上海交大考研试题(高代)

上海交通大学研究生入学试题（高等代数）JDy97-1<3xl+4x2-5x3+7x4=0方程组是否有非零解？<2xl-3x2+3x3-2x4=0方程组是否有非零解？4x+11x-13x+16x=012 3 4^7x-2x+x+3x=01 2 3 4若有，求其通解，并写出解空间维数。（14分）JDy97-2用正交线性变换把二次型x12+2x22+3x32-4x1x2-4x2x3化为标准形，并写出该变换。（14分）JDy97-3证明：矩阵A是正定或半正定实对称的充要条件是：存在实矩阵S,使得A=STS,其中St表示S的转置矩阵。（14分）JDy97-4设A,B为n阶方阵，AB=BA，且Ak=O,对某一个k>1整数，证明IA+BI=IBI。（14分）JDy97-5设Rn[x]为次数<n的多项式线性空间，8为求导变换（即6f（x）=f'（x））,求证1-8为非退化线性变换（其中i为恒等变换），并求出8的所有不变子空间。（14分）JDy97-6已知线性无关向量组e1?e2，_,es和两个非零向量的正交组\工2，...£与g1?g2，^,gs使得fk和gk（k=1,2,...,s）可由e1，e2，.,ek线性表示，求证fk=akgk（k=1,2,...,s）,其中a^O。（14分）JDy97-7（1）设J（x）为方阵X的若当标准形，证明J（A+aE）=J（A）+aE，其中A是任一方矩阵，a是一个数。（8分）⑵求幕等方阵A（即满足条件A2=A）的若当标准形。（8分）JDy98-1叙述下列概念：1）数域；2）对称多项式；3）向量的线性相关；4）矩阵的秩；5）欧氏空间。（每小题4分，共20分）JDy98-2TOC\o"1-5"\h\z（a+p）x1+apx2 =0JX]+（a+卩）x2+a卩x3 =0求线性方程组的解： x2+（a+卩）x3+a卩x4 =0x+（a+B）x=0n-1 nJDy98-3求出一切仅与自己相似的n阶复方阵。（10分）JDy98-4_001_若A=10-1,求证：A100为单位矩阵。（10分）-011-JDy98-5若Q,卩,丫为线性空间V的一组基，V上的线性变换A满足:A(a)=3a-2p+3y,A(p)=2a-2p+6y,A(y)=-a+2p-y,求V—组基，使A在该基下的矩阵为对角矩阵。(10分)JDy98-6若A为n阶实对称矩阵，S为n阶实反对称矩阵，且AS=SA,A-S为可逆矩阵。求证：(A+S)(A-S)-1为正交阵。(10分)JDy98-7213-1若实n维向量空间V的子空间W={ V|A-0}，A=320-2，319-1试求：W的正交补的一组基。(10分)JDy98-8若f()为 的复系数多项式，复方阵A的特征值都不是f()的根。求证：方阵f(A)可逆。且其逆为A的多项式。(10分)JDy98-9若A,C为同阶正定矩阵，矩阵方程AX+XA=C有唯一解B。求证：B为正定矩阵。(10分)JDy99-1设P为数域。f(x),g(XP[x]令F(x)=(X+1)f(x)+(+x+1)g(x);G(x)二xf(x)+(x+1)g(证明：若f(x与g(x互素，^UF(x)与G(x)也必互素。(10分)JDy99-2设J为元素全为1的n阶方阵。(1)求J的特征多项式的最小多项式；(2)设f(x为复数域上多项式。证明f(J)必相似于对角矩阵。(10分)JDy99-3设n阶实对称矩阵A=(x.)，其中x.=a.a.+1，且a]+a2+・・・+a=0。求A的n个特征值。ij ijij 1 2 n设A为复数域上n阶方阵，若A的特征根全为0,证明：|A+E|=1。此处E为n阶单位矩阵。(10分)JDy99-4设f(x是数域F上的二次多项式，在F内有互不相同的根x],%，设A是F上线性空间L的—个线性变换，且Axj,Ax2I(I是单位变换)且满足fA)=0,证明x],x为A的特征值;且L可以分解为A的属于x],x的特征子空间的直和。(10分)JDy99-5用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：X]2-2%2-2養2—4淬2+4X1X3+8X1X4 (10分)JDy99-6(t+1)1x+x2+x3=t2+2tTOC\o"1-5"\h\z对t的不同的取值，讨论下面方程组的可解性并求解：x1+(t+1)x+X3=t3+2t2 (10分)x1+x2+(t+1)3x=t4+2t3JDy99-7假设A为mn实矩阵，B为n1实矩阵。