。式中K=0.0241埃，是一个由实验测得的常量。二、经典理论的困难：当电磁波入射物质时，物质中的带电粒子受电磁场的作用做受迫振动，受迫振动的频率与入射波的频率相同。三、光子理论解释:物理模型：光子和电子的碰撞过程。这些振动的带电粒子向各个方向发出电磁波，形成散射波，所以散射波的波长只能与入射光的波长相同。相当于X光子和整个原子发生碰撞，由于光子质量远小于原子质量，碰撞前后光子能量几乎不变，波长不变。①若光子和束缚很紧的原子内层电子相碰撞时：②若光子和原子外层电子相碰撞时：相对入射X射线光子的能量而言，固体表面电子束缚较弱，可视为近自由电子。电子电子

电子热运动能量，可近似为静止电子。

物理模型：X射线光子和静止的自由电子的碰撞。碰撞过程遵循能量守恒定律和动量守恒定律。电子反冲速度很大，需用相对论力学来处理。理论值0.02426埃实验值0.0241埃。光子假设的正确性，狭义相对论力学的正确性。微观粒子也遵守能量守恒和动量守恒定律。仅与有关而与物质无关，是光子与近自由电子间的相互作用。讨论若可见光入射，则电子不能再看作是静止的自由电子，观察不到康普顿效应。物理意义光电效应与康普顿效应的异同：入射光的能量X射线可见光电子模型束缚电子自由电子守恒情况能量守恒动量不守恒能量守恒动量守恒光电效应康普顿效应单个电子与单个光子相互作用过程。相同点碰撞模型可以完全吸收光子不能完全吸收光子§11-4玻尔的氢原子理论一、氢原子光谱的规律微观世界的实物粒子的性质如何？氢原子光谱—线状光谱：光谱发射光谱吸收光谱连续光谱

线状光谱B=364.56nm为经验常数。巴耳末公式（可见光）：R为里德伯常量物理学家里德伯将巴尔末公式修改为：广义巴耳末公式：修改的意义：简化了公式→①只有从简化的公式中才能够看出隐藏其中的本质规律；②简单的东西才有可能是最基本的东西，才有可能进行有益的推广。k=1莱曼系，紫外区，k=3，帕邢系，红外区…基本规律的简洁和优美非常重要，繁琐复杂是一门学科不成熟的标志，像医学（中、西医），生物学、经济学等。任何事物的顶层设计都应当是简洁的，“大象无形”。——战略上简单，战术上复杂。但不是极端简洁，显得粗俗鄙陋，“简洁而不失设计”。二、经典的原子核式模型：α粒子的大角度散射2）电子绕原子核旋转。1）原子的中心是原子核，集中了原子中全部的正电荷和几乎全部的质量。3）原子核的体积比原子的体积小得多。原子半径~10-10m，原子核半径10-14~10-15m。按经典电磁理论：2、卢瑟福模型的缺陷:原子不稳定原子发射连续光谱。实验规律：原子的发射光谱通常不是连续的，而是分立的。电子运动频率电子辐射频率电子能量连续减少连续变化连续变化连续光谱课前作业34：2、粒子和波是完全不同的事物，它们之间的区别主要在哪里？光既是粒子又是波，这是一幅怎样的图景啊？光在哪些方面表现出粒子性，又在哪些方面表现出波动性？3、徳布罗意认为所有的物质都具有波粒二象性，称为物质波。物质波的波速是多少？它会大于光速吗？怎么理解物质波的波速、频率和波长的意义？它们现在能不能直接测量？物质波的传播需要媒质吗？物质波和传统意义上的波动是一回事吗？1、玻尔在解决氢原子光谱问题时，为什么支持原子的核式模型，而否定经典电磁理论？玻尔为什么只能寻求一种不完美的解决方案来解释氢原子光谱？普朗克提出并由爱因斯坦所发展的量子概念卢瑟福的原子模型原子的玻尔模型三、玻尔的氢原子理论:原子的核式模型+经典电磁理论→和实验产生矛盾。经典理论的连续性概念和氢原子光谱的分立性相矛盾。巨大困难：微观世界多体问题（原子核、电子和光子）的求解，需要掌握微观世界的基本规律才可以。如果要解释氢原子光谱，只能寻求一种不完美的解决方案：——量子思想+经典电磁理论要学会忍受缺陷、忍受不完美。孙悟空：“天地尚不完美，何况佛经呢？”氢原子光谱的分立性→氢原子内部状态是分立的、不连续的。——原子的能量和状态不连续，而每一个允许存在的状态都是稳定的，不发射电磁波。当原子从一个状态跃迁到另一个状态时，会发射电磁波，发射电磁波的能量等于两个状态的能量差。①定态假设：原子处于一系列不连续的稳定状态─定态，各定态的位置和能量只能取某些分立的值。定态时，电子加速运动，但不辐射能量。1、玻尔的氢原子理论的基本内容：定态的能量是确定的值，称为能级或者能态。定态能量和状态参数（半径、速度等）可以根据氢原子光谱、上式和经典电磁理论计算。②跃迁假设:电子由一定态向另一定态跃迁时，发射（或吸收）单色光，且有：→氢原子发射电磁波的频率是不连续的，分立的。③轨道角动量量子化:电子绕核运转的轨道角动量L只能取的整数倍的值。计算发现：处于定态的电子的轨道角动量满足量子化条件：2、氢原子光谱的计算：轨道角动量量子化条件+跃迁发射电磁波的公式+经典电磁理论→氢原子光谱。讨论∶①电子轨道半径是不连续的，即是量子化的。②对氢原子，Z=1，则称为玻尔半径。氢原子其它半径为：氢原子的能级公式：n=1称为基态。n=2,3...称第一激发态，第二激发态等。注意∶①En为负值②当n→∞时，En→0（rn→∞)—自由静止的电子态。③电离能：电子从n态脱离原子核所需要的能量。△En=E∞

