初中数学沪科版九年级上册第21章　二次函数与反比例函数

二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程间的关系课后作业：方案（B）一.教材题目：P33T1-T41．对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac>0时，相应的方程ax2＋bx＋c＝0的实数根个数的情况是________，抛物线与x轴的交点个数的情况是________；当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的实数根个数的情况是________，抛物线与x轴的交点个数的情况是________；当b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0的实数根个数的情况是________，抛物线与x轴的交点个数的情况是________；若顶点在x轴上，则满足条件________，若顶点在y轴上，则满足条件________．2．画出下列函数的图象，并求当x为何值时，y＝0.(1)y＝4x2＋4x＋1(2)y＝x2－4x＋5.3．证明：抛物线y＝x2－(2p－1)x＋p2－p与x轴必有两个不同的交点．4．用图象法求方程x2－4x＋1＝0的近似解(精确到二.补充:部分题目来源于《点拨》1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x…－1013…y…－3131…则下列判断正确的是()A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x＝4时，y＞0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正根在3与4之间3．设二次函数y＝x2＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0；当1≤x≤3时，总有y≤0；当x≥3时，总有y≥0，那么c的取值范围是()A．c＝3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤38．已知抛物线y＝2x2－mx－2m与x轴的两个公共点为(x1，0)，(x2，0)，且x12＋x22＝5，求m的值．9．〈甘肃兰州〉若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a)，(第9题)把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，利用根与系数关系定理可以得到A，B两个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))\s\up12(2)－\f(4c,a))＝eq\r(\f(b2－4ac,a2))＝eq\f(\r(b2－4ac),|a|).参考以上定理和结论，解答下列问题：如图，设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．10．(1)已知关于x的方程mx2－3(m－1)x＋2m－3＝0.求证：m取任何实数时，方程总有实数根．(2)若关于x的二次函数y1＝mx2－3(m－1)x＋2m－3的图象关于y轴对称．①求这个二次函数的表达式；②已知一次函数y2＝2x－2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立．(3)在(2)的条件下，若二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－5，0)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．求二次函数y3＝ax2＋bx＋c的表达式．11.已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象经过两点P(1，a)，Q(2，10a)．(1)如果a，b，c都是整数，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．(2)设二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程x2＋bx－c＝0的两个根都是整数，求△ABC的面积．答案教材1．有两个不相等的实数根；有两个(交点)；有两个相等的实数根；有一个交点；无实数根；没有交点；eq\f(4ac－b2,4a)＝0；－eq\f(b,2a)＝02．解：(1)图象如图所示．当y＝0时，有4x2＋4x＋1＝0.解得x1＝x2＝－eq\f(1,2).(第2(1)题)(2)图象如图所示．不论x为何值，y都不等于0.(第2(2)题)3．证明：b2－4ac＝[－(2p－1)]2－4(p2－p)＝4p2－4p＋1－4p2＋4p＝1，即b2－4ac＝1＞0，故抛物线y＝x2－(2p－1)x＋p2－p与x轴必有两个不同的交点．点拨：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴无交点．4．解：二次函数y＝x2－4x＋1的图象如图所示．从图象上可以看出，图象与x轴的交点的横坐标一个在0和1之间，另一个在3和4之间，利用计算器进行探索得，当x取或时，y更接近于0.所以方程x2－4x＋1＝0的精确到的解为和.(第4题)点拨1．D8．解：令y＝0，则2x2－mx－2m＝0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝eq\f(m,2)，x1x2＝－m.∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)))eq\s\up12(2)－2·(－m)＝eq\f(m2,4)＋2m＝5，即m2＋8m－20＝0，∴m1＝－10，m2＝2.∵抛物线与x轴有两个公共点，∴m2＋16m＞0，∴m＝2.点拨：此题求出m的值后，必须检验b2－4ac的值．因为若b2－4ac＜0，则方程无解，对应的抛物线与x轴无公共点．9．解：如图，过点C作CE⊥AB于E.(第9题)(1)当△ABC为直角三角形时，AB＝2CE.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，则|b2－4ac|＝b2－4ac.∵a＞0，∴AB＝eq\f(\r(b2－4ac),|a|)＝eq\f(\r(b2－4ac),a).又∵CE＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)))＝eq\f(b2－4ac,4a)，∴eq\f(\r(b2－4ac),a)＝2×eq\f(b2－4ac,4a)，∴eq\r(b2－4ac)＝eq\f(b2－4ac,2)，∴b2－4ac＝eq\f(（b2－4ac）2,4).∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4.(2)当△ABC为等边三角形时，CE＝eq\f(\r(3),2)AB，∴eq\f(b2－4ac,4a)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(b2－4ac),a).∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12.10．(1)证明：分两种情况：当m＝0时，原方程化为3x－3＝0，解得x＝1.∴当m＝0时，原方程有实数根．当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，∵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3（m－1）))eq\s\up12(2)－4m(2m－3)＝m2－6m＋9＝(m－3)2≥0，∴原方程有两个实数根．综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根．(2)①解：∵关于x的二次函数y1＝mx2－3(m－1)x＋2m－3的图象关于y轴对称，∴3(m－1)＝0，∴m＝1.∴这个二次函数的表达式为y1＝x2－1.②证明：∵y1－y2＝x2－1－(2x－2)＝(x－1)2≥0，∴y1≥y2(当且仅当x＝1时，等号成立)．∴在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立．(3)解：由(2)知，当x＝1时，y1＝y2＝0.∴y1＝x2－1和y2＝2x－2的图象都经过点(1，0)．∵对于x的同一个值，y1≥y3≥y2，∴y3＝ax2＋bx＋c的图象必经过点(1，0)．又∵y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－5，0)，∴y3＝a(x－1)(x＋5)＝ax2＋4ax－5a.设y＝y3－y2＝ax2＋4ax－5a－(2x－2)＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)．∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，∴y3－y2≥0，∴y＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)≥0.又根据y1＝x2－1和y2＝2x－2的图象可得a＞0，∴y最小值＝eq\f(4a（2－5a）－（4a－2）2,4a)≥0，∴(4a－2)2－4a(2－5a)≤0，∴(3a－1)2≤0.而(3a－1)2≥0，因此3a－1＝0，解得a＝eq\f(1,3).∴y3＝eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x－eq\f(5,3).11．解：因点P(1，a)，Q(2，10a)在二次函数y＝x2＋bx－c的图象上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b－c＝a，,4＋2b－c＝10a，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝9a－3，,c＝8a－2.))(1)由c＜b＜8a知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8a－2＜9a－3，,9a－3＜8a，))解得1＜a＜3.又a为整数，所以a＝2.所以b＝9a－3＝15，c＝8a－2＝14.(2)设m，n是关于x的方程x2＋bx－c＝0的两个整数根，且m≤n.由根与系数的关系可得m＋n＝－b＝3－9a，mn＝－c＝2－8a，消去a，得9mn－8(m＋n)＝－6；两边同时乘9，得81mn－72(m＋n)＝－54；分解因式，得(9m－8)(9n－8)＝10.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－8＝1，,9n－8＝10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－8＝2，,9n－8＝5，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－8＝－10，,9n－8＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－8＝－5，,9n－8＝－2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(10,9)，,n＝\f(13,9)))或e