初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案范文

掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。掌握正方形的性质定理1和质定理2。正确运用正方形的性质解题。通过四边形的从属关系渗透集合思想。通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生老师一起总结）。正方形性质定理1：正方形的四角都是直角，四条边相等。正方形性质定理2正方形的两对角线相等并且互相垂直平分一条对角线平分一组对角。说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。小结：正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。例1如图叠正方形纸

ABCD

折出折痕

BD

折使

AD

边与对角线

BD

重合折痕

DG

，使

AD

，求

．【解析】：GM垂足为M由题意可知ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2．AC=GM又易知：GM=BM而BM=BD-DM=2∴AG=BM=2（

2-2=2-1），-1）．例2如图，P为正方形ABCD一点10，且P点到CD边距离也等，求正方形

的面积？【解析】：

P

作

EFAB

于

F

交

于

E

．设

PF

，则

，BF

1(10)2

．由

PB

2

PFBF

2

．可得：

10

2

1x2)4

2

．故

x

．

ABCD

2

．例如，E、F分别为正方形ABCD的边、CD上一点，AM，•垂足为，AMAB，有EFDF

，为什么？【解析】：说明EF=BE+DF只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连AE、AF．只能说明ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可理由：连结AE、AF．由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE用，∴△ABE≌△AME．∴BE=ME同理可得，≌△AMF．∴DF=MF∴EF=ME+MF=BE+DF．例4下图

EF分在正方形ABCD的边BC

上

45

明

EFDF

。【解析】：△ADF旋到△ABC则△ADF△ABG∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG∵∠EAF=45°且四边是正方形∴∠ADF﹢∠BAE=45°∴∠GAB﹢∠BAE=45°即∠∴△AEF≌△AEG（SAS）∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF例如图方形

的边上取E两点

45

，AGEF

于

G

.求证

AGAB【解析】：证AG=AB，就图直观来看，应证Rt△ABE与全等，但条件够.∠EAF=45°怎么用呢？显然∠＋∠2=45°若把它拼在一起，问题就解决了.【证明】：FD绕A点旋90°至AHB.∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.又由旋转所AH=AF，AE=AE.∴△AEF≌△AEH.例6.(1)如图1,正方形中,点E,F分别在BC上AE,BF交于点O,90

.求证：

BE

.(2)图2,在方形ABCD点E,H,F,G分别在

AB

,

,

,

DA

上,

EF

,

GH

交于点

O

,

90

,

EF

.求的长1.已知点

E

,

H

,

F

,

G

分别在矩形

ABCD

的边

AB

,

,

,

DA

上，EF,GH交于点O,FOH90

,.直接写下列两题答案：

22121①如图3,矩形ABCD由2个全等的方形组成,求GH长；②如图4,矩形

ABCD

由

个全等的正形组成,求

GH

的长(

的代数式表).【解析】(1)证3明：如图1，∵四边形为正方，∴AB=,∠=∠BCD=90°，∴∠+∠=90°.∵∠=∠＝90°,∴∠+∠=90°∴∠EAB=∠FBC，∴△≌△，∴=CF．

4

1(2)解2,点A作AM如图6

A

在线段

上形

N与

都是正方形其边长别为

cm

和

5cm

的面积为________

．(6)(7)

M2．你可以依次6张方形纸片，成如图7所示图．如果你所拼

′得的图形中方形①的积为1且正方⑥与正方③的面积等•那么正方形的面积为．

3.如图，已知方形

的面积为35平方米，

E

、

F

分别为边

AB

、

上的点．

AF

、

相交于，并ABF的面积为14方厘米，的面积5平方厘米，那么四边形的面积是_______．4.如图，、B、点在一条直线上

BC

。分别以AB、BC为边作正方形ABEF和正形，接，。求证：

FNEC

。5.如图，

是正方形．

是

上的一点，

于

E

，BF（1）求：

≌DAE

；（2）求：

DE

FB

．

D【纵向应】6.在正方ABCD中，．求证：OFBE7.在正方ABCD中，．AEDF,求证：

B

FE

CG

8.如图13点为正方ABCD对角上一点EFBC,EGCD求证：

AE

FGA

DE

GB

FC139.已知点E、分正方ABCD中和的点，连接AF和DE相交于点GGH一、

H于点.求证：

AF

DE

；二、

如果

AB

,求

GH

的长；

A

H

D三、求证：【练习题案】

CGCD．6cm．．36．

E

G3．4

2027

cm

2

（面积法）

B

FC4.证明FN=EC。证明：在正形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°∵AB=2BC∴EN=BC∴△FEN≌△EBC∴FN=EC略提示：注意基本图形的AE=AF.一.两次应用角平分线理和CE=CF可二.过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证.3，