-En=

︱En︳

——相对自由、静止的电子态。和实验值非常接近莱曼系巴耳末系帕邢系布喇开系En=E1

/n2E4=-0.85eVE3=-1.51eVE2=-3.4eVE1=-13.6eV氢原子能级图能级跃迁示意图：3、玻尔氢原子理论的成功和缺陷：理论保留的经典概念和公式，像轨道、库仑定律、向心力等，在微观世界已经不适用了→玻尔理论不能解释多电子原子的性质和原子是如何结合成分子、构成液体、固体的。a）第一次对实物粒子引入了量子化的概念；b）

提出“定态”，“能级”，“量子跃迁”等概念。玻尔的氢原子理论作为量子物理和经典物理结合的半成品，在量子力学的发展史上是不可或缺的。解决问题时如果力不能及，要允许瑕疵，因为事物不可能永远恰到好处。人也不可能都生逢其时，可以一展抱负。待人处事上，要学会包容别人的缺点。[例1]氢原子n=2

轨道上的电离能为多少?基态氢原子吸收能量为15eV的光子后电离出来的电子的初动能多大?解∶n=2轨道电离能氢原子基态电离能为13.6eV，故氢原子吸收15eV的光子，电子电离后以15﹣13.6=1.4eV的动能自由运动。[例2]气体放电管中，用携带能量为12.2eV的电子轰击处于基态的氢原子，试计算此时氢原子可能辐射的谱线的波长。解∶由氢原子能级公式：氢原子最多吸收12.09eV能量，被激发到n=3能态。电子从n=3的激发态跃迁到基态时可发出三条不同的谱线3→2，2→1，3→1。巴耳末系莱曼系第11章作业1：15-2，15-3，15-11，15-12，15-13，15-18。玻尔：丹麦物理学家。哥本哈根精神：平等自由地讨论，同时又相互紧密合作。“不怕承认自己知识的不足，承认自己是傻瓜”。玻尔大学轶事——一个天才拒绝直线思维的故事：物理考题:用一个气压计确定摩天大楼的高度。11种答案：绳子吊，下落时间，单摆周期差，影子比例，气压差等。创造性思维要经常保持一种不墨守成规（叛逆）的心态。11-5实物粒子的波粒二象性一、光的波粒二象性：

