中考-二轮复习数学讲义 中点综合

20/20中点综合【教学目标】学习内容目标层级是否掌握等腰三角形三线合一★★★☆☆☆直角三角形斜边中线★★★☆☆☆倍长中线★★★★★☆类倍长中线★★★★☆☆中位线★★★★☆☆一、等腰三角形三线合一学习内容目标层级是否掌握等腰三角形三线合一★★★☆☆☆【知识点】等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”：【例题讲解】★★☆例题1．如图，点是等腰底边上一点，过点作、的垂线，垂足为、，设点为中点，求证：是等腰直角三角形．★★★练习1．如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．（1）请说明：；（2）请说明：；（3）若，，求的面积（直接写结果）．★★★练习2．如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点处，且可以绕点旋转，在旋转过程中，两直角边的交点、始终在边、上．（1）在旋转过程中线段和大小有何关系？证明你的结论．（2）若，在旋转过程中四边形的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．（3）若交点、分别在边、的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．【题型知识点总结】_____________________________________________________________二、直角三角形斜边中线学习内容目标层级是否掌握直角三角形斜边中线★★★☆☆☆【知识点】（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线：【例题讲解】★★☆例题1．如图，矩形和矩形中，，，，，连接，是的中点，那么的长是A． B． C． D．2★★☆练习1．如图，中，、是的两条高，点、分别是、的中点．求证：．★★★练习2．如图（1），已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点．（1）求证：．（2）连结，，猜想与之间的关系，并证明猜想．（3）当变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【题型知识点总结】_____________________________________________________________三、倍长中线学习内容目标层级是否掌握倍长中线★★★★★☆【知识点】倍长中线（与中点有关的线段）：【例题讲解】★★★例题1．小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明用到的判定定理是：（用字母表示）（2）的取值范围是小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．★★★练习1．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，边上的中线的取值范围．（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图①延长到使得；②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请写出图1中与的位置关系并证明；（3）思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．★★★练习2．（1）如图1所示，在中，为的中点，求证：甲说：不可能出现，所以此题无法解决；乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长至点，使得，连接、，由于，所以可得四边形是平行四边形，请写出此处的依据：（平行四边形判定的文字描述）所以，中，，即请根据乙提供的思路解决下列问题：（2）如图2，在中，为的中点，，，，求的面积；（3）如图3，在中，为的中点，为的中点，连接交于，若．求证：【题型知识点总结】_____________________________________________________________四、倍长类中线学习内容目标层级是否掌握倍长类中线★★★★☆☆【知识点】倍长类中线（与中点有关的线段）：【例题讲解】★★★例题1．在菱形中，．（1）如图1，点为线段的中点，连接，，若，求线段的长；（2）如图2，为线段上一点不与，重合），以为边，构造如图所示等边三角形，线段与交于点，连接，，为线段的中点，连接，，求证：．★★★练习1．已知是等腰直角三角形，，为外一点，，，连接、，点为中点，点为中点．（1）若，，，求．（2）求证：．【题型知识点总结】_____________________________________________________________五、中位线学习内容目标层级是否掌握中位线★★★★☆☆【知识点】已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理：【例题讲解】★★☆例题1．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5★★☆练习1．如图，四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．MN D．MN★★☆练习2．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE＝CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC＝18，BC＝12，则△CEG的周长为．★★☆例题2．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝10°，∠ACB＝66°，则∠FEG等于（）A．76° B．56° C．38° D．28°★★☆练习1．如图，已知△ABC中，∠BAC＝68°，点D、E、F分别是三角形三边AB，AC，BC的中点，AM是三角形BC边上的高，连接DM，EM，EF，则∠DME＝°，∠DFE＝°．★★☆练习2．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．★★☆例题3．如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（）A．32 B．48 C．64 D．72★★☆练习1．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6★★☆练习2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HGBC，S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积为（）A．6 B．4 C．3 D．2【题型知识点总结】_____________________________________________________________【课后练习】★★☆1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（）A． B．2 C． D．3.★★☆2．（1）如图，是的边上一点，且，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求证：．（2）若（1）中的，其它条件不变，求的值．★★☆3．如图，在四边形中，，、分别是、的中点，（1）求证：；（2）若，，求的度数．★★☆4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P为对角线BD的中点，M为AB的中点，N为DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．★★☆5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．★★☆6．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若AD＝10，BD＝8，CD＝6，则四边形EFGH的周长是（）A．24 B．20 C．12 D．10★☆☆7．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，若AC＝4，BC＝6，则△ADE的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12★★☆8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是（）A．6 B．9 C．12 D．18★★☆9．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．3 B．2 C．4 D．2【拔高练习】★★★1．已知，点是直角三角形斜边上一动点（不与，重合），分别过，向直线作垂线，垂足分别为，，为斜边的中点．（1）如图1，当点与点重合时，与的位置关系是，与的数量关系式；（2）如图2，当点在线段上不与点重合时，试判断与的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点在线段（或的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．★★★2．以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，，连接，、分别是、的中点．探究：与的位置关系及数量关系．（1）如图①当为直角三角形时，与的位置关系是，线段与的数量关系是；（2）将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．★★★3．如图1，点是线段的中点，点是线段上任一点，分别以和为斜边向的同侧做等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图1，求证：是等腰直角三角形；（3）如图2，若点是线段的中点，点是线段外一