AT表示A的转置矩阵，证明：(1)AB=0的充要条件是ATAB=0;(2)矩阵ATA与矩阵A有相同的秩。 (10分)JDy99-8设A],A2,…,An均为n阶矩阵且A1A2・・・A訂0。证明这p个矩阵的秩之和小于等于(p-1)n并举例说明等式可以达到。 (10分)JDy99-9证明任—可逆实矩阵可分解为—个正定矩阵和—个正交矩阵之积。(10分)JDy99-10设W是欧氏空间V的一个子空间。beV,awW。证明若对任意cwW,Ib-aKIb-cl,则（b-a）丄则（b-a）丄W。JDy00-1计算行列式Dn=n（10分）x a a... a ab x a... a ab b x. a a（10分）bbb.bxJDy00-2设A和D为n阶正定矩阵。已知矩阵B是方程AX+XA=D的唯一解。求证：（1）B是实对称矩阵；（2）B是正定矩阵。（12分）JDy00-3设R[x]为次数小于等于2的实系数多项式全体，令f1=1；f2=x-1；f3=（x-2）（x-1）。试证f1,f2,f3是R[x]的一组基。（10分）JDy00-4设A为3阶实对称矩阵，特征值为1,2,3。对应于1,2的特征向量分别为叫=（-1,-1,1）T,冬=（1,-2,-1）丁。求：（1）对应于3的特征向量«3；（2）矩阵A。（12分）JDy00-5[X]+2x2-3x3+2x4=2已知线性方程组]x2-x3-x4=1 ，其中九为常数。问：（1）九取何值时，该方程组无解？&1+x2-X3+3x4=X（2）九取何值时，该方程组有解？求出其通解。（12分）JDy00-6已知二次型f（x1,x2,x3）=2x12+3x22+3x32+2ax2x3（a>0）。通过正交变换化为标准型f=y12=2y22+5y320求参数a及所用的正交变换矩阵。（12分）JDy00-7AAA,B,C均为n阶方阵，M=|_c-Bc」。（1）试证M可逆的充要条件是AB可逆；（2）如果M可逆，试求逆矩阵。（12分）JDy00-81-303-2-60 13设矩阵A=0：；3。求A的不变因子，初等因子及Jordan标准形。（10分）-1-408JDy00-9设V是n维欧氏空间，a1,a2,.,an是V的一组基。证明：对于任意n个实数b1?b2,.,bn，恰恰有一个向量aeV；使得心,％）=4,i=1,2,...,n。（10分）JDy00-10JDy01-1在数域Z/5Z上将多项式x4+x2+1分解为不可约多项式的乘积。（10分）JDy01-2

~1-12023.~1-12023.(10分)L002」求解如下矩阵方程：P201L-iio」JDy01-3x+x+...+x=21 2 nx+c1x+.+c1x=21 2 2 nn解线性方程组： x1+c32x2+.+cn+12xn=2 (10分)x+cn-1x+.+cn-1x=21n2 2n-2nJDy01-4求向量组｛（x1，x2，.,x64）lxi=1或-1｝的极大正交向量子组所含向量的个数，并说明理由。10分）JDy01-5设a,b,c是三维线性空间的一组基，A是这个空间的线性变换，它使 Aa=3a-2b+3c；Ab=2a-2b+6c；Ac=-a+2b-c；。（1）求A在基a,b,c下的矩阵；⑵求A的特征值和线性无关的特征向量；（3）给出可逆矩阵T和对称矩阵D,使得T-1AT=D。（10分）JDy01-6用正交变换化二次型f（x1，x2，x3，x4）=2x1x2+2X]X3-2X]X4-2x2x3+2x2x4+2x3x4为标准形，并给出所施行的正交变换。（10分）JDy01-7用初等变换将九矩阵九用初等变换将九矩阵九3-九-九2+5九2^23九」化为标准形。（10分）JDy01-8设A为n阶实对称矩阵，证明对充分小的正数a,矩阵E+aA是正定矩阵，其中E是n阶单位矩阵。（10分）JDy01-9设A为n阶方阵，矩阵E-A的特征值的实数的绝对值均小于1,其中E是n阶单位矩阵。试证：矩阵A的行列式的值严格地介于0和2n之间。