清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟试题1

清北学堂第37届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题1180分钟320分可能用到的数学公式和物理常数：1.2.3.4.5.曲线曲率半径公式：6.R7.g=9.8m/s一．（42分）如图，光滑水平面上有一个半径为R的固定圆环，长度为2l的匀质细杆AB开始在水平面上绕着C点旋转，C点靠在杆上，且无初速度。假设细杆而后可无相对滑动地绕着圆环外侧运动，直到细杆的B端与环接触后彼此分离。已知细杆和圆环间的摩擦因数处处相同，为μ1.求出，C点运动过程中的曲率半径，2.试求出按照题意需要的μ的取值范围

二．（46分）如下图，考虑一个相对放置的两个完全相同的线圈，设每个线圈有N匝，线圈的半径为R，通入的电流为I，线圈外部包裹着直径为d，质量密度为ρ的绝缘层（注：绝缘层直径并非≪R），若认为导线的质量可以忽略。我们标记两个线圈的结构的中心为O，线圈各自的中心为O1,2，设O1O2的方向为x方向，以O为原点建立直角坐标系，那么试计算x=b,b≪a处的磁感应强度Bx=b设参数a可以调节，那么当a取到特定的值的时候可以保证原点的附近x方向的磁感应强度最为均匀，试求出a的值，并给出b≪a处的磁感应强度Bx=b，精确到接上一问，上述线圈被称为亥姆霍兹线圈。试计算x=b，距离轴线为ℎ（ℎ≪a）的点对应的横向磁感应强度B(b,ℎ,τ)三．（50分）如图所示，一斜面和椭圆形钢丝轨道通过光滑的曲线轨道连接，椭圆形钢丝轨道间距为r，从斜面顶部滚落一半径也为r的小球，已知椭圆形钢丝的长轴长度为2a，短轴长度为2b，小球在运动过程中不发生打滑，通过曲线轨道时重心高度不变，斜面和椭圆的底部直接连接并且已知：a=3b，且斜面和水平面成30求出小球在转折点处曲线轨道所受到的冲量若x≪a，求出小球做的往复运动的第一个周期的频率f提示：小球通过连接处的轨道可能会损失机械能，小球的尺寸很小

四．（40分）二能级系统与负温度考虑由N个无相互作用的粒子（N很大）构成的系统，系统中的粒子能量只有两个可以取的值0，E.能量为0和E的粒子数目分别是n1,n求系统的熵S（结果中不能出现n1将系统的温度表示成U的函数形式，计算题给参数满足什么条件时，T<0负温度系统与正温度系统接触的时候，热量的流动方向是什么？给出你的解释五．（40分）Pb原子一个μ−子被铅核所俘获208Pb,Z=82，形成铅μ−子原子，μ−子的质量为电子的207倍，电荷和电子的大小一致。设铅原子核半径为μ−头两个能级的能量大小莱曼线的第一条谱线的波长

六．（60分）菲涅尔透镜成像机制的研究：传统的凸透镜因为其笨重的特性，不易制作和携带，本题将探讨菲涅尔透镜成像的机制。菲涅尔透镜的半径为R（球冠半径），加工限制将其环带面切成等高的N份(注意，这里指半径N等分)，每个环带面的形状未知。（1）考虑一个双棱镜，顶角为α，折射率为n，求傍轴光线经过它的偏向角δ（2）将双棱镜上裁剪下来对称的两块直角梯形的部分，如图作出光轴，并在棱镜前面u处放置一个高为h的线状发光物体（忽略光的波动性质），假设物体以速率V接近棱镜，试求出像上各点的运动速度（3）传统平凸透镜侧视图为一个弓形，假设弓形的高度为h，半径也为R，折射率为n，密度为μ，试求出其焦距f和质量m1（4）求出与之等焦距的菲涅尔透镜的质量m2，并求出m2小于m1的条件（由于工艺限制，对于菲涅尔透镜而言，最窄处的宽度为𝑎）七．（42分）如图所示，内半径为R1，外半径为R2的导体球外，两个电量为Q的点电荷与球心相聚同为2R2，且三者共线，球壳内，两个电量同为q的点电荷与球心相距同为R1/2，且三者共线。Q-球心-Q试求出点电荷Q受到径向朝外的力F求出点电荷q受到径向朝外的力f用外力将图中的一个点电荷缓缓移动到无穷远，保持导体球壳和其他三个点电荷仍在原来的位置，试求出外力所要做的功A