波动性：在空间弥散，分支之间相干叠加，振幅2代表强度。粒子性：在空间集中于一点，个数代表强度。——将标志波动性质的频率和波长，通过一个普适常量—普郎克常数，与标志粒子性质的能量和动量联系起来。说明：两种相反属性集中在一种物质（光）的身上，令人疑惑不解。光在传播过程中主要表现出波动性，光在和其它物质相互作用时主要表现出粒子性。徳布罗意深信自然界在本质属性上是对称的→波-粒对称性应该是全体物质都满足的对称性。据说徳布罗意是在失恋时到大海边闲坐时发现的：海浪连绵起伏，无边无际，感触到整个世界都以波动的形式存在着。光的这种存在形态是不是具有普遍性？如果自然界的所有物质都是既以波的形态存在，又以粒子的形态存在，则具有波-粒对称性。启发：不论面对多大的悲伤都不要在意，更不能一蹶不振，因为前方可能有更美好的事物在等待着你去发现、去邂逅！任何失败和挫折都没什么大不了的。人生短暂，若白驹过隙，没有时间感伤，抓住有限的时间做有意义的事情。二、德布罗意假设：质量为m的粒子，以速度v匀速运动时，可以看做是一个平面波，其频率ν，波长λ为：这种波称为德布罗意波或物质波。三、电子衍射实验—物质波的验证实验电子束透过多晶金箔的衍射K四、应用：物质波的一个最重要的应用就是电子显微镜的发明。显微镜的分辨本领与波长成反比，电子显微镜的分辨本领比光学显微镜高。1）石头，质量为100克，速度为100厘米/秒厘米2）电子，质量约为10-27克，速度为6×107厘米/秒厘米所有的物质都具有波粒二象性，但为什么现实生活中我们感觉不到宏观物体的物质波呢？物质波的本质——和经典的波动是一回事吗？物质的速度v≤c理解：1）物质波的速度不代表能量传递的速度。物质波的速度不是物理可测量量，它是一种虚拟的速度，当前没有实际意义。2）物质波波长是可测量量，物质波干涉条纹间距∝波长。波速v=λυ，所以目前物质波的频率也没有直接的测量意义。3）由于物质波波速≠物质实际速度，所以物质本身并不是物质波传播的载体，物质波没有传播它的载体（介质）。物质波从本质上说不同于通常意义上的波，只是在波的传播和叠加上遵循通常波的传播和叠加原理。课前作业35：2、因为物质波并非经典意义上的波动，如果想用波函数来描写微观粒子的状态，传统的波函数的形式是否应该做出改变？波函数的具体取值是否仍然很重要？3、对微观粒子波粒二象性的描述中，波动性和粒子性相较经典物理的概念有哪些不同？波动性和粒子性对微观粒子来说哪个更根本？描写微观粒子的波函数有什么物理意义？1、由于波粒二象性，描写微观粒子状态的物理量是否应该做出变革，不能沿用经典力学中的概念，像位置、速度、加速度、动量、能量等？如果是这样，微观粒子的运动状态该用什么来描写？4、历史上为解释粒子的波动性，曾出现过“隐变量理论”，该理论认为粒子的随机行为可以归结为有一些物理量暂时不能被测量到，所以看起来粒子的行为具有随机性，这些不能被测量到的物理量统称为隐变量。你认为隐变量理论和波粒二象性理论之间最大的矛盾在哪里？隐变量理论会正确吗？5、描写微观粒子的波函数必须要满足哪些条件？为什么要满足这些条件？6、经典的波函数是对一个经典的波动的完备描述，即可以从波函数中提取任何有关该波动的物理信息。那么微观粒子的波函数也是对微观粒子状态的完备描述吗？7、什么叫不确定度？为什么测量微观粒子的任一个物理量时都可能会出现不确定度不为零的情况？§11-6波函数一、波函数：经典力学：位置、速度、加速度、动量、能量等。问题：微观粒子的运动状态用什么来描写？1、自由粒子的波函数:在经典物理中，沿x方向传播的平面波的波函数为：描写物质的方法：这样一种数学描写方式适合物质波吗？理解：1）物质波描写的是一个粒子，没有位移y这个物理量，具体的y值不重要；2）相位仍然很重要，它表征了两个物质波相干的重要条件，但同y值一样，相位也是不可测量量；3）振幅同样重要，它代表最后的测量量：振幅2=强度。(注∶欧拉公式∶)→物质波的波函数不改变振幅和相位的具体数学形式，弱化波函数的具体取值。→物质波波函数应该将振幅和相位以不同的数学形式分开来表述，再乘在一起。这是一个频率和波长确定的自由粒子的平面波。推广到三维空间：进一步：波函数的振幅由：得：→波函数的具体取值没有意义，有意义的是振幅的模方：代表一个物理测量量。二、波函数的意义：经典物理机械波中，波函数表示t时刻x处质点的位移。电磁波中，波函数表示t时刻x处的B或E的值。微观粒子的波函数表示什么意义呢?由于波函数描写的是粒子，相关的测量量只包括粒子是否会在某时某处（x,t）出现，以及出现的多少（个数）。首先对物质的存在形态（波粒二象性）做一个深刻地认识。历史上的不同观点：②粒子性是基本的，多个粒子形成粒子流，各粒子间相互作用显示波动性。①波动性是基本的，粒子性是由于不同频率的波叠加而形成的波包。但是两种观点都是错误的：①波包在传播过程中不稳定，能量会弥散开；②的想法则被实验所否定。用一束极弱的电子束做双缝干涉实验，弱到每次只有一个电子通过双缝，这样就排除了粒子间相互作用的可能性。实验结果：一次电子只落在一个位置，在底片上形成一个斑点。曝光时间短的话，电子落到哪个位置是随机的。但随着曝光时间的增加，电子落在底片上的位置明显显示出一种统计规律，最终形成一个双缝干涉条纹的形状。电子落在明条纹处的几率最大，落在暗条纹处的几率最小。→单个粒子也具有波动性，不过这种波动性代表的是一种几率波，波的强度代表粒子出现在某处的几率。→物质波没有传播媒质，因为它只是一种代表几率的几率波。几率由波的强度，即波函数的模方表示。注意：粒子出现在某处的几率还和该处空间体积的大小有关，体积很小时，几率∝体积的大小。波函数的模方应该代表粒子出现在某处的几率密度。波函数的物理意义：表示t时刻，粒子在空间x处的单位体积内出现的概率。某一时刻，粒子在空间某处的体积元dV中出现的概率：经典波物质波衍射条纹明暗波的强度粒子到达的统计概率数学形式波函数振幅平方波函数模的平方粒子出现在某处的不确定性究竟是物质的存在本质决定的，还是因为我们对物质缺乏了解造成的？隐变量理论：有一些物理量不能被测量到，所以看起来粒子的行为具有随机性。隐变量理论的本质：否定粒子具有波动性，无法解释粒子传播过程中的空间相关性和干涉条纹的概率分布。→物质的存在本质就具有随机性，“上帝掷骰子”。总结——波粒二象性中，波动性和粒子性都是根本属性，两者同等重要，没有谁更本质之说。波动性仍然满足经典波的传播和叠加的原理（惠更斯-菲涅尔原理），但它在测量时体现的是一种几率波。粒子性仍然具有经典粒子的会聚特性、但它的行为是随机不定的，没有轨道的概念。互补原理：物质有不同的侧面，它们是相互对立的，但又必须共同存在，才能对一个事物做出完备的描述，追究既互斥又互补的两个方面哪一个更根本是没有意义的。三、波函数满足的条件：1）归一化条件：在整个空间发现粒子的总概率为100%波函数应是单值、有限、连续的函数。2）标准条件：经典波函数是对一个经典波动的完备描述。特性：物质波波函数是对一个粒子状态的完备描述，从波函数中可以提取出有关这个粒子的任何物理信息。当波函数确定后，粒子的任何一个物理量的取值以及它取各种可能值的几率都完全确定。