（10分）JDy01-10设V],V2是线性空间V的子空间，且dim(V1+V2)=dim(V1HV2)+1o证明只有两种可能：V1+V2=V1且v1nV2=V2，或V]+V2=V2且v1nv2=v1且。(10分)JDy02-1设f](x)=af(x)+bg(x),g1(x)=cf(x)+dg(x)且ad-bc丰0,证明：(f(x),g(x))=(f1(x),g1(x))o(12分)JDy02-2x+a1a2a3…aJDy02-2x+a1a2a3…anxaa•…aax+aa•…a-axa•…a123naax+a…a，-a-ax•…a123n计算行列式(14分)F列方程组AX=p：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，这时求它的通x+ana1a2a3-a-a-a…xJDy02-3问k取何值时,"1k1"T解，其中A=1-111-k 12」-1」(15分)JDy02-4A设A为数域P上n阶可逆矩阵，任意将A分为两个子块A=_a1」，证明n维线性空间Pn是

齐次线性方程组A]X=O的解空间V]与A2X=0的解空间V2的直和。(12分)JDy02-5设f(x)是方阵A的特征多项式,(x)为任一多项式且(f(x),g(x))=d(x)。证明:秩(g(A))=秩(d(A))。(10分)JDy02-6求正交变换化二次型f=2x12-5x22+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3为标准型。(12分)JDy02-7设Q为线性空间V的一个线性变换，L=6证明：(1)Q的特征值只能为1或0；(2)若用V1与V0分别表示对应于特征值1和0的特征子空间，则V]=6V,V0=6--1(0)；⑶V=6V㊉6--1(0)o(15分)JDy02-8设A,B为n阶可对角化矩阵，且AB=BA,证明：A,B可同时对角化。(10分)JDy03-1求A求A100。(15分)设A=2-10-121-JDy03-2等于零。1a1a等于零。1a1a1a1a1La2a/」，A2=-a22a4」，A3=-a23a4」，A4=4-a2 a4」以P2x2表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设a1?a2，a3，a4为两两互异的数，而且它们的和不试证明A1=是P上线性空间P4x4的一组基。(15分)JDy03-3证明：n阶实对称矩阵A的秩为r(r<n)当且仅当A可以写成A=CBCT，其中B为nxr阶满秩矩阵，C为r阶可逆实对称矩阵。(15分)JDy03-4假设 f0(x5)+x f1(x10)+ x2f2(x15)+ x3f3(x20)+ x4f4(x25) 被 x4+x3+ x2+x+1整除，证明： fi(x)(i=0,1,2,3,4)被x-1整除。(15分)JDy03-5设A为n阶反对称实矩阵，B=diag{a1?a2，_,an}，其中％>0。证明IA+B卜0。(15分)JDy03-6n阶方阵A满足等式A=A2，当且仅当n=r(A)+r(E-A)。(15分)JDy03-7设A,B都是n阶实方阵，并设九为BA的非零特征值，以VJA表示BA关于九的特征子空间;(1)证明：九也是AB的特征值；(2)证明：维数(VJA)=维数(V严)。(20分)JDy03-8设A,B都是n阶正定方阵，试证明：AB的特征值为实数。(20分)JDy03-9记V=Pnxn，P为数域，假设AeV有特征值九卫=1,2...小)，但-X.(i=1,2_,n)均不是A的特征值，试证明：V的变换屮：XtXA+ATX'为同构。(20分)1JDy04-1假设f1(x)与f2(x)为次数不超过3的首系数为1的互素多项式，假设x4+x2+1整除f^xSI+x^X)。试求f](x)与f2(x)的最大公因式。(15分)

JDy04-2011011，求所有与A可交2」以P3x3表示数域P上所有3x3矩阵组成的线性空间。对于A=0Lo换（即满足AB=BA）的矩阵B组成的线性子空间的维数及一组基。（25分）JDy04-3对于阶数分别为n,m的实对称方阵A与B,假设m阶矩阵B是正定矩阵，试证明：存在非零矩阵H,使得B=HAHT成为正定矩阵。（HT表