棱柱棱锥棱台的表面积和体积【新教材】2022年人教A版高中数学必修练习

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练习一、单选题若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(

)A.3 B.2 C.23 D.正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为(    )A.4cm2 B.8cm2 C.三棱台ABC—A1B1C1中，A1B1：AB=1：2，则三棱锥AA.1：1：1 B.2：1：1 C.4：2：1 D.4：1：2将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的(

)A.12 B.13 C.16已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为(    )A.13 B.23 C.63+4已知正四棱锥P−ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且正四棱锥P−ABCD的底面面积为6，侧面积为67，则球O的体积为(    )A.323π B.2873π 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为(    )A.3 B.433 C.533在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=BC=2，AA1=1，则点A.34 B.32 C.33某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(    )A.60 B.30 C.20 D.10已知三棱锥P−ABC的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA=BC=6，∠ABC=π2，若三棱锥P−ABC体积的最大值为3，则其外接球的半径为(

A.2 B.3 C.4 D.5如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PB=PC=PD=2，底面ABCD是边长为2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，则四棱锥P−AMEN体积的最小值为(    )A.223 B.233 C.2二、单空题已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD正六棱柱底面边长为10，高为15，则这个正六棱柱的体积是

．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，在《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2，则当阳马B−三、解答题已知正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为32cm，求此正三棱台的表面积．

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB．

(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；

如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：PA //平面BDE；(2)求证：BD⊥平面PAC；(3)若AB=2,PB=6，求三棱锥B−CDE的体积．

答案和解析1.【答案】A【解答】解：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积是6a2，

以正方体的顶点为顶点作正四面体，棱长为它的表面积是4×3则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为3．2.【答案】D【解答】解：正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，

所以棱台的斜高为：22−(3−12)2=3cm【解答】解：设点A1到底面ABC的距离为h，

则三棱锥A1−ABC的体积V1=13×ℎ×S△ABC，

三棱锥A1−B1C1B的体积V2=13×ℎ×S△A【解答】解：将正方体ABCD−A′B′C′D′截去四个角后得到一个四面体BDA′C′，

设正方体边长为a，

则VB−B′A′C′=VA′−ABD=VD−A′C′D′=VC′−BCD=13×12×a×a×a=a36．

∴四面体BDA1C1的体积：

V=V正方体−4VB−B′A′C′=a3−2a33=a33．由底面面积为6得；a2=6，得∵侧面积为67∴4×12×连接AC，BD交于点O1，连接PO1，则易知P故四棱锥P−ABCD的高PO1=12−3=3连接OA，设球的半径为R，∴R∴R=2，∴球O的体积为4π3

7.【答案】A

【解答】

解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，

其底面面积S=12×(1+2)×2=3，高ℎ=3，

故体积V=13【解答】

解：

设点A到平面A1BC的距离为h，

因AB=AC=BC=2，AA1=1，

则A1C=A1B=5，

取BC中点D，则AD=3，且AD⊥BC，A1D⊥BC，

故A1D=A1C2−CD2=2，

∴S△A1BC=12BC·A1D=12×2×2=2，

而S△ABC=12×2×3=3，

∵VA1−ABC=VA−A1BC，

∴13S△ABC·AA1=13S△A1BC·ℎ，

∴13×3×1=13×2×ℎ，

解得ℎ=32．

9.【答案】D【解析】解：∵在四棱锥P−ABCD中，PA=PB=PC=PD=2，底面ABCD是边长为2的正方形．

点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，

∴VP−AMEN=VA−MNP+VE−MNP=13S△PMN⋅32=12S△PMN，

依题意当S△PMN最小时，四棱锥P−AMEN体积取最小值，

M，O，V三点共线，且PN=λPD,PM=μPB，

|PD||PN|=1λ,|PB||PM|=1μ，

PV=23【解答】

解：在三棱锥A1−ABD中，AA1是三棱锥A1−ABD的高，

AB=AD=AA1=a，A1B=BD=A1D=2a，

∵V三棱锥A1−ABD=【解答】解：∵正六棱柱底面边长为10，

∴正六棱柱的底面积为S=6×12×10×10×sin60°=300×32=1503，

又正六棱柱的高为15，

∴这个正六棱柱的体积是1503×15=22503【解答】解：

∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，

E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，

∴四边形EFGH是边长为2的正方形，

点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2，

16.【答案】2【解答】解：设AC=m，则BC=4−m2，∴当m4−m2最大时，m4−当且仅当m=2∴当“阳马”即四棱锥B−A1AC所以堑堵ABC−A1B17.【答案】解：如图所示，画出正三棱台ABC−A1B1C1，OO1为正三棱台的高，

DD所以此正三棱台的表面积S表18.【答案】(1)证明：取AC中点M，连接BM，

因为正三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=AB，

所以BM⊥AC，

因为正三棱柱ABC−A1B1C1中平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BM⊂平面ABC，

所以BM⊥平面ACC1A1．

取AE中点N，连接MN，FN，则MN//EC，且MN=12EC，

又因为BB1//CC1，EC=2FB，所以FB//EC且FB=12EC，

所以MN//FB且MN=FB，

所以四边形BMNF是平行四边形，

所以FN//BM，

所以FN⊥平面ACC1A1．

又FN⊂平面AEF，

所以平面AEF⊥平面ACC1A1．

(2)解：作AD⊥BC于D，垂足为D，

因为正三棱柱ABC−A1B1C1中AB=AC=2，

所以AD⊥BC，且AD=3，

又因为正三棱柱