清北学堂第37届全国中学生物理竞赛复赛模拟题1答案一．（1）先构造体系来计算渐开线的曲率半径，设想一小球以匀速作渐开线运动（在光滑平面上与绕柱的细线相连，作平动）由于速度大小不变，只是方向改变，所以：T由角动量定理，关于圆柱中心的角动量变化率为：T再由几何关系：l代入得到：ρ=l#（2）不打滑要求：μ≥由牛二：f=m由几何关系：r=Rθ;且有：a能量是守恒的：1其中：I=所以：3得到：v则：aaμ≥评分标准：1-5，9-14各2分6，8各4分，7，15各6分二．解答：由毕萨定律可得：B对于线圈1，有：B对于线圈2，同理：B那么合磁场为：B利用小量展开公式：1方括号中的结果为：2×因此，磁感应强度为：B利用二阶系数为0的条件（四阶远远小于二阶），有：R所以实际上线圈的距离为R，对应求解磁感应强度为：B由磁场的高斯定理：S我们取一个圆柱形的高斯面，那么有：−解得：B所以比例为：B1-4各3分，5-7各5分，8式2分，9式4分，10-12各3分，13式4分三．解答：小球滚到斜面底部，机械能守恒：mgxω=作斜面底部的水平线，容易求得质心的相对高度：ℎ利用等边三角形的性质，在双轨上：ℎ由此可知，曲线轨道实际上是一条直线轨道，将碰撞过程进行细致化，细节图如下：不打滑意味着存在摩擦力冲量，作用在2上，由于弹力冲量较大，实际上1点是一个虚接触，考虑对2的角动量守恒：L=解得：ω所以竖直方向的冲量为：I水平方向的冲量为：I容易检验，上述冲量的方向远离斜面（2）椭圆上的运动近似成在曲率圆上的运动，写出几何约束：ρ−由角动量定理：3得到周期：T=2π我们已经利用了曲率半径公式：ρ=考虑斜面上的过程，下滚过程的角加速度和时间为：β=t考虑球返回的时候的速度“缩放”关系，利用对1的角动量守恒关系“Lω所以在第一个周期内的震动的周期为：Tf=1-4各2分，5-8各3分，说明圆轨道实际是直轨道2分，结果检验2分；9-12各3分，13，14各2分，15-17各3分，18式1分四．解答：（1）容易得出：nn得到：n由玻尔兹曼熵的性质：S（2）有热力学第二定律和热力学第一定律：T注意到S实际上是一个U的单元函数，所以：∂U得到：T（3）从负温度系统流向正温度系统，考察系统的熵的变化，若从正流向负，则熵减，违反热力学第二定律1，2各3分，3，4各5分；5，6各4分，7式6分；结论4分，论证6分（用反证法2分）五．解答;由高斯定理：EE那么电势可以积分得到：VV=铅核的质量很大，所以可以忽略铅核的运动，有玻尔条件：m以及：E对于r>R时，μ子轨道半径（a0r对于r<Rr总能量为：E分别代入可得：EE代入数据：r能量：E波长：λ=1，2各2分；3-14各3分六．（1）设出入射光线和出射光线与两个法线分别的夹角α1,sin小角近似：

