空间直线平面的垂直【新教材】2022年人教A版高中数学必修同步讲义

第八章立体几何初步8§空间直线、平面的垂直8知识索引索引1：异面直线所成的角知识索引索引1：异面直线所成的角定义（1）做法：经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b（2）结论：我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b索引2：直线与平面垂直直线与平面垂直的定义（记法----------l⊥α）如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图索引3：直线与平面所成的角一条直线1与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角索引4：直线与平面垂直的性质定理定义：垂直于同一个平面的两条直线平行

aa⊥αb⊥α2.符号⇒a∥b3.图形演示索引5：二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面2.二面角的度量(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(2)二面角的平面角的取值范围是8精例探究精例探究精例1.已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有四个命题：p1：若m//α，m⊥n，则n⊥α；p2：若m//α，n⊥α，则m⊥n；p3：若m//α，α⊥β，则m

p1∧p2

B.

¬p1【答案】C【考点】直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质【解析】【解答】p1：若m//α，m⊥n，则n⊥α是假命题，例如np2：若m//α，n⊥αp3：若m//α，α⊥β，则mp4：若m//α，m//β所以p1∧p2，¬p故答案为：C

【分析】p1：m与n相交、平行或异面；p2：由线面垂直的性质定理得m⊥n；p3精例2已知a，b为不同直线，α，β为不同平面，则下列结论正确的是（

）

若a⊥α，b⊥a，则b//

B.

若a，b⊂α，a//β，b//β，则α//β

C.

若a//

D.

若α∩β=b，a⊂α，a⊥b【答案】C【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定【解析】【解答】A选项，若a⊥α，b⊥a，则b//α或B选项，若a，b⊂α，a//β，b//β，当a//C选项，若a//b，b⊥β，根据线面垂直的性质，可得a⊥β，又a//D选项，若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，垂直于交线，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出a⊥β，即不能推出故答案为：C.【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、，面面平行判定定理、面面垂直的判定定理，从而找出正确结论的选项。精例3如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=5（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若N是AB上的点，且CN//平面AB1M【答案】解：（Ⅰ）证明：∵CC1⊥平面ABC，BC⊂平面平面ABC，∴又AB=5，AC=3，BC=4，∴AC2+B又AC∩CC1=C，∴BC⊥平面AA1C1C，又（Ⅱ）过点N作NE//BB1交AB由三棱柱ABC-A1B1C1可得BB又CN//平面AB1M，CN⊂平面NEMC，且平面NEMC∩平面∴CN//ME，∴四边形∴NE=CM，且NE//又点M为CC1中点，∴CM=12BB1，且CM∴BN=1【考点】直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质【解析】【分析】（Ⅰ）首先由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由勾股定理即可计算出线线垂直，结合线面垂直的判定定理以及性质定理即可得证出结论。

（Ⅱ）根据题意作出辅助线结合三棱柱的性质以及线面平行的性质定理即可得出线线平行，再由平行四边形的定义即可得出线线平行，结合中位线的性质以及平行的传递性即可求出结果。

8课堂反馈课堂反馈练习1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB（Ⅰ）证明：DE⊥平面BB（Ⅱ）求三棱锥D-EBC的体积与三棱柱ABC-A练习2.如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.求证：BD⊥平面AEF.练习3.已知m，n为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（

）

m⊥n,m//α⇒n⊥α

B.

n//β,β⊥α⇒n⊥αC.

m//n,m⊥β⇒n⊥β

D.

m//α,n⊂α⇒m//n练习4.如图所示，平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为45°、30°，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A',B

2:1

B.

3:1

C.

3:2

D.

4:38参考答案.参考答案练习1.【答案】解：（Ⅰ）取BC的中点为F，连结AF、EF，∵BB1⊥平面ABC，AF⊂∴BB∵AB=AC=5，∴AF⊥BC，∵BB∴AF⊥平面BB∵AD//BB1,AD=∴四边形DEFA为平行四边形，∴DE//∴DE⊥平面BB（Ⅱ）由题可得DE=AF=4，三棱锥D-EBC的体积为13VD-EBC直三棱柱的体积为底面积乘以高，所以VABC-所以三棱锥D-EBC的体积与三棱柱ABC-A1B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（Ⅰ）首先作出辅助线再由中点的性质即可得出线线平行，再由平行性质的传递性结合已知条件即可得出结论。

（Ⅱ）根据题意由三棱锥的体积公式代入数据计算出即可得出结论。练习2.【答案】证明：AB为⊙O的直径，C为⊙O上点，所以BC⊥AC因为DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC又DA∩AC=A,所以BC⊥面DAC又AF⊂平面DAC，则BC⊥AF又AF⊥DC，DC∩BC=C，所以AF⊥平面BCD又BD⊂平面BCD，所以AF⊥BD又因为AE⊥BD，AE∩AF=A所以BD⊥平面AEF【考点】直线与平面垂直的判定【解析】【分析】运用线面垂直的判定定理和性质定理即可得证。练习3.【答案】C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面垂直的判定【解析】【解答】A.m⊥n,m//α，则n也可在平面α内，故答案为：项A不正确.B.n//β,β⊥α，则n也可在平面α内，故答案为：项B不正确.C.m//n,m⊥β⇒n⊥β成立两平行线m,n，m⊥平面β，m必垂直于β内的两条相交直线，则n必定垂直于β内那两条相交直线，故n⊥β，C符合题意.D.m//α,n⊂α，则m,n也可是异面直线的关系.

故答案为：项D不正确.故答案为：C

【分析】利用已知条件结合线面垂直的判定定理、线线平行的