[例1]一粒子被限制在两个不可穿透的壁（间距为l）之间,描写粒子状态的波函数Ψ=cx(l–x)

,其中c是待定常数，求在0～l/3区间该粒子出现的概率.解:由归一化条件:即:则在0～l/3

区间内发现粒子的概率为：四、不确定关系：Δx：粒子在位置x上的不确定度物质波是概率波→一个确定状态下粒子出现的位置是不确定的，可以引入不确定度的概念：Δx越大，说明粒子在位置x方向上的不确定性越大。粒子在其它物理量的测量上也有不确定性吗？粒子以波的形态存在，波满足线性叠加原理。→粒子所处的状态可以是很多不同性质的波的叠加态。设是在x方向动量为确定值px的粒子态的波函数则Ψ(x,t)代表不同动量态的混合态，其动量值是不确定的。一个物理量的不确定度取决于粒子所处的状态（波函数）。对任何粒子态，粒子的位置和同一方向上的动量的不确定度满足：Δpx：粒子在动量px上的不确定度物理意义微观粒子同一方向上的坐标与动量不能同时准确测量，它们的精度存在一个不可逾越的限制。假如粒子的位置完全确定Δx→0，那么粒子动量Δpx→∞。对单缝处的粒子态而言，粒子在x方向位置Δx≈a越小，粒子在x方向动量Δpx越大，条纹越宽。（2）粒子的能量和存在时间也有关系：时间不确定度Δt即粒子的寿命，能量ΔE称作能级宽度。

（3）对宏观粒子，因很小，所以可视为位置和动量能同时准确测量。[例1]足球质量m=45g，速度v=40m/s，如果动量的不确定度为1%，则位置的不确定度估算为多少？[例2]电子质量me=9.110-31kg，原子中电子的x10–10m，求其速度的不确定度？