sin和几何关系：β得到偏向角为：δ=（2）对于普通透镜距离中心y的环带面，在傍轴近似下，轴上物体（距光心为u），其发出指向环带面的光线的偏转角为：δ=注意到，透镜成像公式：1可得:δ=得到了等效的透镜焦距为:f轴线方向，像也做整体平动，将v用u，f解出：v=像的轴向速度V’为：V对于y上的点，垂直于轴向的速度为：V其中，f=（3）由磨镜者公式：1利用相交弦定理:2ρ−h得到：ρ=f平凸透镜的体积为：ρ−ℎ质量为：m（4）现求解ℎnh不考虑衬底，菲涅尔透镜的体积可以写作：V第一项的计算：V第二项的计算：V求和的计算：n=0衬底的体积：V所以，菲涅透镜的体积为：V=π·对应的质量：m求出对于N的限制：h当a>1-4各2分；5-9各2分，10，11各3分；12，13各2分，14-17各3分；18-26各2分（包括21*）七．（1）根据电像法，像电荷在距离球心±1Q为了保证电荷守恒，在像电荷的贡献之外，球心的等效电荷变为：Q所以受力为：F（2）内部的像电荷位于±2Rq受力为：F=（3）初态，系统的电势为：UUU末态，系统的电势变为：UUU做功为系统静电能之差，静电能为：W代入得到：A=1-5各3分；6，7，9，10各2分，8，11各3分；12式5分，13式6分清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟题1答案一．（1）先构造体系来计算渐开线的曲率半径，设想一小球以匀速作渐开线运动（在光滑平面上与绕柱的细线相连，作平动）由于速度大小不变，只是方向改变，所以：T由角动量定理，关于圆柱中心的角动量变化率为：T再由几何关系：l代入得到：ρ=l#（2）不打滑要求：μ≥由牛二：f=m由几何关系：r=Rθ;且有：a能量是守恒的：1其中：I=所以：3得到：v则：aaμ≥评分标准：1-5，9-14各2分6，8各4分，7，15各6分二．解答：由毕萨定律可得：B对于线圈1，有：B对于线圈2，同理：B那么合磁场为：B利用小量展开公式：1方括号中的结果为：2×因此，磁感应强度为：B利用二阶系数为0的条件（四阶远远小于二阶），有：R所以实际上线圈的距离为R，对应求解磁感应强度为：B由磁场的高斯定理：S我们取一个圆柱形的高斯面，那么有：−解得：B所以比例为：B1-4各3分，5-7各5分，8式2分，9式4分，10-12各3分，13式4分三．解答：小球滚到斜面底部，机械能守恒：mgxω=作斜面底部的水平线，容易求得质心的相对高度：ℎ利用等边三角形的性质，在双轨上：ℎ由此可知，曲线轨道实际上是一条直线轨道，将碰撞过程进行细致化，细节图如下：不打滑意味着存在摩擦力冲量，作用在2上，由于弹力冲量较大，实际上1点是一个虚接触，考虑对2的角动量守恒：L=解得：ω所以竖直方向的冲量为：I水平方向的冲量为：I容易检验，上述冲量的方向远离斜面（2）椭圆上的运动近似成在曲率圆上的运动，写出几何约束：ρ−由角动量定理：3得到周期：T=2π我们已经利用了曲率半径公式：ρ=考虑斜面上的过程，下滚过程的角加速度和时间为：β=t考虑球返回的时候的速度“缩放”关系，利用对1的角动量守恒关系“Lω所以在第一个周期内的震动的周期为：Tf=1-4各2分，5-8各3分，说明圆轨道实际是直轨道2分，结果检验2分；9-12各3分，13，14各2分，15-17各3分，18式1分四．解答：（1）容易得出：nn得到：n由玻尔兹曼熵的性质：S（2）有热力学第二定律和热力学第一定律：T注意到S实际上是一个U的单元函数，所以：∂U得到：T（3）从负温度系统流向正温度系统，考察系统的熵的变化，若从正流向负，则熵减，违反热力学第二定律1，2各3分，3，4各5分；5，6各4分，7式6分；结论4分，论证6分（用反证法2分）五．解答;由高斯定理：EE那么电势可以积分得到：VV=铅核的质量很大，所以可以忽略铅核的运动，有玻尔条件：m以及：E对于r>R时，μ子轨道半径（a0r对于r<Rr总能量为：E分别代入可得：EE代入数据：r能量：E波长：λ=1，2各2分；3-14各3分六．（1）设出入射光线和出射光线与两个法线分别的夹角α1,sin小角近似：

sin和几何关系：β得到偏向角为：δ=（2）对于普通透镜距离中心y的环带面，在傍轴近似下，轴上物体（距光心为u），其发出指向环带面的光线的偏转角为：δ=注意到，透镜成像公式：1可得:δ=得到了等效的透镜焦距为:f轴线方向，像也做整体平动，将v用u，f解出：v=像的轴向速度V’为：V对于y上的点，垂直于轴向的速度为：V其中，f=（3）由磨镜者公式：1利用相交弦定理:2ρ−h得到：ρ=f平凸透镜的体积为：ρ−ℎ质量为：m（4）现求解ℎnh不考虑衬底，菲涅尔透镜的体积可以写作：V第一项的计算：V第二项的计算：V求和的计算：n=0衬底的体积：V所以，菲涅透镜的体积为：V=π