正弦定理 教学设计

第九章解三角形正弦定理与余弦定理正弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在△ABC中,下列关系式中一定成立的是()>bsinA =bsinA<bsinA ≥bsinA解析由正弦定理,得asinA=bsinB,所以a=bsinAsinB,在△ABC中,0<sinB≤1,故1答案D2.在△ABC中,a=43,b=4,A=π3,则B=(A.π6 B.C.π2 D.解析由正弦定理可得asinA=bsinB,又∵a=43>b=4,∴A>B.∴B=π6.故选A答案A3.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=π3,则△ABC的面积等于( 3 3解析S△ABC=12bcsinA=12×3×8×sinπ3=63.答案C4.在△ABC中,a=23,b=22,B=45°,则A为()°或150° °或120°° °解析由正弦定理可得:asinA=bsinB,∵0<A<135°,∴∠A=60°或∠A=120°.故选B.答案B5.在△ABC中,一定成立的等式是()A=bsinB A=bcosBB=bsinA B=bcosA解析在△ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB,即asinB=bsin答案C6.在△ABC中,若A=30°,a=2,b=23,则此三角形解的个数为()个 个个 D.不能确定解析a·sinA=2×12=1,∵1<2<23,即a·sinA<a<b,∴有两个三角形.故选C答案C7.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是()A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中,若sin2A=sin2B,则a=bC.在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,若A>B,则sinA>sinB都成立D.在△ABC中,a解析由正弦定理易知A,C,D正确.对于B,由sin2A=sin2B,可得A=B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,所以a=b或a2+b2=c2,故B错误.故选B答案B8.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边.若∠A=105°,∠B=45°,b=22,则c=,△ABC的面积为.

解析∠C=180°-105°-45°=30°.根据正弦定理bsinB=csinC,可知22sin45°S=12bcsinA=12×22×2×sin=22×6+答案23+19.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,则cosB=.

解析由正弦定理得ACsin所以sinB=ACsin因为AC<BC,所以B<A=60°,则B为锐角,所以cosB=1-答案610.在△ABC中,若acosA2=bcosB解析由正弦定理得sinA所以sinA2=sinB2=sin因为0<A,B,C<π,所以0<A2,B2,C2<π2,所以答案等边11.在△ABC中,a=2,c=2,sinA+cosA=0,则角B的大小为.

解析因为角A是三角形的内角,所以A∈(0,π),又因为sinA+cosA=0,所以有tanA=-1,所以A=34π,由正弦定理可知:asinA=csinC⇒222=2sinC⇒sinC=12,因为A=34π答案π12.在△ABC中,求证:a-证明因为在△ABC中,asinA=b所以左边=2=sin(B+所以等式成立,即a-能力提升1.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=3,A=45°,B=75°,则a=()A.2 B.3 解析因为A=45°,B=75°,所以C=180°-45°-75°=60°,在△ABC中,asinA=csinC,所以asin45答案A2.满足条件C=60°,AB=3,BC=95的△ABC有() 解析由于BC·sinC=9310<3<95,所以答案C3.在△ABC中,若AB·AC=2且∠BAC=30°,则△ABC的面积为(A.3 3 C.33 D.解析由AB·AC=2,得bccos30°=2,所以bc=43.由三角形面积公式得S=12bcsinA=1答案C4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,acosB=(2c-b)cosA,则角A的大小为()A.π6 B.π4 C.π3解析由正弦定理得sinAcosB=(2sinC-sinB)·cosA,即sin(A+B)=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,也即cosA=22,故A=π4.故选答案B5.如图,A,B是半径为1的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中△PAB的面积的最大值为()12β+sin2β+12sin2C.β+sinβD.β+cosβ解析在△ABP中,由正弦定理可得,ABsin∠APB=2R=2,则AB=2sinS△ABC=12AB·h,当点P在AB的中垂线上时,h取得最大值,此时△ABP的面积最大取AB的中点C,过点C作AB的垂线,交圆于点D,取圆心为O,则OC=OB2-BC2=1-sin2β=cos所以△ABP的面积最大为S=12AB·DC=12(2sinβ)·(1+cosβ)=sinβ+sinβcosβ=sinβ+12sin2β.答案B6.在△ABC中,角A所对的边为a,若a=2,且△ABC的外接圆半径为2,则A=.

解析由正弦定理可得asinA=4,所以sinA=a4=12,∵0<A<答案π7.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是.

解析过点A作BC垂线,交BC于点E,则AE=15,所以sin∠ABC=154,则sin∠CBD=sin(π-∠ABC)=154,所以S△BCD=12BD·BC·sin∠CBD=12×2×答案158.在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.

解析如图,由正弦定理易得ABsin∠ADB=ADsinB,即2sin∠ADB=3sin120在△ABC,已知∠B=120°,∠ADB=45°,即∠BAD=15°.由于AD是∠BAC的角平分线,故∠BAC=2∠BAD=30°.在△ABC中,∠B=120°,∠BAC=30°,易得∠ACB=30°.在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB答案69.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA=43,tanB=13,a=(1)求tanC;(2)求△ABC中的最长边.解(1)因为tanC=-tan(A+B)=-tanA-43+1(2)由(1)知C为钝角,所以C为最大角,因为tanA=43,所以sinA=4又tanC=-3,所以sinC=310由正弦定理得545=c31010.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c(1)求角A的大小;(2)设a=22,b=3,求sin(2B-A)的值.解(1)由正弦定理可得2sinC即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC.因为sinC≠0,所以cosA=12又A∈(0,π),所以A=π3(2)由正弦定理asinA=bsinB,所以cosB=±1-sin2所以cos