Δvx与电子在轨道上的速度(约106m/s)相差不多，所以不能同时确定电子的位置和速度。课前作业36：2、量子力学中的算符是用来做什么的？人们为什么对所有的物理量都要引入算符的概念？量子力学中，算符比物理量本身更重要，但算符并不直接对应物理测量量，怎么寻找它们之间满足的方程？1、经典物理中，基本物理规律是通过确定条件下各个物理量之间满足的方程给出的。在量子物理中，也是相同的情况吗？如果不是，量子物理的基本方程是关于什么的方程？3、什么是求解薛定谔方程的定态问题？为什么在定态问题中，粒子的波函数可以分解成？4、求解薛定谔方程时，边界上波函数连续的条件非常重要，说说它在求解无限深势阱中的波函数时起到的具体作用。5、如何理解在隧道效应中粒子有一定的几率穿透比它能量高的势垒到达另一侧？因为从经典力学来看，这是完全不可能的。6、现在你理解“量子力学”这个名称的缘起和含义了吗？量子力学的核心思想是什么？7、氢原子的角动量的空间取向真的是量子化的吗？如何把Z轴选在角动量的方向上，则此时角动量在Z轴的投影值是吗？§11-7薛定谔方程一、建立薛定谔方程的准备：经典力学：已知质点的受力情况+初始条件牛顿运动方程量子力学：已知微观粒子能量+初始条件关于？的方程微观粒子任意时刻的量子状态质点任意时刻的物理量：等。到此关于物理量之间关系的方程关于波函数满足的方程相互作用（力）改变的是粒子的波函数，然后观测者再从改变了的波函数上提取粒子的各种物理信息。难点：构造一个全新的力学体系！量子力学中，物理量算符的重要性>物理量本身的重要性。量子力学的基本方程是关于物理量算符之间满足的方程。

如何从一个波函数上提取粒子的物理信息？引入算符的概念：一个物理量对应一个确定的算符，把该物理量的算符作用到波函数上，就可以提取出关于该物理量的全部信息。量子力学的基本方程是关于算符作用于波函数上的方程。物理量算符之间满足经典物理学中相应的物理量之间的关系。——物理公式不变，只是把各个物理量变为相应的算符，再作用到波函数上去。任务：1）寻找各物理量的算符；2）寻找各算符满足的方程。难点：算符和算符满足的方程不直接对应实验测量结果。二、物理量算符的寻找：能量为E，动量为P，沿x方向运动的自由粒子的波函数：对t求一阶偏导：对x求一阶偏导:动能算符（v<<c）为：猜测:为动量算符。猜测:为能量算符。推广到三维空间：动能算符为：动量算符为：其中：一维自由粒子满足的经典力学方程为：三、薛定谔方程：设粒子在某力场中的势能函数为U(x,t)，则：即：对以位置为自变量的波函数而言，势能算符就是势能本身。用算符替换相应的物理量，并作用到波函数上，得到：一维非自由粒子满足的经典力学方程：注意：非保守力场也可以引入势能概念（含时势能）。推广到三维空间：一维含时薛定谔方程定态问题：保守力系统，势能函数与t无关，即U=U(x)

。四、定态薛定谔方程：定态问题中，粒子能量不随时间变化。根据寿命和能量的不确定关系，粒子可以长久稳定地处于同一个能级。定态问题中，粒子状态是稳定的，粒子在空间各点出现的几率不随时间变化。把t和x分离开来，波函数可写成：一维定态薛定谔方程解得：E为粒子的能量。1）薛定谔方程是猜想建立的，不是推导出来的。2）微观粒子的运动状态用波函数描述及波函数满足薛定谔方程，应看成量子力学的基本原理。3）薛定谔方程建立过程中假设了：物理量算符之间满足的规律和经典力学中相应物理量之间满足的规律完全相同。4）薛定谔方程是低速条件下的经典力学的推广，对高速粒子不成立。注意：§11-8薛定谔方程的简单应用给出势能U(x)，求解定态薛定谔方程+标准条件、归一化条件。一、一维无限深势阱：实例：金属中的自由电子。一维定态薛定谔方程：分段求解：x≤0

