直线与平面垂直的判定【新教材】2022年人教A版高中数学必修复习巩固训练Word含答案

直线与平面垂直的判定一、知识梳理1.直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的________直线都垂直，就说直线与平面互相垂直。2.点到平面的距离：过一点垂直于已知平面的直线____________.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的_____叫做这个点到该平面的距离。3.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的________直线垂直，那么该直线与此平面垂直。4.直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。直线和平面所成角的范围为___________.二、重要题型知识点一：直线与平面垂直的判定1.下列说法中正确的个数是()①点到平面的距离是指这个点到这个平面的垂线段；②过一点垂直于已知平面的直线不一定只有一条；③若一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；④若一条直线与一个平面内任意一条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；⑤若一条直线与一个平面内无数条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面．A．1B．2C．3D．42.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的关系是 ()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交知识点二：直线与平面所成的角3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°4.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的长和两条对角线AC,BD都相等,且E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________.

知识点三：直线与平面垂直的证明5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝O.求证：(1)PO⊥平面ABCD；(2)AC⊥平面PBD.6.如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.三、巩固练习1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()\f(\r(2),3)\f(\r(3),3)\f(2,3)\f(\r(6),3)3.(多选题)设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,下列命题正确的有()A.若l⊥α,则l与α相交B.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥αC.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥αD.若α∥β,l⊥α则l⊥β4．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________．5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与直线AC所成角的大小为;直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为.

6．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等．若点A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于________．7.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB,AG⊥SD.8.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,点D,E分别是BC,AB1的中点.(1)求证:DE∥平面ACC1A1;(2)若BB1=1,求证:C1D⊥平面ADE.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)证明:PB∥平面ACM;(2)证明:AD⊥平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.（1）直线与平面垂直的判定答案一、知识梳理1.任意一条.2.有且只有一条，长度.3.两条相交4.射影，。二、重要题型由点到平面的距离的概念及直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④。.取BD中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,所以选C.如图所示，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．4.连接EF,根据题意,BC⊥AF,BC⊥DF.因为AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF.所以∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角,设则,,.5.证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD＝O，∴O为AC的中点，又PA＝PC，∴PO⊥AC.同理可证PO⊥BD.又AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.(2)由(1)知AC⊥PO，又四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，PO∩BD＝O，∴AC⊥平面PBD.6.证明:因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB是☉O的直径,所以BC⊥AC.而PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC.三、巩固练习A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.画出图形，如图所示，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝eq\f(\f(\r(6),3)a,a)＝eq\f(\r(6),3)..A显然正确;对B,只有当m,n相交时,才有l⊥α,故B错误;对C,由l∥m,m∥n⇒l∥n,由l⊥α,得n⊥α,故C正确;对D,α∥β,l⊥α则l⊥β正确.4.垂直由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.5.连接A1C1,BC1,△BA1C1为等边三角形,所以直线A1B与直线AC所成角的大小为,因为四边形BCC1B1是正方形,所以BC1⊥B1C,又DC⊥平面BCC1B1,所以BC1⊥CD,又因为,所以BC1⊥平面A1B1CD.设BC1交B1C于O,则∠OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角,在Rt△OA1B中,,所以直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为QUOTE.\f(\r(2),3)如图，设A1在底面ABC内的射影为O，O为△ABC的中心，OA＝OB＝OC，则AA1＝A1B＝A1C.连接AB1，A1B，设AB1∩A1B＝E，则E为A1B的中点．取OB的中点D，连接ED，AD，则ED∥A1O.由题意知A1O⊥平面ABC，所以ED⊥平面ABC.则∠EAD即为AB1与底面ABC所成的角．设三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为a，则OA＝OB＝eq\f(\r(3),3)a.在Rt△AA1O中，A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝eq\f(\r(6),3)a，ED＝eq\f(1,2)A1O＝eq\f(\r(6),6)a.在正三角形AA1B中，AE＝eq\f(\r(3),2)a，在Rt△ADE中，sin∠EAD＝eq\f(ED,AE)＝eq\f(\f(\r(6),6)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(2),3)，即AB1与底面ABC所成的角的正弦值为eq\f(\r(2),3).7.证明:因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.又BC⊥AB,SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG,所以SC⊥AE.又BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC,所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.8.证明:(1)连接A1B,A1C,因为侧面ABB1A1是矩形,点E是AB1的中点,所以点E是A1B的中点,又因为点D是BC的中点,所以DE∥A1C,因为DE⊄平面ACC1A1,A1C⊂平面ACC1A1,所以DE∥平面ACC1A1.(2)连接B1D,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD,又因为底面ABC是等边三角形,D为BC的中点,所以BC⊥AD,又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1,又C1D⊂平面B1BCC1,所以AD⊥C1D,由BC=2,得BD=1,又BB1=CC1=1,所以DB1=C1D=QUOTE,所以,所以C1D⊥DB1,DB1∩AD=D,所以C1D⊥平面ADB1,即C1D⊥平面ADE.9.解:(1)如图,连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而AC∩PO=O,所以AD⊥平面PAC.(3)取DO的中点N,连接