过点O作OH‖BE,OF=OH=

BE7.提示一条线段一半或2倍这两者的置关系有哪两种8.提示延长AE交于M，DC,使CH=DG,连接HF,证四边形对互补,法2延长FE，AE证全等三角9.（1)略（）

（3作CM⊥DG,证DM=AG=定义：有一邻边相等有一个角直角的平行四边形叫做正方形。特征：边：两组对分别平行四条边都等；内角：四个都是90°对角线：对线互相垂；对角线等且互相平分；每条对角线平分一对角。（3主要识别法：：对角线相的菱形是方形：对角线互垂直的矩是正方形：四边相等有一个角直角的四形是正方形：一组邻边等的平行边形是正形5：一组邻边相且有一个是直角的行四边形是正方形依次连接四边各边中点得的四边称为中点四边形不管原四形的形状样改变，中点四边形的形状始终是行四边形正方形的点四边形是正方形例已知如图，

P

是正方形

内点，

．求证：PBC是三角形【证明】：下图做△使与△全等，可得△PDG为边△，从可得△≌△APDCGP,

A

D得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG0所以∠DCP=300，从而得出是正角形例如图别的和BC为一边的外侧作正形ACDE和正方形，点P是EF的中点．

D

BC求证：点P到边的距离等

AB

的一半．

【证明过E,C,F点别作AB所在线的高EG。EG+FH可得PQ=。2由△EGA≌△AIC，可得，由△BFH△，得FH=BI。AI+BI从而可得PQ=，22

CAQB

F从而得证。例如图四边形

为正方形，

∥

，

AC

，AE与CD相交F．求证：

CF

．【证明】：时针旋转ADE，△ABG，连接由于∠∠

+450

=135从而可得BG，D在一条直线，可得△AGB≌△。推出，可得△AGC为等边角形。∠AGB=30

，既得∠EAC=30

，从而可得A0

。又∠∠DFA=450

+300

=750可证：。A

D

例设是方形

一边上任一点，PFAP平分DCE．F

求证：

PA

．【证明】：FG⊥CD，FEBE可以得为方形。令AB=Y，BP=X,可得PC=Y-X。B

C

tan∠EPF=

X+Z

，可得YZ=XY-X

，即，得，得出△ABPPEF，FBFB得到＝，证。D

A

D例7.已：是边长为的正方形ABCD内一点，求值．【证明】：时针旋转eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)，可△PBE为等边三角。E既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使小要AP，在一条直线，即如下图：得最小PA+PB+PC=AF。13(+既得AF=42423+2

的最小只

DC

(3+1)262。2

22

(+1)，可得如下：例为方形内的点，并且PA，a，PC【证明】顺针旋转△ABP900

，求正方形边长．既得正方形长L=

+

22)2+()22

=+2a

。A

DB

C

【双基练】1.如图，边形是正方形对角线AC、相交于O，四边是菱形若正方形的边为6，则形的面积为________．2.如图

ABCD

是正方形，

E

为

上一点四边形

AFEC

•恰是一个菱形，则=________．【纵向用】3.如图四边形是长为的方形，点G，分别是，BC的中点，

，且交正方形角的平分线于点F．（1证明：（2证明：

FECAGEECF

；；（3求

AEF

的面积．【横向展】4.如图四边形是正方形，是等边角形，M

为对角线

（不含

B

点上意一点将

BM

绕点

B逆时针旋转BN，连接、AM、CM.⑴求证

；⑵①当M在何处时，

AMCM

的值最小；②当

M

点在何处时

AMCM

的值最小，说明理由⑶当

AM

BMCM的最小值时，求方形的边长.【练习答案】1．36

AD2．【解析】连BD交AC于点O，作EM⊥AC于点．

N设正方形边为，则AC=BD=AE=

a

M又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，B∴BO=EM=

12BD=．2在Rt△AEM中，AE=

a，EM=

a．∴∠CAE=30°．则∠EAB=15°．3.（1）证明：∵∠=90

，∴∠+∠=90．在eq\o\ac(△,Rt)中∠+∠BAE=90，∴∠=∠FEC；（2证明：∵，分是正方形的边，中点，∴AG=GB=BE=EC且∠=180

o－45

=135

o．又∵CF是∠DCH的平分线，∠ECF=90

o+45

o

=135

o

．在△AGE和△ECF中，∴△≌△；（3解：由AGE≌△，得AE=EF．又∵∠AEF=90

o

，∴△AEF是等腰直角角形．eq\o\ac(△,S)AEF3eq\o\ac(△,S)AEF3由AB=a，BE=

a，知=a，5∴=a．84.【解】：⑴∵是等边角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－即∠BMA∠NBE.又∵MB＝NB∴△AMB≌△ENB（SAS………………5

ADNMFBC⑵①当M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小②如图，连CE，当M点位BD与CE的点处时，AM＋BM＋CM的值最小理由如下：