和x≥a，。0

≤

x≤a令，则有:其通解为：A、B、k可由边界上连续的条件和波函数归一化条件确定。根据边界条件，在x=0，x=a处ψ=0，可得：∴波函数：(n=1,2,3...)——无限深势阱中，粒子能量是量子化的。n是定态标志由归一化条件：一维势阱中粒子的波函数：得：粒子出现的的概率密度：——概率密度分布不均匀。二、一维势垒、隧道效应:这种势能称为一维方势垒。在区域Ⅰ中沿x轴运动的粒子，当能量E<U0时，按经典理论，粒子不可能进入区域Ⅱ，达到区域Ⅲ。ⅠⅢⅡ定态薛定谔方程:（Ⅱ区）（Ⅰ、Ⅲ区）边界上连续→区域Ⅱ、Ⅲ中Ψ(x)不为零。其解：（Ⅱ区-衰减波）（Ⅰ区-行波）（Ⅲ区-行波）E<U0时粒子可以穿过势垒到达区域Ⅲ，称为隧道效应。分析：说明经典力学的概念和规律在微观领域已经失效了。微观粒子以波的形式存在，用波函数描写其运动方式，并用特定的算符从波函数中提取物理量的值。由此得到的物理量的值不一定满足经典物理学的规律。穿透几率：势垒越宽，势垒越高，穿透几率越小。（Ⅱ区）譬如，动能不一定永远取正值。把针尖和物质表面作为两个电极，当物质表面与针尖的距离非常小（<1nm）时，在外电场作用下电子即会穿过两极间的绝缘层流向另一极，产生隧道电流。扫描隧道显微镜(STM)

利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上可以利用探针和材料平面间的作用调度材料平面上的原子。

量子力学名称的缘起和含义：1）电磁波以量子（一份一份）的形态产生，传播和吸收；2）实物粒子以波动的形态存在，其满足的力学规律完全不同于经典力学的情况。量子力学的本质和核心思想：所有物质既是波，又是粒子，存在形态都是波粒二象性的。时间、空间融合在一起狭义相对论粒子性和波动性融合在一起量子力学当粒子处于束缚态时，粒子的存在形态（能量、位置等）是不连续的，量子化了。§11-9氢原子一、氢原子的量子力学处理方法:电子的势能为：电子的三维定态薛定谔方程：二、重要结果：1、能量量子化1）当E>0时，对E的任何值，方程都有解。—氢原子电离，电子为自由电子2）当E<0时，氢原子能量只能取分立值：n=1,2,3…称为主量子数，决定电子的能量。能量确定后，电子的角动量L可以有n

个不同的值。2、角动量量子化：具有确定能量的电子的角动量可取若干个值，角动量大小：注意：角动量大小与玻尔理论不同。l为角量子数3、角动量的“空间取向量子化”：具有确定角动量的电子，角动量L在任意一轴上（如：沿磁场方向）投影LZ也是量子化的。到此ml称为磁量子数，角动量L在某方向的投影可以有（2l+1）个可能的取值。说明电子轨道在空间有5种取向，因此角动量在Z方向的投影有5种可能的分量。但Z轴是任意选取的，若把Z轴选在角动量的方向上，则实际是：量子力学中，角动量没有方向的概念，角动量的方向是不可测量量。角动量“空间取向量子化”只是一种不准确的、简化的说法。对应每一组量子数（n,l,ml），有相应的波函数nlm

。4、波函数：电子的概率分布a0：玻尔半径。处于确定状态上的电子，其位置并不是确定的。径向概率分布：电子在r~r+dr球壳中出现的概率电子出现概率大处，雾点密度大；反之，雾点密度小。电子在核外不是按一定的轨道运动的，量子力学不能断言电子一定出现在核外某确切位置，而只给出电子在核外各处出现的概率，其形象描述—“电子云”。课前作业37：2、描写原子中电子的状态需要哪几个量子数？电子填充原子的壳层结构时，遵循哪些原则？1、怎么理解电子具有自旋？§11-10电子的自旋原子的壳层结构一、施特恩---格拉赫实验:电子绕核旋转等效于一圆形电流，具有垂直轨道方向的磁矩，称为轨道磁矩。它与电子的轨道角动量之间的关系：角动量的大小和方向是量子化的→轨道磁矩的大小和方向也是量子化的。1、轨道磁矩：2、施特恩---格拉赫实验装置及现象：具有磁矩的原子在非匀强磁场中运动时，将受到磁场力的作用而发生偏转，偏转的大小和方向与磁矩在磁场方向的投影有关。实验原理：实验结果（以银原子为例）：2）加非均匀外磁场时，在屏上银原子的痕迹分裂为上下对称的两条。1）无外磁场时，银原子不受磁力作用，得到一条正对狭缝的原子痕迹。3、实验现象解释的困难：但对基态银原子(最外层仅有一个电子，l=0